三维设计广东文人教版2014高考数学第一轮复习考案 双曲线的简单几何性质 文 3页

第66课 双曲线的简单几何性质 ‎ ‎1．（2019湖南高考）已知双曲线 ：的焦距为 ，点在 的渐近线上，则的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设双曲线的半焦距为，．‎ 又∵的渐近线为，‎ 点在 的渐近线上，‎ ‎∴，即．‎ 又∵，∴，‎ ‎∴的方程为．‎ ‎2．（2019浙江高考） 如图，中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点，是双曲线的两顶点．若将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】设椭圆的长轴为，双曲线的长轴为，‎ 由将椭圆长轴四等分，则，即，‎ ‎∵双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为，‎ ‎∴双曲线的离心率为，，．‎ ‎3．（2019惠州一模）设和为双曲线的两个焦点，若，是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，∴，‎ ‎4．（2019汕头一模）已知、分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，若，且的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】不妨设是双曲线右支上的一点， 设，‎ ‎∵的三条边长成等差数列，，‎ ‎∴，或（舍去）．‎ ‎5．（2019湛江二模）已知椭圆: 的左、右顶点分别是、，是双曲线: ‎ 右支轴上方的一点，连结交椭圆于点，连结并延长交椭圆于点．‎ ‎（1）若，求椭圆及双曲线的离心率；‎ ‎（2）若和的面积相等，求点的坐标(用，表示）．‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎∴在椭圆中，，‎ ‎∴椭圆的离心率为，‎ ‎∴在双曲线中，，‎ ‎∴椭圆的离心率为．‎ ‎（2）设、的坐标分别为、，‎ 依题意：、的坐标分别为、，‎ ‎∵和的面积相等，∴，‎ 代人椭圆方程，得 即，①‎ 由在双曲线的右支上，‎ 得，②‎ 将②代人①化简得：，‎ ‎∴或（舍去），‎ ‎∴点的坐标为．‎ ‎6．（2019上海高考）在平面直角坐标系中，已知双曲线．‎ ‎ （1）设是的左焦点，是右支上一点． 若，求过点的坐标； ‎ ‎（2）过的左顶点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； ‎ ‎ （3）设斜率为的直线交于、两点，若与圆相切，求证：．‎ ‎【解析】（1）双曲线：，左焦点．‎ ‎ 设，则， ‎ ‎ 由是右支上一点，知，‎ ‎∴，得． ∴． ‎ ‎ （2）左顶点，渐近线方程：．‎ ‎ 过与渐近线平行的直线方程为．‎ ‎ 解方程组，得． ‎ ‎ 所求平行四边形的面积为． ‎ ‎ （3）设直线的方程是．‎ ‎∵直线与已知圆相切，∴，即 (*)．‎ 由，得．‎ ‎ 设，则．‎ ‎ 由(*)知，∴． ‎