2012年湖北高考数学理科试卷(带详解) 17页

‎2012湖北高考 理科数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．方程的一个根是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【测量目标】复数的一元二次方程求根.‎ ‎【考查方式】给出一元二次方程，由求根公式求出它的根.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】根据复数求根公式：，所以方程的一个根为，答案为A.‎ ‎2．命题“”的否定是 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【测量目标】常用逻辑用语，含有一个量词的命题的否定.‎ ‎【考查方式】给出了存在性命题，根据逻辑用语写出命题的否定.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定因此选D.‎ ‎3．已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为 （ ）‎ ‎ ‎ 第4题图 ‎ A． B. C． D．‎ ‎【测量目标】定积分的几何意义.‎ ‎【考查方式】给出了二次函数的图象，求出函数解析式，由定积分的几何意义可求得面积.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】根据图像可得：，再由定积分的几何意义，可求得面积为 ‎.‎ ‎4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎ 第4题图 ‎ ‎【测量目标】由三视图求几何体的体积.‎ ‎【考查方式】给出了几何体的的三视图，确定其为圆柱，根据体积公式求出体积.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为.选B.‎ ‎5．设，且，若能被13整除，则 （ ）‎ A．0 B．1 C．11 D．12‎ ‎【测量目标】二项式定理.‎ ‎【考查方式】给出二项式，根据其展开式的系数求解.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】由于51=521，‎ 又由于13|52,所以只需13|1+a，‎0a＜13,所以a=12选D.‎ ‎6．设是正数，且，，，‎ 则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【测量目标】不等式的基本性质.‎ ‎【考查方式】给出含未知量的3个方程，根据柯西不等式的使用及其去等条件可得出答案.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】由于 ‎ 等号成立当且仅当，则，‎ ‎（步骤1）‎ 所以由题知又（步骤2）,‎ 所以，答案选C.（步骤3）‎ ‎7．定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数： ‎ ‎①； ②； ③； ④.‎ 则其中是“保等比数列函数”的的序号为 （ ）‎ A． ‎① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ ‎ ‎【测量目标】等比数列性质及函数计算.‎ ‎【考查方式】给出了保等比数列的定义，判断所给4个函数是否为保等比数列.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】等比数列性质，，‎ ‎① （步骤1）‎ ‎（步骤2）‎ ‎（步骤3）‎ 选C.（步骤4）‎ ‎8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 第8题 ‎ ‎【测量目标】几何概型及平面图形面积公式.‎ ‎【考查方式】给出扇形根据面积公式求出扇形面积以及阴影部分的面积，算出他们的比值即为概率. ‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】A ‎ ‎【试题解析】令，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为，围成OC为，作对称轴OD，则过C点.即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积，‎ ‎（步骤1） .在扇形OAD中为扇形面积减去三角形OAC面积和，，，扇形OAB面积，‎ 选A.（步骤2）‎ ‎ 第8题图 ‎ ‎9．函数在区间上的零点个数为 （ ）‎ A．4 B．5 ‎ C．6 D．7‎ ‎【测量目标】三角函数的周期性以及函数零点的判断.‎ ‎【考查方式】给出复合函数，根据函数周期性确定其在区间类的零点个数.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】，则或，又，‎ 所以共有6个解.选C.‎ ‎10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径 的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，下列近似公式中最精确的一个是 （ ）‎ A． ‎ B． C． D． ‎ ‎【测量目标】球的体积公式以及估算.‎ ‎【考查方式】根据球的体积估算圆周率.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】由，得，设选项中常数为，则（步骤1）；A中代人得，B中代入得，C中代入得，D 中代人得由于D中值最接近的真实值，故选D.（步骤2）‎ 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. ‎ ‎（一）必考题（11—14题）‎ ‎11．设的内角所对的边分别为 若，则角= ． ‎ ‎【测量目标】余弦定理，解三角形.‎ ‎【考查方式】给出三角形的各边关系，利用余弦定理求出角C.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】由，得根据余弦定理 故.‎ ‎ 12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 .‎ ‎ 第12题图 ‎ ‎【测量目标】循环结构的程序框图.‎ ‎【考查方式】给出程序框图，通过输入、赋值、输出语句，得出满足条件的s.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】9‎ ‎【试题解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示： ‎ 第一圈循环：当n=1时，得s=1，a=3.（步骤1） ‎ 第二圈循环: 当n=2时，得s=4，a=5 （步骤2）‎ 第三圈循环：当n=3时，得s=9，a=7 （步骤3） ‎ 此时n=3，不再循环，所以解s=9 . （步骤4） ‎ ‎13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则 ‎（Ⅰ）4位回文数有 个；‎ ‎（Ⅱ）位回文数有 个．‎ ‎【测量目标】排列、组合及其应用.‎ ‎【考查方式】根据回文数的定义求出4位回文数以及回文数的个数.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【参考答案】（I）90；（II）‎ ‎【试题解析】（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有种，答案：90.‎ ‎ （Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数.2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为.‎ ‎ 法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数.计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……‎99”‎，因此四位数的回文数有90个,按此规律推导,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因,则答案为.‎ ‎14．如图，双曲线的两顶点为虚轴两端点为两焦点为. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则 ‎ 第14题图 ‎ ‎（Ⅰ）双曲线的离心率 ；‎ ‎（Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值 .‎ ‎【测量目标】双曲线的标准方程、定义、离心率，以及一般平面几何图形的面积计算.‎ ‎【考查方式】给出了双曲线和平面几何图形的位置关系求出离心率，根据面积公式求出面积比.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【参考答案】（I），（II）‎ ‎【试题解析】（Ⅰ）由于以为直径的圆内切于菱形，因此点到直线的距离为，又由于虚轴两端点为，因此的长为，那么在中，由三角形的面积公式知，（步骤1），又由双曲线中存在关系联立可得出，根据解出.（步骤2）‎ ‎（II）菱形的面积，设矩形，，‎ ‎∴（步骤3），∵，∴(步骤4)‎ ‎∴面积，∴（步骤5）‎ ‎∵∴（步骤6）.‎ ‎（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）‎ ‎15．（选修4-1：几何证明选讲）‎ 如图，点D在的弦AB上移动，，连接OD，过点D ‎ 作的垂线交于点C，则CD的最大值为 . ‎ ‎ 第15题图 ‎ ‎【测量目标】直线与圆的位置关系.‎ ‎【考查方式】根据直线与圆的位置关系，判断点D的位置从而求出线段最大值.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】2‎ ‎【试题解析】（由于,因此,线段OC长为定值，‎ 即需求解线段OD长度的最小值，根据弦中点到圆心的距离最短，此时D为AB的中点，点C与点B重合，因此 ‎16．（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系. 已知射线与曲线（t为参数）‎ 相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为 .‎ ‎【测量目标】平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.‎ ‎【考查方式】给出了两曲线的极坐标方程，将它们化为一般方程并求出交点.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】‎ 在直角坐标系下的一般方程为，将参数方程（t为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为表示一条抛物线（步 骤1），联立上面两个方程消去有，设两点及其中点的横坐标分别为（步骤2），则有韦达定理,又由于点点在直线上，因此的中点.（步骤3）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且. ‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期； ‎ ‎（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.‎ ‎【测量目标】平面向量的数量积运算，三角函数的变换及化简.‎ ‎【考查方式】求出函数解析式，根据三角变换求得最小正周期和在特定区间类函数的取值范围.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】（I）因为 ‎ （步骤1）.由直线是图象的一条对称轴，可，所以，即又所以k=1，故，所以的最小正周期为.‎ ‎ （步骤2）‎ ‎ （II）由的图象过点，得，（步骤3）‎ ‎ 即即.‎ ‎ 故（步骤4）‎ ‎ 由有 ‎ 所以，得 ‎ 故函数在上的取值范围为.（步骤5）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.‎ ‎（Ⅰ）求等差数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.‎ ‎【测量目标】等差数列的通项，前n项和.‎ ‎【考查方式】由等差数列的前三项和以及积的大小求出通项，由前三项成等比关系求出新数列的前n和.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】（I）设等差数列的公差为d，则，.‎ ‎ 有题意得解得或（步骤1）‎ ‎ 所以由等差数列通项公式可得 ‎ 或 ‎ 故或（步骤2）‎ ‎ （II）当时，分别为,不成等比数列.‎ ‎ 当时，分别为成等比数列，满足条件.‎ ‎ 故（步骤3）‎ ‎ 记数列的前n项和为.‎ ‎ 当n=1时，当n=2时，‎ ‎ 当n，‎ ‎ ‎ ‎ =当时，‎ ‎ 综上，.（步骤4）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图1，，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使（如图2所示）． ‎ ‎（Ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；‎ ‎（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在 棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．‎ ‎ ‎ 图1 图2 ‎ ‎ 第19题图 ‎【测量目标】三棱锥的体积公式，均值不等式求最值，利用导数求函数的最值，空间直角坐标系的建立，平行与垂直关系的综合应用.‎ ‎【考查方式】给出了空间几何体的边、角等，通过均值不等式或者导数求出体积的最大值，利用空间向量或者垂直与平行关系求得线面角的大小.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】（I）解法1：在如图1所示的△ABC中，设BD=x，则.‎ 由知，△ADC为等腰直角三角形，所以AD=CD=3.（步骤1）由折起前平面BCD.又,所以于是 ‎ ‎ 当且仅当即当x=1时，等号成立，‎ 故当x=1，即BD=1时，三棱锥的体积最大.（步骤2）‎ 解法2：‎ 同解法1，得（步骤1）‎ 令由，解得x=1.‎ 当时，当时，.‎ 所以当x=1，取1得最大值.‎ 故当BD=1时，三棱锥的体积最大.（步骤2）‎ ‎ (II)解法1：以D为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系.‎ 由（I）知，当三棱锥的体积最大时，.‎ 于是可得 且（步骤3）‎ 设.因为等价于,即 ‎，故（步骤4）‎ 所以当DN=（即N是CD的靠近点D的一个四等分点）时，.‎ 设平面的一个法向量为由，及 得可取.（步骤5）‎ 即EN与平面BMN所成角的大小.（步骤6）‎ 第19题图a ‎ 解法2：由（I）知，当三棱锥的体积最大时，（步骤3）‎ 如图b,取CD的中点F，连接,EF,则AD.‎ 由（I）知平面BCD，所以MF平面BCD.（步骤4）‎ 如图c，延长FE至P点使得FP=DB，连接BP,DP，则四边形DBPF为正方形，‎ 所以取DF得中点N，连接EN，又E为FP的中点，则DP，‎ 所以因为平面BCD，又EN面BCD，所以.‎ 又因为面BMF，所以ENBM..‎ 因为当且仅当而点F是唯一的，所以点N是唯一的.‎ 即当(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)，.‎ 连接MN，ME，由计算得NB=NM=EB=EM=，‎ 所以△NMB与△EMB是两个共底边的全等的等腰三角形，（步骤5）‎ 如图在平面EGN中，过点E作EH于H,‎ 则EH平面BMN.故是EN与平面BMN所成的角.‎ 在△EGN中，易得EG=GN=NE=，所以△EGN是正三角形，‎ 故即EN与平面BMN所成角的大小为.（步骤6）‎ ‎ 图b ‎ ‎ ‎ ‎ 图c 图d ‎ ‎ 第19题图 ‎20．（本小题满分12分）‎ 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：‎ 降水量X 工期延误天数Y ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：‎ ‎（Ⅰ）工期延误天数的均值与方差； ‎ ‎（Ⅱ）在降水量X至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率. ‎ ‎【测量目标】概率的加法公式与方差，条件概率.‎ ‎【考查方式】给出了降水量与工期延误的关系，根据概率的加法公式以及方差公式求出延误天数的均值与方差、条件概率.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】（I）由已知条件和概率的加法公式有:‎ ‎（步骤1）‎ 所以Y的分布列为：‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 于是，‎ 故工期延误天数Y的均值为3，方差9.8.（步骤2）‎ ‎（II）由概率的加法公式，‎ 又.‎ 由条件概率，得 ‎.‎ 故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.（步骤3）‎ ‎21．（本小题满分13分）‎ 设是单位圆上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x 轴的交点，点M在直线l上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； ‎ ‎（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H. 是否存在m，使得对任意的 k＞0，都有？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由. ‎ ‎【测量目标】双曲线的标准方程，直线的方程，直线与双曲线的位置关系，双曲线中的定点问题.‎ ‎【考查方式】给出了圆的方程以及直线与圆的位置关系，从而判断轨迹为何种曲线，根据直线与方程的联立求出满足条件的点.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】（I）如图1，设则由 ‎ 可得所以 ①‎ 因为A点在单位圆上运动，所以 ②‎ 将①式代入②式即得所求曲线C的方程为，（步骤1）‎ 因为所以 当0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为；（步骤2）‎ 当m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为.（步骤3）‎ ‎（II）解法1：如图2、3设则 直线QN的方程为，将其代入椭圆C的方程并整理可得 依题意可知此方程的两根为于是由韦达定理可得 ‎，即（步骤4）‎ 因为点H在直线QN上，所以 于是.‎ 而等价于=‎ 即，又m＞0，得，‎ 故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.（步骤5）‎ 第21题图1 ‎ 解法2：如图2、3，，设则 因为P,H两点在椭圆C上，所以，两式相减可得 ‎（步骤3）‎ 依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P,H不重合，‎ 故，于是由③式可得 ‎.（步骤4）‎ 又Q,N,H三点共线，所以，即 于是由④式可得（步骤5）‎ 而等价于=,即=，又m＞0，得m=.‎ 故存在m=，使得在其对应的椭圆上，对任意的k＞0，都有.‎ ‎（步骤6）‎ ‎ 图2 图3 ‎ ‎ （0＜m＜1） （m＞1）‎ ‎ 第21题图 ‎22．（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）已知函数其中r为有理数，且. 求的 最小值；‎ ‎（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：‎ 设，为正有理数. 若，则 ‎（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.‎ 注：当为正有理数时，有求导公式.‎ ‎【测量目标】利用导数求函数的单调区间及最值、解不等式问题，数学归纳法.‎ ‎【考查方式】给出函数解析式，求其导数从而求出函数的最值.给出了参数的范围，利用问题（I）的结论以及导数解决不等式的证明.在利用（II）的命题根据数学归纳法得到命题的一般形式进行推广.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】（I）令，解得x=1.‎ 当0＜x＜1时，所以f(x)在（0，1）内是减函数；‎ 当x＞1时，＞0，所以f(x)在（0，1）内是增函数.‎ 故函数在x=1处取得最小值（步骤1）‎ ‎（II）由（I）知，当时，有，即 若中有一个不为0，则成立（步骤2）；‎ 若均不为0，又，可得，于是 在①中令可得 即，亦即.（步骤3）‎ 综上，对为正有理数且，总有.②‎ ‎（步骤3）‎ ‎(III) （II）中命题的推广形式为：‎ 设为非负实数，为正有理数.‎ 若则.（步骤4）③‎ 用数学归纳法证明如下:‎ ‎（1）当时，有③成立.（步骤5）‎ ‎（2）假设当时③成立，即若，非负实数，，为正有理数.且 则.‎ 当时，已知，非负实数，，为正有理数 且此时，即，（步骤6）于是 ‎，由归纳假设可得 从而（步骤7）‎ 又因由②得 ‎ =+，‎ 从而.（步骤7）‎ 故当时，③成立.‎ 由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立.‎ 说明：（III）中如果推广形式中指出③式对成立，则后续证明不需要讨论的情况（步骤8）‎