备战高考数学优质试卷分项版第02期专题03导数与应用文 31页

‎【2019最新】精选备战高考数学优质试卷分项版第02期专题03导数与应用文 一、选择题 ‎1．【2018黑龙江佳木斯一中调研】已知为定义在上的可导函数，且恒成立，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎∵‎ ‎∴，即 ‎∴，即 故选A 点睛：本题首先需结合已知条件构造函数，然后考查利用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系.‎ ‎2．【2018四川南充中学质检】已知函数， ，若对任意的， ，都有成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 31 / 31‎ 则,‎ 所以，令，‎ 则， ，‎ 则在区间上， ，则单调递减，‎ 又，所以在单调递增， 单调递减，‎ 所以，‎ 所以，故选A。‎ 点睛：本题考察导数的任意恒成立问题，先求的最大值为1，得，分离参数法得，通过双次求导得到，所以得到。‎ ‎3．【2018河南中原名校质检】已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）‎ ‎①；‎ ‎②函数在处取得极小值，在处取得极大值；‎ ‎③函数在处取得极大值，在处取得极小值；‎ ‎④函数的最小值为.‎ A. ③ B. ①② C. ③④ D. ④‎ ‎【答案】A ‎【点睛】由导函数的图像判断导函数值的正负，再得函数的单调性，可得函数的极值、最值、函数值的大小。‎ ‎4．【2018吉林乾安七中三模】已知函数若函数恰有个零点，则的取值范围为（ ）‎ 31 / 31‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】（1）当时， ,g(x)=0,变形为，所以时，有一解， 无解。‎ ‎（2）当时，g(x)= ，g(x)=0,解得x=0,`‎ ‎（3）当时， ，若，g(x)=0，则，令 ， ，函数h(x)在单调递减，在单调递增。，‎ 当时，此时有两解，当时，有一解，当时，无解。‎ 综上所述， 有三个零点， 有两个零点， ，有一个零点， 时，有两个零点，选B ‎【点睛】‎ 分段函数的处理常用分段讨论和数形结合，零点问题也常用数形结合及分离参数，所以本题以分段讨论切入，再结合分离参数及导数分析。‎ ‎5．【2018吉林乾安七中三模】若函数在上递减，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 31 / 31‎ ‎6．【2018华大新高考联盟】若函数满足，则当时，（ ）‎ A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值又无极小值 ‎【答案】B ‎【解析】由题设知，当时，，‎ 可得为常数），又，得C=0‎ 所以.‎ 又,令，解得或（舍去）.‎ 所以当时，，‎ 所以当时，有极小值，无极大值.‎ 故选B. ‎ 点睛：本题主要考查构造函数，常用的有：‎ ‎，构造xf(x)；‎ ‎2xf(x)+x2f′(x)，构造x2f(x)；‎ ‎，构造;‎ ‎，构造；‎ ‎，构造.等等.‎ ‎7．【2018山东德州质检】函数f（x）在实数集R上连续可导，且2f（x）-f′（x）＞0在R上恒成立，则以下不等式一定成立的是（　　）‎ 31 / 31‎ A. B. C. f（-2）＞e3f（1） D. f（-2）＜e3f（1）‎ ‎【答案】A 点睛：解答本题的关键是构造新函数，主要考查导数运算法则的逆用.根据含导函数的不等式构造原函数时要注意以下几种类型考虑：①原函数是函数和差的组合；②原函数是函数乘除的组合；③原函数是函数与的乘除的组合；④原函数是函数与的乘除的组合；⑤原函数是函数与的乘除的组合；⑥原函数是函数与的乘除的组合.‎ ‎8．【2018江西宜春六校联考】已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 故 时 , , 即,  递增，‎ ‎ 时 , , 即, 递减，‎ 故，‎ 而 时 , , 时 ,  ，‎ 若 和 在 有 2 个交点 只需 ，‎ 31 / 31‎ 点晴：本题考查函数导数与函数的极值点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.‎ ‎9．【2018四川绵阳质检】已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以函数在上单调递减，在单调递增，故，故为方程的根，故，故解得 ，所以在上有解，即在上有解，令，可求得，所以，解得，故选A.‎ 点睛：解题的关键是得到后，得到，然后将问题转化成方程在上有解的问题处理.在解题的过程中分离参数的方法，转化为求函数在闭区间的最值问题处理，求最值时可用导数或基本不等式处理，具体求解中要注意合理的变形.‎ ‎10．【2018广西柳州摸底联考】已知函数，直线过点且与曲线相切，则切点的横坐标为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A 31 / 31‎ 点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.‎ 二、填空题 ‎11．【2018黑龙江佳木斯一中调研】函数的极值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵函数 ‎∴‎ 令， ‎ 当且时， ；当时， ‎ ‎∴当时， 有极小值 故答案为 ‎12．【2018湖南五市十校联考】已知函数，且在处的切线与直线垂直，则__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】函数，求导得： .‎ 在处的切线斜率为.‎ 解得.‎ ‎13．【2018安徽十大名校联考】已知函数的图象在点处的切线斜率是1，则此切线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ 31 / 31‎ ‎14．【2018河南天一联考】若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在上恒成立，所以最大值 令，则，当时 点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.‎ ‎15．【2018贵州黔东南南州联考】若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【解析】由题意， 有解，即有解，令， ，当时，当时，所以，故只需.‎ 三、解答题 ‎16．【2018黑龙江佳木斯一中调研】已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的单调区间及极值；‎ ‎（3）对， 成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）单调递减区间为，单调递增区间为．极小值为，无极大值．（3）‎ 试题解析：（1）由题意知的定义域为且， ，‎ 又∵，故切线方程为．‎ 31 / 31‎ ‎（2）， ，‎ 当时，则， ，此时， 在上单调递减；‎ 当时，则， ，此时， 在上单调递增．　‎ 故的单调递减区间为，单调递增区间为．‎ 当时， 取极小值，且极小值为， 无极大值．‎ ‎（3）对， 成立，即，‎ 令，则当时， 恒成立，‎ 因为，‎ ‎①当时， ， 在上单调递增，故，‎ 这与恒成立矛盾；‎ ‎②当时，二次方程的判别式，令，解得，此时， 在上单调递减，‎ 故，满足恒成立．　‎ 由，得，方程的两根分别是， ，其中， ，‎ 当时， ， 在上单调递增， ，这与恒成立矛盾．‎ 31 / 31‎ 综上可知： ．‎ 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数情况分离讨论，分类时要做到不重不漏；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件.‎ ‎17．【2018湖北咸宁联考】已知函数，函数，函数的导函数为.‎ ‎（1）求函数的极值.‎ ‎（2）若.‎ ‎（i）求函数的单调区间；‎ ‎（ii）求证： 时，不等式恒成立.‎ ‎【答案】（1）的极小值为；函数的极大值为；（2）（i）函数的单调递增区间是，单调递减区间是；（ii）见解析.‎ 先求出的导数，构造新函数，通过讨论新函数的单调性，从而证出结论。‎ 解析：（1）∵，∴，‎ ‎∴，或，‎ ‎∴上， ； 上； 上.‎ ‎∴的极小值为；函数的极大值为.‎ 31 / 31‎ ‎（2）∵，∴， .‎ ‎（i）记， ，‎ 在上， ， 是减函数；在上， ， 是増函数，‎ ‎∴.‎ 则在上， ；在上， ，‎ 故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎（ii）时， ，‎ 由（i）知， .‎ 记，则，‎ 在区间上， ， 是增函数；在区间上， ， 是减函数，‎ ‎∴，∴，∴，‎ ‎∴，即成立.‎ 点睛：本题利用导数求函数的极值和单调区间，在不等式的证明过程中，需要构造新函数，通过求导，利用单调性搭建“1”为桥梁来证明不等式成立 ‎18．【2018湖南湘东五校联考】已知函数．‎ ‎（I）当时，求的单调区间和极值；‎ ‎（II）若对于任意，都有成立，求k的取值范围；‎ ‎(Ⅲ)若，且，证明：．‎ ‎【答案】（I）极小值为，无极大值；（II）；（3）见解析.‎ 31 / 31‎ ‎（3）设，则，要证，只要证，即证，由此利用导数性质能证明.‎ 试题解析：‎ ‎（1）， ‎ ‎①时，因为，所以，‎ 函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值； ‎ ‎②当时，令，解得，‎ 当时，；当，．‎ 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， ‎ 在区间上的极小值为，无极大值． ‎ ‎（2）由题意，，‎ 即问题转化为对于恒成立，‎ 即对于恒成立， ‎ 令，则，‎ 令，则，‎ 所以在区间上单调递增，故，故，‎ 所以在区间上单调递增，函数． ‎ 31 / 31‎ 要使对于恒成立，只要，‎ 所以，即实数k的取值范围为． ‎ ‎（3）证法1 因为，由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且．‎ 不妨设，则，‎ 要证，只要证，即证．‎ 因为在区间上单调递增，所以，‎ 又，即证， ‎ 构造函数，‎ 即，．‎ ‎ ，‎ 因为，所以，即，‎ 所以函数在区间上单调递增，故，‎ 而，故， ‎ 所以，即，所以成立． ‎ 证法2 要证成立，只要证：. ‎ 因为，且，所以，‎ 即，，‎ 31 / 31‎ 即，‎ ‎，同理，‎ 从而， ‎ 要证，只要证，‎ 令不妨设，则，‎ 即证，即证，‎ 即证对恒成立， ‎ 设，，‎ 所以在单调递增，，得证，所以.‎ ‎19．【2018湖北咸宁联考】设函数（且）是定义域为的奇函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，不等式对恒成立，求实数的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）2.‎ 31 / 31‎ 数的最小值是2.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵是定义在上的奇函数，∴，解得.‎ ‎（2）由（1）知，因为，所以，‎ 解得或（舍去），故，则易知函数是上的减函数，‎ ‎∵，∴， ，即在上恒成立，‎ 则，即实数的最小值是2.‎ ‎20．【2018黑龙江齐齐哈尔八中二模】已知函数.‎ ‎（1）当时，探究函数的单调性；‎ ‎（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为；（2）‎ ‎(2) 依题意可得， .‎ 分类讨论：当时， 在上单调递增，不合题意；‎ 当，故在上单调递减，满足题意；‎ 当， 在上单调递增，在上单调递减， 不合题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ 31 / 31‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意， ， ，‎ 令，解得，令，解得，‎ 故函数的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎（2）依题意， .‎ 当时， ，‎ ‎∴在上单调递增， ，‎ ‎∴不合题意；‎ 当，即时，‎ 在上恒成立，‎ 故在上单调递减， ，‎ ‎∴满足题意；‎ 当，即时，由，可得，‎ 由，可得，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴，∴不合题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 ‎ 31 / 31‎ ‎ 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎21．【2018辽宁鞍山一中二模】已知函数， .‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）对一切， 恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）证明：对一切，都有成立.‎ ‎【答案】（1）递增区间是，递减区间是；（2）；（3）见解析 ‎（3）问题等价于，即证，令，根据函数的单调性即可作出证明.‎ 试题解析：‎ ‎（1），得由，得 ‎∴的递增区间是，递减区间是 ‎（2）对一切， 恒成立，‎ 可化为对一切恒成立.‎ 令， ， ‎ 当时， ，即在递减 当时， ，即在递增，∴，‎ ‎∴，即实数的取值范围是 ‎（3）证明： 等价于，即证 31 / 31‎ 由（1）知，（当时取等号）‎ 令，则，易知在递减，在递增 ‎∴（当时取等号）∴对一切都成立 则对一切，都有成立.‎ 点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及函数恒成立问题的求解等知识点的综合运用，试题有一定的难度，属于难题，解答中把要证明的结论转化为新函数的性质是解答的关键.‎ ‎22．【2018陕西西安××区联考】 已知函数，曲线在点处的切线为，若时，有极值.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎ （2）求在上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1） （2）最小 ，最大13‎ ‎（2）利用导数求出区间 内的极值与端点处函数值，然后进行大小比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值； ‎ 试题解析：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，‎ 则f（﹣1）=a﹣b+c﹣1，f′（﹣1）=﹣2a+b+3，‎ 31 / 31‎ 故切线方程是：y=（3﹣2a+b）x+（﹣a+c+2），‎ 而切线方程是：y=﹣5x+5，‎ 故3﹣2a+b=﹣5，①，‎ a﹣c﹣2=﹣5，②，‎ 若时，y=f（x）有极值，‎ 则f′（）=++b=0，③，‎ 由①②③联立方程组，解得：；‎ ‎（2）由（1）f（x）=x3+2x2﹣4x+5，‎ f′（x）=3x2+4x﹣4=（3x﹣2）（x+2），‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣2，‎ 令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜，‎ 故f（x）在[﹣3，﹣2）递增，在（﹣2，）递减，在（，2]递减，‎ 由f（﹣3）=8，f（﹣2）=13，f（）=，f（2）=13，‎ 故函数的最小值是f（）=，‎ 最大值是f（2）=f（﹣2）=13．‎ ‎23．【2018豫西南高中联考】已知函数的极小值为0.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎（1）∵，令，解得，‎ 31 / 31‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，‎ 由题意有，解得.‎ ‎（2）由（1）知不等式对任意恒成立，∵，∴在上恒成立，∵不妨设， ，则.‎ 当时， ，故，∴在上单调递增，从而，∴不成立.当时，令，解得，若，即，当时， ， 在上为增函数，故，不合题意；若，即，当时， ， 在上为减函数，故，符合题意.综上所述， 的取值范围为.‎ 点睛：本题考查导数在研究函数极值与最值的过程中的应用；第二问恒成立求参的问题，解决方法有如下几种：第一，可以考虑参变分离，再转化为函数最值问题；第二，直接含参讨论，研究函数的单调性和最值。‎ ‎24．【2018豫西南高中联考】设函数 .‎ ‎（1）若为偶函数，求的值；‎ ‎（2）当时，若函数的图象有且仅有两条平行于轴的切线，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 31 / 31‎ ‎（1）因为为偶函数且定义域为，所以，所以，‎ 即，也即，所以.‎ ‎（2）由题意知有两个不等的根 ，显然不是方程的根，则，即的图像与直线有两个不同的交点，因为，所以当及时， ， 为减函数.当时， ， 为增函数，所以当时， ，当时， 且递减，所以，故的取值范围为.‎ 点睛：这个题第一问考查函数的奇偶性，知道性质求参，直接由定义得即可；第二问考查函数零点问题，已知零点个数求参，可以参变分离，转化为常函数和变函数的交点个数；也可以直接研究原函数的单调性找原函数和轴的交点；还可以分离成两个常见函数找两个函数的交点。‎ ‎25．【2018安徽十大名校联考】设函数 (为自然对数的底数），. ‎ ‎（1）证明：当时， 没有零点；‎ ‎（2）若当时， 恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎（2）由题意，分离参数得，设出新函数，得出函数的单调性，求解函数的最小值，即可求解的取值范围.‎ 试题解析:‎ 31 / 31‎ ‎（1）解法一：∵，∴.‎ 令,解得；令，解得，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增. ‎ ‎∴.‎ 当时， ，‎ ‎∴的图象恒在轴上方，∴没有零点.‎ 解法二：由得，令， ，‎ 则没有零点，可以看作函数与的图象无交点， ‎ 设直线切于点，则，解得， ‎ ‎∴，代入得，又，‎ ‎∴直线与曲线无交点，即没有零点. ‎ ‎（2）当时， ，即，‎ ‎∴，即.‎ 令，则.‎ 当时， 恒成立，‎ 令，解得；令，解得， ‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴.∴的取值范围是.‎ 31 / 31‎ 点睛：本题主要考查了导数在函数问题的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用求解函数的极值与最值，以及导数的几何意义等知识点的综合运用，同时着重考查了分离参数思想和构造函数思想方法的应用，本题的解答中根据题意构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键，试题综合性强，难度较大，属于难题，平时注重总结和积累.‎ ‎26．【2018安徽十大名校联考】设函数.‎ ‎（1）当时，求的极值；‎ ‎（2）设，讨论函数的单调性.‎ ‎【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）见解析 试题解析:‎ ‎（1）当时， ，∴，‎ 令，解得或；令，解得，‎ ‎∴在和上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴的极大值为，极小值为.‎ ‎（2）由题意知，函数的定义域为， ，‎ 由得.‎ ‎①当，即时， 恒成立，则函数在上单调递增；‎ ‎②当，即时，令，解得或，‎ 令，解得，则函数在和上单调递增，在上单调递减；‎ 31 / 31‎ ‎③当，即时，令，解得或，‎ 令,解得，则函数在和上单调递增，在上单调递减.‎ ‎27．【2018安徽马鞍山联考】已知函数的图象在处的切线过点.‎ ‎（1）若，求函数的极值点；‎ ‎（2）设是函数的两个极值点，若，证明： .（提示）‎ ‎【答案】(1) 或；(2)证明见解析.‎ 试题解析：‎ ‎，‎ 又，曲线在处的切线过点，‎ ‎，得.‎ ‎（1），‎ 令，得，‎ 解得或的极值点为或.‎ ‎（2）是方程的两个根，‎ ‎，‎ 31 / 31‎ ‎，‎ 是函数的极大值， 是函数的极小值，‎ 要证，只需，‎ ‎，‎ 令，则，‎ 设，则，函数在上单调递减，‎ ‎，‎ ‎.‎ 点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0（或f′(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b）内可导的函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，且f′(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f′(x0)=0.‎ ‎28．【2018湖北重点中学联考】已知函数， .‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ 31 / 31‎ ‎）设函数.当时，若区间上存在，使得，求实数的取值范围.（为自然对数底数）‎ ‎【答案】(1) 极小值为;(2) 实数的取值范围为.‎ ‎（1），‎ 因为曲线在点处的切线与直线的垂直，‎ 所以，即，解得.‎ 所以.‎ ‎∴当时， ， 在上单调递减；‎ 当时， ， 在上单调递增；‎ ‎∴当时， 取得极小值，‎ ‎∴极小值为.‎ ‎（2）令 ，‎ 则，欲使在区间上上存在，使得，‎ 只需在区间上的最小值小于零.‎ 令得， 或.‎ 当，即时， 在上单调递减，则的最小值为，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∵，∴；‎ 当，即时， 在上单调递增，则的最小值为，‎ ‎∴，解得，∴；‎ 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增，‎ 31 / 31‎ 则的最小值为，‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴，此时不成立.‎ 综上所述，实数的取值范围为 点睛：这个题目考查了函数的单调性和最值的综合应用，首先函数在某处的导数值，就是函数在这个点处的切线的斜率；对函数恒成立有解求参的问题，一般可以采用变量分离，转化为函数最值问题；还可以直接构造函数研究函数最值；还能分离成两个函数表达式，使其中一个函数图像在另一个的上方。‎ ‎29．【2018河南漯河中学三模】已知，曲线在处的切线方程为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明： .‎ ‎【答案】（1）;（2）证明见解析；‎ ‎ ，则当时， 取极小值，也是最小值，所以最小值为， .‎ 31 / 31‎ 试题解析：‎ 解：（1）函数的定义域为，‎ ‎，由题意得， ‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 则，所以在上单调递增，‎ 又，所以在上有唯一的实数根，且，‎ 当时， ，当 时， ，‎ 从而当时， 取极小值，也是最小值，‎ 由，得，则，‎ 故，所以.‎ ‎30．【2018湖南株洲两校联考】已知函数，函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若，求证不等式.‎ ‎【答案】(1) g(x)的增区间，减区间;(2) ;(3)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据导数的正负情况研究函数的单调性；（2）恒成立求参转化为 恒成立，求到研究函数单调性和最值；（3）转化为在上恒成立。通过求导研究函数单调性，求得函数最值。‎ 31 / 31‎ ‎（Ⅱ） 即在上恒成立 ‎ 设，考虑到 ‎，在上为增函数， ，‎ ‎ 当时， ， 在上为增函数， 恒成立 ‎ 当时， ， 在上为增函数 ‎，在上， ， 递减，‎ ‎，这时不合题意， 综上所述， ‎ ‎（Ⅲ）要证明在上， ‎ ‎ 只需证明 ，由（Ⅱ）当a =0时，在上， 恒成立， 再令， 在上， ， 递增，所以 即，相加，得，所以原不等式成立.‎ 点睛：这是一道比较综合的导数题目，首先研究函数的单调区间，一般是通过求导，研究导函数的正负，来判断。恒成立求参的问题，可以转化为函数最值问题，或者含参讨论，证明不等式恒成立，也可以转化为函数最值问题，或者转化为一边函数的最小值，大于另一边函数的最大值，这种方法仅限于证明。‎ ‎31．【2018河南天一联考】已知函数， .‎ ‎（1）求函数在上的最值；‎ ‎（2）求函数的极值点.‎ ‎【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）见解析.‎ 31 / 31‎ 试题解析：（1）依题意， ,令，解得.因为， ， ，且，故函数在上的最大值为，最小值为.‎ ‎（2）依题意， ， ，当时，令，则.因为，所以 ，其中， .因为，所以， ，所以当时， ，当时， ，所以函数在上是增函数，在上是减函数，故为函数的极大值点，函数无极小值点.‎ ‎32．【2018江苏南宁联考】已知函数，.‎ ‎（l）求的单调区间；‎ ‎（2）若函数在区间内存在唯一的极值点，求的值.‎ ‎【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为.(2)或.‎ 试题解析：（1）由已知得，.‎ 当时，由，得，‎ 由，得.‎ 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）因为 ，‎ 则 .‎ 31 / 31‎ 由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 又因为，.‎ 所以在上有且只有一个零点.‎ 又在上，在上单调递减；‎ 在上，在上单调递增.‎ 所以为极值点，此时.‎ 又，，‎ 所以在上有且只有一个零点.‎ 又在上，在上单调递增；‎ 在上，在上单调递减.‎ 所以为极值点，此时.‎ 综上所述，或.‎ ‎【点睛】‎ 本题先把极值点问题转化为，导函数零点问题，即零点存在性定理。利用方程根的存在性定理求解三步曲是：①先移项使方程右边为零，再令方程左边为函数f(x)；②求区间(a,b)两端点的函数值f(a)和(b)；③若函数在该区间上连续且f(a)f(b)<0，则方程在该区间内必有根.‎ 31 / 31‎