成都理工大学附中2014高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测不等式 5页

成都理工大学附中2019高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测：不等式 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．给出下列四个命题：①若，则；②已知，则是且的必要不充分条件③若，则；④若，则的最小值为8；真命题的个数为( )‎ A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎2．设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为( )‎ A．0 B．1 C． D．2‎ ‎【答案】D ‎3．已知a，b∈R，下列不等式不成立的是( )‎ A．a＋b≥2 B．a2＋b2≥2ab C．ab≤()2 D．|a|＋|b|≥2 ‎【答案】A ‎4．若实数x，y满足且的最小值为4，则实数b的值为( )‎ A．0 B．2 C． D．3‎ ‎【答案】D ‎5．已知，则下列结论不正确的是( )‎ A． B．‎ C． 2 D．‎ ‎【答案】D ‎6．设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎7．，则有( )‎ A．mn D．不能确定[来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎【答案】A ‎8．．如果logx N > P ‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为‎162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.‎ ‎(1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；‎ ‎(2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过‎16米，‎ 试设计污水池的长和宽，使总造价最低.‎ ‎【答案】（1）设污水处理池的宽为米，则长为米.‎ 则总造价f(x)=400×（）+248×2x+80×162 ‎ ‎=1 296x++12 960=1 296（）+12 960≥1 296×2+12 960=38 880（元）， ‎ 当且仅当x= (x＞0),即x=10时取等号. ‎ ‎∴当长为‎16.2米，宽为‎10米时总造价最低，最低总造价为38 880元. ‎ ‎(2）由限制条件知,∴ ‎ 设g(x)= （）.‎ g（x）在上是增函数，[来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎∴当x=10时(此时=16), g(x)有最小值，即f(x)有最小值.‎ ‎∴当长为‎16米，宽为10米时，总造价最低.‎ ‎18．已知、满足约束条件，求的最值。‎ ‎【答案】①画出可行域，如图（1）所示。‎ ‎②将变为，‎ 令，；‎ ‎③平移直线，显然当直线 经过点A（1，1）时，最大，‎ 当直线经过点B（0，－1）时，‎ ‎· 最小，如图（2）；‎ ‎④当，时，，‎ 当，时，。‎ ‎19．设集合｛x｝，，[来源:学,科,网]‎ ‎(1)求; (2)若,求的取值范围。‎ ‎【答案】‎ ‎(1）=‎ ‎(2）‎ 结合数轴知， 即 得 ‎20．甲、乙两地相距S（千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c（千米/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b；固定部分为a元．‎ ‎(1) 试将全程运输成本Y(元)表示成速度V(千米/小时)的函数.‎ ‎(2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？‎ ‎【答案】 (1) 依题意得，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为y＝a·＋bv2·＝s(＋bv)，故所求函数及其定义域为y＝s(＋bv)v∈(0,c)‎ ‎(2) ∵s、a、b、v∈R+，故s(＋bv)≥2s 当且仅当＝bv时取等号，此时v＝‎ 若≤c即v＝时，全程运输成本最小．‎ 若>c，则当v∈(0，c)时，‎ y＝s(＋bv)－s(＋bc)＝(c－v)(a－bcv)‎ ‎∵c－v≥0，且a>bc，故有a－bcv≥a－bc2>0‎ ‎∴ s(＋bv)≥s(＋bc)，且仅当v＝c时取等号，即v＝c时全程运输成本最小．‎ ‎21．甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时。已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．‎ ‎(Ⅰ）把全程运输成本y(元)表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；‎ ‎(Ⅱ）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？‎ ‎【答案】（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为 故所求函数及其定义域为.‎ ‎(Ⅱ）依题意知s,a,b,v都为正数,故有 [来源:学#科#网]‎ ‎ 当且仅当，即 时等号成立。‎ ‎①若，则当时，取得最小值；‎ ‎②若，则，[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ 因为，且，故有，‎ 故，当仅且当时等号成立。‎ 综上可知，若，则当时，全程运输成本最小；若，当时，全程运输成本y最小． ‎ ‎22．已知函数，x∈[1，＋∞)，‎ ‎(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值．‎ ‎(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.‎ 求导，得f′(x)＝1－，‎ 在[1，＋∞)上恒有f′(x)>0，‎ 故f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数．‎ ‎∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝．‎ ‎(2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立⇔x2＋2x＋a>0恒成立，‎ 设g(x)＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，‎ 配方，得g(x)＝(x＋1)2＋a－1，‎ 显然g(x)在[1，＋∞)为增函数．‎ 故在区间[1，＋∞)上，要使x2＋2x＋a>0恒成立，只要g(1)>0即可．‎ 由g(1)＝3＋a>0，解得a>－3.‎ 故实数a的取值范围为(－3，＋∞)．‎