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- 2021-05-26 发布
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拓展课 水平与竖直面内的圆周运动
核心要点 水平面内的圆周运动
[要点归纳]
1.向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的,可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也可以是几个力的合力或某个力的分力,因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2.典型运动模型
运动模型
向心力的来源图示
火车转弯
圆锥摆
飞车走壁
汽车在水平
路面转弯
水平转台
(光滑)
3.分析思路
12
(1)选择研究对象,找出匀速圆周运动的圆心和半径。
(2)分析物体受力情况,其合外力提供向心力。
(3)由F=m或F=mrω2或F=mr列方程求解。
[经典示例]
[例1] (多选)如图,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO′的距离为l,b与转轴的距离为2l,木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是( )
A.b一定比a先开始滑动
B.a、b所受的摩擦力始终相等
C.ω= 是b开始滑动的临界角速度
D.当ω= 时,a所受摩擦力的大小为kmg
解析 因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动,在某一时刻可认为,木块随圆盘转动时,其受到的静摩擦力的方向指向转轴,两木块转动过程中角速度相等,则根据牛顿第二定律可得f=mω2R,由于小木块b的轨道半径大于小木块a的轨道半径,故小木块b做圆周运动需要的向心力较大,B项错误;因为两小木块的最大静摩擦力相等,故b一定比a先开始滑动,A项正确;当b开始滑动时,由牛顿第二定律可得kmg=mω·2l,可得ωb= ,C项正确;当a开始滑动时,由牛顿第二定律可得kmg=mωl,可得ωa=,而转盘的角速度ω=<,小木块a未发生滑动,其所需的向心力由静摩擦力来提供,由牛顿第二定律可得f=mω2l=kmg,D项错误。
答案 AC
[针对训练1] (多选)在修筑铁路时,弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示,当火车以规定的行驶速度转弯时,内、外轨均不会受到轮缘的挤压,设此时的速度大小为v,重力加速度大小为g,两轨所在面的倾角为θ,则( )
12
A.该弯道的半径r=
B.当火车质量改变时,规定的行驶速度大小不变
C.当火车速率大于v时,内轨将受到轮缘的挤压
D.当火车速率大于v时,外轨将受到轮缘的挤压
解析 火车转弯时不侧向挤压车轮轮缘,靠重力和支持力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律得mgtan θ=m,解得r=,故A正确;根据牛顿第二定律得mgtan θ=m,解得v=,可知火车规定的行驶速度与质量无关,故B正确;当火车速率大于v时,重力和支持力的合力不足以提供向心力,此时外轨对火车有侧压力,轮缘挤压外轨,故C错误,D正确。
答案 ABD
核心要点 竖直面内的圆周运动
[要点归纳]
两类模型比较
球—绳模型
球—杆模型
实例
如球与绳连接、沿内轨道运动的球等
如球与轻杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等
图示
最高点无支撑
最高点有支撑
最高点
受力特征
重力、弹力,弹力方向向下或等于零
重力、弹力,弹力方向向下、等于零或向上
12
受力示意图
力学特征
mg+FN=m
mg±FN=m
临界特征
FN=0,vmin=
竖直向上的FN=mg,v=0
过最高点条件
v≥
v≥0
速度和弹力关系讨论分析
①恰好过最高点时,v=,mg=m,FN=0,绳、轨道对球无弹力
②能过最高点时,v≥,FN+mg=m,绳、轨道对球产生弹力FN
③不能过最高点时,v<,在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动
①当v=0时,FN=mg,FN为支持力,沿半径背离圆心
②当0时,FN+mg=m,FN指向圆心并随v的增大而增大
[经典示例]
[例2] (多选)如图所示,竖直环A半径为r,固定在木板B上,木板B放在水平地面上,B的左、右两侧各有一挡板固定在地上,B不能左、右运动,在环的最低点静放有一小球C,A、B、C的质量均为m。现给小球一水平向右的瞬时速度v,小球会在环内侧做圆周运动。为保证小球能通过环的最高点,且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的摩擦阻力,重力加速度为g),则瞬时速度v必须满足( )
A.最小值为 B.最大值为
C.最小值为 D.最大值为
12
解析 要保证小球能通过环的最高点,在最高点最小速度满足mg=m,由最低点到最高点由机械能守恒得mv=mg·2r+mv,可得小球在最低点瞬时速度的最小值为,A错误,C正确;为了使环不会在竖直方向上跳起,则在最高点球有最大速度时,对环的压力为2mg,满足3mg=m,从最低点到最高点由机械能守恒得mv=mg·2r+mv,可得小球在最低点瞬时速度的最大值为,B错误,D正确。
答案 CD
[针对训练2] 如图所示,长为3L的轻杆可绕水平转轴O转动,在杆两端分别固定质量均为m的球A、B(可视为质点),球A距轴O的距离为L。现给系统一定动能,使杆和球在竖直平面内转动。当球B运动到最高点时,水平转轴O对杆的作用力恰好为零,忽略空气阻力。已知重力加速度为g,则球B在最高点时,下列说法正确的是( )
A.球B的速度为0 B.杆对球B的弹力为0
C.球B的速度为 D.球A的速度等于
解析 对B球:T+mg=m,对A球:T ′-mg=m,同时vB=2vA,要使轴O对杆作用力为0,即满足T=T ′,解得vA=,vB=2,故只有D项正确。
答案 D
1.(水平面内的圆周运动)(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图所示,某公路急转弯处是一圆弧,当汽车行驶的速率为vc时,汽车恰好没有向公路内、外两侧滑动的趋势,则在该弯道处( )
A.路面外侧高、内侧低
B.车速只要低于vc,车辆便会向内侧滑动
12
C.车速虽然高于vc,但只要不超出某一最高限度,车辆便不会向外侧滑动
D.当路面结冰时,与未结冰时相比,vc的值变小
解析 当汽车行驶的速率为vc时,路面对汽车没有摩擦力,路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力,此时要求路面外侧高、内侧低,选项A正确;当速度稍大于vc时,汽车有向外侧滑动的趋势,因而受到向内侧的摩擦力,当摩擦力小于最大静摩擦力时,车辆不会向外侧滑动,选项C正确;同样,速度稍小于vc时,车辆不会向内侧滑动,选项B错误;vc的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关,与路面的粗糙程度无关,D错误。
答案 AC
2.(水平面内的圆周运动)如图所示,将一质量为m的摆球用长为L的细绳吊起,上端固定,使摆球在水平面内做匀速圆周运动,细绳就会沿圆锥面旋转,这样就构成了一个圆锥摆,则关于摆球的受力情况,(不计空气阻力)下列说法中正确的是( )
A.摆球受重力、拉力和向心力的作用
B.摆球受拉力和向心力的作用
C.摆球受重力和拉力的作用
D.摆球受重力和向心力的作用
解析 我们在进行受力分析时,“物体受到哪几个力的作用”中的力是指按照性质命名的力,显然,物体只受重力G和拉力FT的作用,而向心力F是重力和拉力的合力,如图所示。也可以认为向心力就是FT沿水平方向的分力FT2,显然,FT沿竖直方向的分力FT1与重力G平衡。所以,本题正确选项为C。
答案 C
3.(竖直面内的圆周运动)如图所示,轻质且不可伸长的细绳一端系一质量为m的小球,另一端固定在天花板上的O点。则小球在竖直平面内摆动的过程中,以下说法正确的是( )
A.小球在摆动过程中受到的外力的合力即为向心力
12
B.在最高点A、B,因小球的速度为零,所以小球受到的合力为零
C.小球在最低点C所受的合力,即为向心力
D.小球在摆动过程中绳子的拉力使其速率发生变化
解析 小球摆动过程中,合力沿绳子方向的分力提供向心力,不是靠外力的合力提供向心力,故A错误;在最高点A和B,小球的速度为零,向心力为零,但是小球所受的合力不为零,故B错误;小球在最低点受重力和拉力,两个力的合力竖直向上,合力等于向心力,故C正确;小球在摆动的过程中,由于绳子的拉力与速度方向垂直,则拉力不做功,拉力不会使小球速率发生变化,故D错误。
答案 C
4.(竖直面内的圆周运动)如图所示,某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动,将螺丝帽套在塑料管上,手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r的匀速圆周运动,则只要运动角速度合适,螺丝帽恰好不下滑,假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ,认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力。则在该同学转动塑料管使螺丝帽恰好不下滑时,重力加速度大小为g,下述分析正确的是( )
A.螺丝帽受的重力与最大静摩擦力平衡
B.螺丝帽受到杆的弹力方向水平向外,背离圆心
C.此时手转动塑料管的角速度ω=
D.若杆的转动加快,螺丝帽有可能相对杆发生运动
解析 由于螺丝帽做圆周运动过程中恰好不下滑,则竖直方向上重力与最大静摩擦力平衡,杆对螺丝帽的弹力提供其做匀速圆周运动的向心力,选项A正确,选项B错误;由μFN=mg
12
和FN=mrω2得ω=,选项C错误;无论杆的转动速度增大多少,竖直方向受力始终平衡,故选项D错误。
答案 A
1.如图所示,小物体P放在水平圆盘上随圆盘一起转动,下列关于小物体所受摩擦力f的叙述正确的是( )
A.f的方向总是指向圆心
B.圆盘匀速转动时f=0
C.在物体与轴O的距离一定的条件下,f跟圆盘转动的角速度成正比
D.在转速一定的条件下,f跟物体到轴O的距离成正比
解析 物体随圆盘转动过程中,如果圆盘匀速转动,则摩擦力指向圆心,如果变速转动,则摩擦力的一个分力充当向心力,另一个分力产生切向加速度,摩擦力不指向圆心,A、B错误;根据公式F=f=mω2r可得在物体与轴O的距离一定的条件下,f跟圆盘转动的角速度的平方成正比,C错误;因为ω=2πn,所以f=m(2πn)2r,即转速一定的条件下,f跟物体到轴O的距离成正比,D正确。
答案 D
2.如图所示,质量为m的物体,沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下,半球形金属壳竖直固定放置,开口向上,滑到最低点时速度大小为v,若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ,重力加速度大小为g,则物体在最低点时,下列说法正确的是( )
A.受到的向心力为mg+m
B.受到的摩擦力为μm
C.受到的摩擦力为μ(mg+m)
D.受到的合力方向斜向左上方
12
解析 物体做圆周运动经过最低点时,则有N-mg=m,解得N=mg+m,故物体受到的滑动摩擦力f=μN=μ(mg+m),A、B错误,C正确;物体受到竖直向下的重力、水平向左的摩擦力和竖直向上的支持力(支持力大于重力),故物体所受的合力斜向左上方,D正确。
答案 CD
3.质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中,杆的另一端套有一个质量为m的小球,今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动,且角速度为ω,重力加速度大小为g,不计空气阻力。如图所示,则杆的上端受到球对其作用力的大小为( )
A.mω2R B.m
C.m D.不能确定
解析 对小球进行受力分析,小球受两个力:一个是重力mg,另一个是杆对小球的作用力F,两个力的合力产生向心力。由平行四边形定则可得F=m,再根据牛顿第三定律,可知杆受到球对其作用力的大小为F=m。故选项C正确。
答案 C
4.(多选)铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的,已知内外轨道对水平面倾角为θ,弯道处的圆弧半径为R,若质量为m的火车以速度v通过某弯道时,内、外轨道均不受侧压力作用,重力加速度大小为g。下面分析正确的是( )
A.轨道半径R=
B.v=
C.若火车速度小于v时,外轨将受到侧压力作用,其方向平行轨道平面向内
D.若火车速度大于v时,外轨将受到侧压力作用,其方向平行轨道平面向外
解析 火车转弯时受力如图所示,火车转弯的向心力由重力和支持力的合力提供,则mgtan
12
θ=m,故转弯半径R=;转弯时的速度v=;若火车速度小于v时,需要的向心力小于mgtan θ,此时内轨对车轮产生一个向外的作用力,即车轮挤压内轨;若火车速度大于v时,需要的向心力大于mgtan θ,外轨对车轮产生一个向里的作用力,即车轮挤压外轨。
答案 BD
5.轻杆一端固定有质量为m=1 kg的小球,另一端安装在水平转轴上,转轴到小球的距离为50 cm,转轴固定在三角形的带电动机(电动机没画出来)的支架上,在电动机作用下,轻杆在竖直面内做匀速圆周运动,如图所示。若转轴达到某一恒定转速n时,在最高点,杆受到小球的压力为2 N,重力加速度g取10 m/s2。则( )
A.小球运动到最高点时,小球需要的向心力为12 N
B.小球运动到最高点时,线速度v=1 m/s
C.小球运动到图示水平位置时,地面对支架的摩擦力为8 N
D.把杆换成轻绳,同样转速的情况下,小球仍能通过图示的最高点
解析 小球运动到最高点时,杆受到小球的压力为2 N,由牛顿第三定律可知杆对小球的支持力FN=2 N,在最高点,小球需要的向心力由重力和杆的支持力的合力提供,为F=mg-FN=8 N,故A错误;在最高点,由F=m得,v== m/s=2 m/s,故B错误;小球运动到图示水平位置时,设杆对小球的拉力为FT,则有FT=m=F=8 N,则小球对杆的拉力FT′=FT=8 N,据题意知支架处于静止状态,由平衡条件可知地面对支架的摩擦力Ff=FT′=8 N,故C正确;把杆换成轻绳,设小球通过最高点的最小速度为v0,由mg=m得,v0== m/s= m/s>v,所以在同样转速的情况下,小球不能通过图示的最高点,故D错误。
12
答案 C
6.(多选)甲、乙两名溜冰运动员,m甲=80 kg,m乙=40 kg,面对面拉着弹簧测力计做圆周运动的溜冰表演,如图所示,两人相距0.9 m,弹簧测力计的示数为9.2 N,下列判断正确的是( )
A.两人的线速度相同,约为40 m/s
B.两人的角速度相同,为 rad/s
C.两人的运动半径相同,都是0.45 m
D.两人的运动半径不同,甲为0.3 m,乙为0.6 m
解析 甲、乙两人绕共同的圆心做匀速圆周运动,他们间的拉力互为向心力,他们的角速度相同,半径之和为两人的距离。设甲、乙两人所需向心力为F向,角速度为ω,半径分别为r甲、r乙,则F向=m甲ω2r甲=m乙ω2r乙=9.2 N,r甲+r乙=0.9 m,代入数据解得r甲=0.3 m,r乙=0.6 m,ω= rad/s,v= m/s,故选项B、D正确。
答案 BD
7.有一种叫“飞椅”的游乐项目,示意图如图所示,长为L的钢绳一端系着座椅,另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动,当转盘以角速度ω匀速转动时,钢绳与转轴在同一竖直平面内,与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力,求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系。
解析 设转盘转动的角速度为ω,钢绳与竖直方向的夹角为θ,
座椅到中心的距离为R=r+Lsin θ,
对座椅分析有F=mgtan θ=mRω2,
联立两式得ω=。
12
答案 ω=
8.如图所示,一条不可伸长的轻绳上端悬挂于O点,下端系一质量m=1.0 kg的小球。现将小球拉到A点(保持轻绳绷直)由静止释放,当它经过B点时轻绳恰好被拉断,小球平抛后落在水平地面上的C点,地面上的D点与OB在同一竖直线上。已知轻绳长L=1.0 m,B点离地高度 H=1.0 m,A、B两点的高度差h=0.5 m,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力,求:
(1)地面上D、C两点间的距离s;
(2)轻绳所受的最大拉力大小。
解析 (1)小球从A点到B点机械能守恒,则
mgh=mv
小球从B点到C点做平抛运动,则水平方向s=vBt
竖直方向H=gt2
解得s≈1.41 m。
(2)小球下摆到B点,轻绳的拉力和小球重力的合力提供向心力,由牛顿第二定律有F-mg=m
解得F=20 N
由牛顿第三定律得F′=F=20 N
即轻绳所受的最大拉力大小为20 N。
答案 (1)1.41 m (2)20 N
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