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  • 2021-05-26 发布

高中物理第2章研究圆周运动2_3圆周运动的案例分析教学案

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圆周运动的案例分析 [学习目标] 1.通过向心力的实例分析,体会匀速圆周运动在生活、生产中的应用.2.能应用 向心力和向心加速度公式分析过山车问题和火车转弯问题.3.熟练掌握应用牛顿第二定律和 向心力知识分析两类竖直面内圆周运动模型的步骤和方法. 一、过山车问题 1.向心力:过山车到轨道顶部 A 时,如图 1 所示,人与车作为一个整体,所受到的向心力是 重力 mg 跟轨道对车的弹力 N 的合力,即 F 向=N+mg.如图所示,过山车在最低点 B,向心力 F 向=N1-mg. 图 1 2.临界速度: 当 N=0 时,过山车通过圆形轨道顶部时的速度最小,v 临界= gR. (1)v=v 临界时,重力恰好等于过山车做圆周运动的向心力,车不会脱离轨道. (2)vv 临界时,弹力和重力的合力提供向心力,车子不会掉下来. 二、运动物体的转弯问题 1.自行车在水平路面转弯,地面对车的作用力与重力的合力提供转弯所需的向心力. 2.汽车在水平路面转弯,所受静摩擦力提供转弯所需的向心力. 3.火车转弯时外轨高于内轨,如图 2 所示,向心力由支持力和重力的合力提供. 图 2 [即学即用] 1.判断下列说法的正误. (1)汽车在水平路面上正常转弯时所需要的向心力是滑动摩擦力提供的.(×) (2)火车转弯时,内、外轨道一样高.(×) (3)若铁路弯道的内外轨一样高,火车通过弯道时向心力的来源是外轨的水平弹力,所以外轨 容易磨损.(√) (4)汽车行驶至凸形桥顶部时,对桥面的压力等于车重.(×) (5)汽车行驶至凹形桥底部时,对桥面的压力大于车重.(√) (6)绕地球做匀速圆周运动的航天器中的宇航员处于完全失重状态,故不再具有重力.(×) 2.飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可看成一段圆弧,如图 3 所示,飞机做俯冲拉起运动时, 在最低点附近做半径为 r=180 m 的圆周运动,如果飞行员质量 m=70 kg,飞机经过最低点 P 时的速度 v=360 km/h,则这时飞行员对座椅的压力是________.(g 取 10 m/s2) 图 3 答案 4 589 N 解析 飞机经过最低点时,v=360 km/h=100 m/s. 对飞行员进行受力分析,飞行员在竖直面内共受到重力 G 和座椅的支持力 N 两个力的作用, 根据牛顿第二定律得 N-mg=mv2 r ,所以 N=mg+mv2 r =70×10 N+70×1002 180 N≈4 589 N,由牛 顿第三定律得,飞行员对座椅的压力为 4 589 N. 一、分析游乐场中的圆周运动 [导学探究] 如图 4 所示,过山车能从高高的圆形轨道顶部轰然而过,车却不掉下来,这是 为什么呢?是因为过山车的车轮镶嵌在轨道的槽内、人被安全带固定的原因吗? 图 4 答案 当过山车在最高点的速度大于 gR时,重力和轨道对车向下的弹力提供向心力,所以 车不会掉下来,与其它因素无关. [知识深化] 竖直平面内的“绳杆模型”的临界问题 1.轻绳模型(如图 5 所示) 图 5 (1)绳(内轨道)施力特点:只能施加向下的拉力(或压力). (2)在最高点的动力学方程 T+mg=mv2 R . (3)在最高点的临界条件 T=0,此时 mg=mv2 R ,则 v= gR. ①v= gR时,拉力或压力为零. ②v> gR时,小球受向下的拉力或压力. ③v< gR时,小球不能到达最高点. 即轻绳的临界速度为 v 临界= gR. 2.轻杆模型(如图 6 所示) 图 6 (1)杆(双轨道)施力特点:既能施加向下的拉力(或压力),也能施加向上的支持力. (2)在最高点的动力学方程 当 v> gR时,N+mg=mv2 R ,杆对球有向下的拉力,且随 v 增大而增大. 当 v= gR时,mg=mv2 R ,杆对球无作用力. 当 v< gR时,mg-N=mv2 R ,杆对球有向上的支持力. 当 v=0 时,mg=N,球恰好能到达最高点. (3)杆类的临界速度为 v 临界=0. 例 1 公园里的过山车驶过最高点时,乘客在座椅里面头朝下.若轨道半径为 R,人的质量为 m. (1)若过山车安全通过最高点,必须至少具备多大的速度? (2)若过最高点时人对座椅的压力为 2mg,则过山车在最高点时的速度是多大? 答案 (1) gR (2) 3gR 解析 (1)人恰好通过最高点时,座椅对人的压力为零.人只有重力提供向心力,根据牛顿第 二定律.mg=mv 2 1 R 得:v1= gR,即为安全通过最高点的最小速度 (2)若人对座椅的压力 N′=2mg,在最高点人受座椅向下的弹力和重力,两个力的合力提供 向心力,有: mg+N=mv 2 2 R 得:v2= 3gR 例 2 如图 7 所示,质量为 m 的小球固定在长为 l 的细轻杆的一端,绕轻杆的另一端 O 在竖 直平面内做圆周运动.球转到最高点时,线速度的大小为 gl 2 ,此时( ) 图 7 A.杆受到 1 2 mg 的拉力 B.杆受到 1 2 mg 的压力 C.杆受到 3 2 mg 的拉力 D.杆受到 3 2 mg 的压力 答案 B 解析 以小球为研究对象,小球受重力和沿杆方向杆的弹力,设小球所受弹力方向竖直向下, 则 N+mg=mv2 l ,将 v= gl 2 代入上式得 N=-1 2 mg,即小球在 A 点受杆的弹力方向向上,大 小为 1 2 mg,由牛顿第三定律知杆受到 1 2 mg 的压力. 二、研究运动物体转弯时的向心力 [导学探究] 设火车转弯时的运动为匀速圆周运动. (1)如果铁路弯道的内外轨一样高,火车在转弯时的向心力由什么力提供?会导致怎样的后 果? (2)实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨,试从向心力的来源分析这样做有怎样的优点. (3)当轨道平面与水平面之间的夹角为α,转弯半径为 R 时,火车行驶速度多大轨道才不受挤 压? (4)当火车行驶速度 v>v0= gRtan α时,轮缘受哪个轨道的压力?当火车行驶速度 vv0= gRtan α时,重力和支持力的合力提供的向心力不足,此时外侧 轨道对轮缘有向里的侧向压力;当火车行驶速度 vv0 时,F 向>F,即所需向心力大于支持力和重力的合力,这时外轨对车轮有侧压力,以 弥补向心力不足的部分. ③当 v 2g D C.栗子脱离滚筒的位置与其质量有关 D.若栗子到达最高点时脱离滚筒,栗子将自由下落 答案 A 解析 栗子在最高点恰好不脱离时有:mg=m×D 2 ω2,解得ω= 2g D ,要求栗子到达滚筒最 高处前与筒壁脱离,则ω< 2g D ,故 A 正确,B 错误.栗子脱离滚筒的位置与其质量无关,故 C 错误.若栗子到达最高点时脱离滚筒,由于栗子的速度不为零,所以栗子的运动不是自由落 体运动,故 D 错误.故选 A. 课时作业 一、选择题(1~6 题为单选题,7~10 题为多选题) 1.长为 L 的细绳,一端系一质量为 m 的小球,另一端固定于某点,当绳竖直时小球静止,再 给小球一水平初速度 v0,使小球在竖直平面内做圆周运动,并且刚好能过最高点.则下列说法 中正确的是( ) A.小球过最高点时速度为零 B.小球开始运动时绳对小球的拉力为 mv 2 0 L C.小球过最高点时绳对小球的拉力为 mg D.小球过最高点时速度大小为 gL 答案 D 解析 小球刚好过最高点时,拉力 T=0,则 mg=mv2 L ,得 v= gL,故 A、C 错误,D 正确;开 始时小球受到的拉力与重力的合力提供向心力,所以:T-mg=mv 2 0 L ,所以 T=mg+mv 2 0 L ,故 B 项错误,故选 D. 2.如图 1 所示,质量相等的汽车甲和汽车乙,以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动, 汽车甲在汽车乙的外侧.两车沿半径方向受到的摩擦力分别为 f 甲和 f 乙.以下说法正确的是 ( ) 图 1 甲小于 f 乙 甲等于 f 乙 甲大于 f 乙 甲和 f 乙的大小均与汽车速率无关 答案 A 解析 汽车在水平面内做匀速圆周运动,摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力,即 f=F 向心 =mv2 r ,由于 r 甲>r 乙,则 f 甲<f 乙,A 正确. 3.如图 2 所示,某公园里的过山车驶过轨道的最高点时,乘客在座椅里面头朝下,人体颠倒, 若轨道半径为 R,人体重为 mg,要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力, 则过山车在最高点时的速度大小为( ) 图 2 错误! 错误! 错误! 答案 C 解析 由题意知 F+mg=2mg=mv2 R ,故速度大小 v= 2gR,C 正确. 4.在铁路转弯处,往往外轨略高于内轨,关于这点下列说法不正确的是( ) A.减轻火车轮子对外轨的挤压 B.减轻火车轮子对内轨的挤压 C.使火车车身倾斜,利用重力和支持力的合力提供转弯所需向心力 D.限制火车向外脱轨 答案 B 5.长度为 1 m 的轻杆 OA 的 A 端有一质量为 2 kg 的小球,以 O 点为圆心,在竖直平面内做圆 周运动,如图 3 所示,小球通过最高点时的速度为 3 m/s,g 取 10 m/s2,则此时小球将( ) 图 3 A.受到 18 N 拉力 B.受到 38 N 的支持力 C.受到 2 N 的拉力 D.受到 2 N 的支持力 答案 D 解析 设此时轻杆拉力大小为 F,根据向心力公式有 F+mg=mv2 r ,代入数值可得 F=-2 N, 表示小球受到 2 N 的支持力,选项 D 正确. 6.在高速公路的拐弯处,通常路面都是外高内低.如图 4 所示,在某路段汽车向左拐弯,司机 左侧的路面比右侧的路面低一些.汽车的运动可看做是半径为 R 的圆周运动.设内、外路面高 度差为 h,路基的水平宽度为 d,路面的宽度为 L.已知重力加速度为 g.要使车轮与路面之间 的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零,则汽车转弯时的车速应等于( ) 图 4 错误! 错误! 错误! 错误! 答案 B 解析 设路面的倾角为θ,根据牛顿第二定律得 mgtan θ=mv2 R ,又由数学知识可知 tan θ =h d ,联立解得 v= gRh d ,选项 B 正确. 7.火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动,当火车以规定速度通过时,内外轨道均不受侧向 挤压,如图 5.现要降低火车转弯时的规定速度,须对铁路进行改造,从理论上讲以下措施可 行的是( ) 图 5 A.减小内外轨的高度差 B.增加内外轨的高度差 C.减小弯道半径 D.增大弯道半径 答案 AC 解析 当火车以规定速度通过弯道时,火车的重力和支持力的合力提供向心力,如图所示: 即 F=mgtan θ,而 F=mv2 R ,故 gRtan θ=v2,若使火车经弯道时的速度 v 减小,则可以减 小倾角θ,即减小内外轨的高度差,或者减小弯道半径 R,故 A、C 正确,B、D 错误. 8.如图 6 所示,一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内,其中管道半径为 R. 现有一个半径略 小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动,当小球通过最高点时速率为 v0,则下列说法 中正确的是( ) 图 6 A.若 v0= gR,则小球对管内壁无压力 B.若 v0> gR,则小球对管内上壁有压力 C.若 0 gR,则有 mg+N=mv 2 0 R ,表明小球对管内上壁有压力,选项 B 正确. 若 0