高考数学专题复习练习第二章 第十三节 定积与微积分基本定理[理] 课下练兵场 5页

第二章 第十三节 定积与微积分基本定理[理]‎ 课下练兵场 命 题 报 告 ‎ 难度及题号 知识点 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 定积分的计算 ‎1、2、3‎ ‎5、7、8、10‎ ‎6、12‎ 求曲多边形的面积 ‎4‎ ‎11‎ 定积分在物理中的应用 ‎9‎ 一、选择题 ‎1.设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则∫f(－x)dx的值等于 (　　)‎ A.　　　　　　　　B. C. D. 解析：由于f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，‎ 所以f(x)＝x2＋x，于是∫f(－x)dx＝∫(x2－x)dx ‎＝(x3－x2)|＝.‎ 答案：A ‎2.(2009·福建高考) ∫ (1＋cosx)dx等于 (　　)‎ A.π B‎.2 C.π－2 D.π＋2‎ 解析：∵(x＋sinx)′＝1＋cosx，‎ ‎∴∫ (1＋cosx)dx＝(x＋sinx)‎ ‎＝＋sin－＝π＋2.‎ 答案：D ‎3.设连续函数f(x)>0，则当a0，‎ 可知∫f(x)dx表示x＝a，x＝b，y＝0与y＝f(x)围成的曲边梯形的面积.∴∫ f(x)dx>0.‎ 答案：A ‎4.如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 (　　)‎ A.1 B. C. D.2‎ 解析：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于 ∫(－x2＋2x＋1－1)dx＝∫(－x2＋2x)dx＝.‎ 答案：B ‎5.已知f(x)为偶函数且∫f(x)dx＝8，则∫f(x)dx等于 (　　)‎ A.0 B‎.4 C.8 D.16‎ 解析：原式＝∫f(x)dx＋∫f(x)dx.‎ ‎∵原函数为偶函数，∴在y轴两侧的图象对称，‎ ‎∴对应的面积相等，则∫f(x)dx＝8×2＝16.‎ 答案：D ‎6.设 (　　)‎ A. B. C. D.不存在 解析：数形结合，‎ ‎∫f(x)dx＝∫x2dx＋∫(2－x)dx ‎＝＋ ‎＝.‎ 答案：C 二、填空题 ‎7.已知f(x)＝∫(2t－4)dt，则当x∈[－1,3]时，f(x)的最小值为　　　　.‎ 解析：f(x)＝∫(2t－4)dt＝(t2－4t)|＝x2－4x ‎＝(x－2)2－4(－1≤x≤3)，‎ ‎∴当x＝2时，f(x)min＝－4.‎ 答案：－4‎ ‎8.已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若∫f(x)dx＝‎2f(a)，则a＝　　　　.‎ 解析：∫f(x)dx＝∫(3x2＋2x＋1)dx ‎＝(x3＋x2＋x)|＝4＝‎2f(a)，‎ f(a)＝‎3a2＋‎2a＋1＝2，‎ 解得a＝－1或.‎ 答案：－1或 ‎9.一物体以v(t)＝t2－3t＋8(m/s)的速度运动，在前30 s内的平均速度为　　　　.‎ 解析：由定积分的物理意义有：‎ s＝∫(t2－3t＋8)dt＝(t3－t2＋8t)| ＝7890(m).‎ ‎∴＝＝＝263(m/s).‎ 答案：‎263 m/s 三、解答题 ‎10.求下列定积分：‎ ‎(1)(3x2－x＋1)dx；‎ ‎(2)∫(e2x＋)dx；‎ 解：(1)(3x2－x＋1)dx＝(x3－x2＋x) |‎ ‎＝a3－a2＋a.‎ ‎(2)∵(lnx)′＝，(e2x)′＝e2x，‎ ‎∴∫(e2x＋)dx＝∫e2xdx＋∫dx ‎＝e2x|＋lnx| ‎＝e4－e2＋ln2－ln1‎ ‎＝e4－e2＋ln2.‎ ‎11.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图：‎ 直线y＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数 图象所围成的区域(阴影)面积为，求f(x).‎ 解：由f(0)＝0得c＝0，‎ f′(x)＝3x2＋2ax＋b.‎ 由f′(0)＝0得b＝0，‎ ‎∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，‎ 由∫[－f(x)]dx＝得a＝－3.‎ ‎∴f(x)＝x3－3x2.‎ ‎12.已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，∫f(x)dx＝－2.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值.‎ 解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，‎ 则f′(x)＝2ax＋b.‎ 由 ‎∴f(x)＝ax2＋(2－a).‎ 又∫f(x)dx＝∫[ax2＋(2－a)]dx ‎＝[ax3＋(2－a)x]|＝2－a＝－2，‎ ‎∴a＝6，∴c＝－4.‎ 从而f(x)＝6x2－4.‎ ‎(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]，‎ 所以当x＝0时f(x)min＝－4；‎ 当x＝±1时，f(x)max＝2.‎