高考数学二轮复习专题1_6解析几何讲理 34页

专题 1.6 解析几何 考向一 直线与圆 【高考改编☆回顾基础】 1.【直线垂直的位置关系及直线的点斜式方程】【2016·天津卷改编】过原点且与直线 2x＋y＝0 垂直的直线方程 为________． 【答案】y＝1 2 x 【解析】因为直线 2x＋y＝0 的斜率为－2，所以所求直线的斜率为1 2 ，所以所求直线方程为 y＝1 2 x. 2.【弦长问题】【2016·全国卷Ⅰ改编】设直线 y＝x＋2 2与圆 C：x2＋y2－2 2y－2＝0 相交于 A，B 两点，则 |AB|＝________． 【答案】2 3 3.【直线与圆，圆与圆的位置关系】【2016·山东卷改编】已知圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线 x＋y＝0 所得 线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x－1)2＋(y－1)2＝1 的位置关系是________． 【答案】相交 【解析】由垂径定理得 a 2 2＋( 2)2＝a2，解得 a2＝4，∴圆 M：x2＋(y－2)2＝4，∴圆 M 与圆 N 的圆心距 d＝ （0－1）2＋（2－1）2＝ 2.∵2－1< 2<2＋1，∴两圆相交． 4.【椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系】【2017 课标 3，改编】已知椭圆 C： 2 2 2 2 1x y a b   ，（a>b>0）的左、 右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 2 0bx ay ab   相切，则 C 的离心率为 . 【答案】 6 3 【解析】 故填 6 3 . 【命题预测☆看准方向】 从近五年的高考试题来看,高考的重点是求圆的方程、求与圆有关的轨迹方程、直线与圆的位置关系、弦长问题、 切线问题、圆与圆的位置关系,圆与圆锥曲线的交汇问题是高考的热点,经常以选择题、解答题的形式出现.另外， 从高考试题看，涉及直线、圆的问题有与圆锥曲线等综合命题趋势.复习中应注意围绕圆的方程、直线与圆的位 置关系、圆与圆的位置关系等,其中经常考查的是圆与圆位置关系中的动点轨迹,直线与圆的位置关系中的弦长问 题、切线问题、参数的取值范围等. 【典例分析☆提升能力】 【例 1】【2018 届北京丰台二中高三上学期期中】已知点  2,0P 及圆 2 2: 6 4 4 0C x y x y     ． （Ⅰ）设过 P 的直线 1l 与圆C 交于 M ， N 两点，当 4MN  时，求以 MN 为直径的圆Q 的方程． （Ⅱ）设直线 1 0ax y   与圆 C 交于 A ， B 两点，是否存在实数 a ，使得过点 P 的直线l ，垂直平分弦 AB ？ 若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)  2 22 4x y   (2) 不存在实数 a ，使得过点  2,0P 的直线 2l 垂直平分弦 AB ． 【解析】试题分析：（1）由利用两点间的距离公式求出圆心 C 到 P 的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用 勾股定理求出弦心距 d，发现|CP|与 d 相等，所以得到 P 为 MN 的中点，所以以 MN 为直径的圆的圆心坐标即为 P 的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（2）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于 a 的不等式，求出不等式的 解集即可得到 a 的取值范围，利用反证法证明证明即可． （Ⅱ）把直线 1 0ax y   及 1y ax  代入圆C 的方程，消去 y ，整理得：    2 21 6 1 9 0a x a x     ， 由于直线 1 0ax y   交圆C 于 A ， B 两点， 故    2 236 1 36 1 0a a      ，即 2 0a  ，解得 0a  ． 则实数 a 的取值范围是  ,0 ． 设符合条件的实数 a 存在， 由于 2l 垂直平分弦 AB ，故圆心  3, 2C  必在直线 2l 上， 所以 2l 的斜率 2PCk  ，所以 1 2ABk a  ， 由于  1 ,02   ， 故不存在实数 a ，使得过点  2,0P 的直线 2l 垂直平分弦 AB ． 【趁热打铁】【2018 届江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校高三 12 月联考】经过点 2,0 且圆 心是直线 2x  与直线 4x y  的交点的圆的标准方程为__________． 【答案】   2 22 2 4x y    【解析】直线 2x  与直线 4x y  的交点为 2,2 即圆心为  2,2 ，因为圆经过点  2,0 所以半径为 2，故圆 的标准方程为   2 22 2 4x y    故答案为   2 22 2 4x y    【例 2】已知圆 C 经过点 A(0，2)，B(2，0)，圆 C 的圆心在圆 x2＋y2＝2 的内部，且直线 3x＋4y＋5＝0 被圆 C 所 截得的弦长为 2 3.点 P 为圆 C 上异于 A，B 的任意一点，直线 PA 与 x 轴交于点 M，直线 PB 与 y 轴交于点 N. (1)求圆 C 的方程； (2)若直线 y＝x＋1 与圆 C 交于 A1，A2 两点，求BA1 →·BA2 →； (3)求证：|AN|·|BM|为定值． 【答案】(1)x2＋y2＝4.(2)3.(3)证明：见解析. (2)将 y＝x＋1 代入 x2＋y2＝4 得 2x2＋2x－3＝0. 设 A1(x1，y1)，A2(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－1，x1x2＝－3 2 . ∴BA1 →·BA2 →＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(x1＋1)(x2＋1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋5＝－3＋1＋5＝3. (3)证明：当直线 PA 的斜率不存在时，|AN|·|BM|＝8. 当直线 PA 与直线 PB 的斜率都存在时，设 P(x0，y0)， 直线 PA 的方程为 y＝y0－2 x0 x＋2，令 y＝0 得 M 2x0 2－y0 ，0 . 直线 PB 的方程为 y＝ y0 x0－2 (x－2)，令 x＝0 得 N 0， 2y0 2－x0 . ∴|AN|·|BM|＝ 2－ 2y0 2－x0 2－ 2x0 2－y0 ＝4＋4 y0 x0－2 ＋ x0 y0－2 ＋ x0y0 （x0－2）（y0－2） ＝ 4 ＋ 4·y2 0 －2y0 ＋ x2 0 －2x0 ＋ x0 y0 （x0 －2）（y0 －2） ＝ 4 ＋ 4·4－2y0 －2x0 ＋ x0 y0 （x0 －2）（y0 －2） ＝ 4 ＋ 4×4－2y0 －2x0 ＋ x0 y0 4－2y0 －2x0 ＋ x0 y0 ＝ 8， 故|AN|·|BM|为定值 8. 【趁热打铁】(1)已知圆 C 的方程为 x2＋y2＋8x＋15＝0，若直线 y＝kx－2 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的取值范围为________________． (2)已知圆 C：x2＋y2－ax＋2y－a＋4＝0 关于直线 l1：ax＋3y－5＝0 对称，过点 P(3，－2)的直线 l2 与圆 C 交于 A，B 两点，则弦长|AB|的最小值为________________． 【答案】(1)－4 3 ≤k≤0 (2)2 3. (2)圆 C：x2＋y2－ax＋2y－a＋4＝0，其圆心 C 为 a 2 ，－1 ，半径 r＝1 2 a2＋4a－12. ∵圆 C 关于直线 l1：ax＋3y－5＝0 对称，∴a2 2 －3－5＝0， 解得 a＝±4. 当 a＝－4 时，半径小于 0，不合题意，舍去． ∴a＝4，则圆心 C 为(2，－1)，半径 r＝ 5. 由|PC|＝ 2< 5，可知点 P 在圆内，则当弦长|AB|最小时，直线 l2 与 PC 所在直线垂直． 此时圆心 C 到直线 l2 的距离 d＝|PC|＝ 2， 弦长|AB|＝2 r2－d2＝2 3， 即所求最小值为 2 3. 【方法总结☆全面提升】 1.要注意几种直线方程的局限性,点斜式、斜截式方程要求直线不能与 x 轴垂直,两点式方程要求直线不能与坐标 轴垂直,而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线. 2.求解与两条直线平行或垂直有关的问题时,主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件,即若斜率存在时,“斜 率相等”或“互为负倒数”;若出现斜率不存在的情况,可考虑用数形结合的方法去研究. 3.求圆的方程一般有两类方法: (1)几何法,通过圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,求得圆的基本量和方程; (2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数. 4.直线与圆的位置关系: (1)代数法．将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置 关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离； (2)几何法．把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较：dr⇔相离． 优先选用几何法. 5.处理有关圆的弦长问题求解方法： (1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2 r2－d2(其中 l 为弦长， r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)． (2)根据公式：l＝ 1＋k2|x1－x2|求解(其中 l 为弦长，x1，x2 为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)． (3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解． 【规范示例☆避免陷阱】 【典例】已知过原点的动直线 l 与圆 2 2 1 : 6 5 0C x y x    相交于不同的两点 A,B. ①求圆 1C 的圆心坐标. ②求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程. ③是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x-4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k的取值范围;若不存在,说明理由. 【规范解答】: ①由 2 2 6 5 0x y x    ,得(x-3) 2 +y 2 =4, 从而可知圆 C 1 的圆心坐标为(3,0). ②设线段 AB 的中点 M(x,y), 由弦的性质可知 C 1 M⊥AB,即 C 1 M⊥OM. 故点 M 的轨迹是以 OC 1 为直径的圆, 该圆的圆心为 C ,半径 r= |OC1|= 3= ,其方程为 +y2= ,即 x2+y2-3x=0. 又因为点 M 为线段 AB 的中点,所以点 M 在圆 C1 内,所以 <2. 又 x2+y2-3x=0,所以 x> 易知 x≤3,所以 b>0)的离心率为1 2 ，椭圆的半焦距为 c 且 a2＝4c，则椭圆 E 的标准方程为____________． 【答案】x2 4 ＋y2 3 ＝1 【解析】因为椭圆 E 的离心率为1 2 ，所以 e＝c a ＝1 2 ，又 a2＝4c, 所以 a＝2，c＝1，于是 b＝ a2－c2＝ 3， 因此椭圆 E 的标准方程是x2 4 ＋y2 3 ＝1. 2．【双曲线的方程及其几何性质】【2017·全国卷Ⅲ】双曲线x2 a2－y2 9 ＝1(a＞0)的一条渐近线方程为 y＝3 5 x，则 a＝ ________. 【答案】5 【解析】令x2 a2－y2 9 ＝0，得双曲线的渐近线方程为 y＝±3 a x，∵双曲线x2 a2－y2 9 ＝1(a>0)的一条渐近线方程为 y＝3 5 x， ∴a＝5. 3. 【抛物线方程及其几何性质】【2017 课标 1，改编】已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的 直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 . 【答案】16 【命题预测☆看准方向】 从近五年的高考试题来看,圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是高考考查的重点,也是高考命题的基本元素. 考查的角度有:对圆锥曲线的定义的理解及定义的应用,求圆锥曲线的标准方程,求圆锥曲线的离心率以及向量、 直线、圆锥曲线的小综合. 考查的重点是依据圆锥曲线的几何性质求离心率;根据圆锥曲线的定义求标准方程； 圆锥曲线与向量的小综合;两种圆锥曲线间的小综合;直线与圆锥曲线的小综合;圆锥曲线的综合应用等. 【典例分析☆提升能力】 【例 1】【2017 课标 II，理 9】若双曲线 C: 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的一条渐近线被圆  2 22 4x y   所 截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（ ） A．2 B． 3 C． 2 D． 2 3 3 【答案】A 【解析】 【趁热打铁】【2018 届吉林省实验中学高三上第五次月考（一模）】F1，F2 分别是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点，过 F1 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于 A、B 两点．若△ABF2 是等边三角形，则该双曲线的 离心率为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】设 AB m ，则 1 1 2 2 12 , 2 4AF BF BF a AF AF a m a       ， 由余弦定理得    2 22 0 2 24 6 4 2 6 4 cos60 28 7, 7c a a a a a e e          选 D. 【例 2】【2017 课标 II，理】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 2 2 12 x y  上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N， 点 P 满足 2NP NM  。 (1) 求点 P 的轨迹方程； (2)设点 Q 在直线 3x   上，且 1OP PQ   。证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F。 【答案】(1) 2 2 2x y  。 (2)证明略。 【解析】 （2）由题意知  1,0F  .设    3, , ,Q t P m n ,则    3, , 1 , , 3 3OQ t PF m n OQ PF m tn             ，    , , 3 ,OP m n PQ m t n      。 由 1OP PQ    得 2 23 1m m tn n     ，又由（1）知 2 2 2m n  ，故 3 3 0m tn   . 所以 0OQ PF    ，即 OQ PF   .又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线l 过 C 的左焦 点 F. 【趁热打铁】如图,抛物线  2 2 1 2: 4 , : 2 0C x y C x py p    .点 M(x 0 ,y 0 )在抛物线 C 2 上,过点 M 作 C 1 的切线,切 点为 A,B(M 为原点 O 时,A,B 重合于 O).当 0 1 2 x   时,切线 MA 的斜率为 1 2  . (1)求 p 的值; (2)当点 M 在 C 2 上运动时,求线段 AB 的中点 N 的轨迹方程(当 A,B 重合于点 O 时,中点为 O). 【答案】(1)p=2.(2)x2= y. 【解析】(1)因为抛物线 C1:x2=4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为 y'= ,且切线 MA 的斜率为- ,所以 A 点坐标为 ,所以切线 MA 的方程为 y=- (x+1)+ . 因为点 M(1- ,y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上, 于是 y0=- (2- )+ =- ,① y0=- =- .② 由①②得 p=2. (2)设 N(x,y),A ,B ,x1≠x2,由 N 为线段 AB 中点, 知 x= ,③ y= .④ 切线 MA 的方程为 y= (x-x1)+ ,⑤ 切线 MB 的方程为 y= (x-x2)+ .⑥ 由⑤⑥得 MA,MB 的交点 M(x0,y0)的坐标为 x0= ,y0= . 因为点 M(x0,y0)在 C2 上,即 =-4y0, 所以 x1x2=- .⑦ 由③④⑦得 x2= y,x≠0. 当 x1=x2 时,A,B 重合于原点 O,AB 中点 N 为 O,坐标满足 x2= y. 因此线段 AB 中点 N 的轨迹方程为 x2= y. 【例 3】【2017 课标 3，理 20】已知抛物线 C：y2=2x，过点（2,0）的直线 l 交 C 与 A,B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上； （2）设圆 M 过点  4, 2P  ，求直线 l 与圆 M 的方程. 【答案】(1)证明略； (2)直线l 的方程为 2 0x y   ，圆 M 的方程为   2 23 1 10x y    . 或直线l 的方程为 2 4 0x y   ，圆 M 的方程为 2 29 1 85 4 2 16x y             . 【解析】 所以 22 1 0m m   ，解得 1m  或 1 2m   . 当 1m  时，直线l 的方程为 2 0x y   ，圆心 M 的坐标为 3,1 ，圆 M 的半径为 10 ，圆 M 的方程 为   2 23 1 10x y    . 当 1 2m   时，直线l 的方程为 2 4 0x y   ，圆心 M 的坐标为 9 1,4 2     ，圆 M 的半径为 85 4 ，圆 M 的方程为 2 29 1 85 4 2 16x y             . 【趁热打铁】【2018 届广东省仲元中学、中山一中等七校高三第二次联考】已知椭圆 2 2 2 2 x y 1(a b 0)a b     的上、 下、左、右四个顶点分别为 A B C D,、 、 、 x 轴正半轴上的某点 G 满足 GD 2, GA 3, GC 4   . (1)求椭圆的方程; (2)设该椭圆的左、右焦点分别为 1 2F F、 ,点 M 在圆 2 2 2x y b  上,且 M 在第一象限,过 M 作圆 2 2 2x y b  的 切线交椭圆于 P,Q ,求证:△ 2PF Q 的周长是定值． 【答案】(1) 2 2 19 8 x y  (2)见解析 【解析】试题分析： (1) 设点G 的坐标为 0,0x 可知 2 2 0 02 2 4, 3, 4 1, 3 2 2a a x a b x        ，可得椭圆方程;(2)法一: 设    1 1 2 2, , ,P x y Q x y ，结合椭圆方程可得 1 2 3 3 xPF   ，在圆中, M 是切点, 2 2 1 1 3PM OP OM x   ，同理可得 2 3QF QM  ,则易得结论;法二:设 PQ PQ 的方程为  0, 0y kx m k m  ，联立椭圆方程,由根与系数的关系式,结合弦长公式求出 2 6 8 9 kmPQ k    ，再求出 1 2 2 23 , 33 3 x xPF QF    ，则结论易得. 试题解析： (1)设点 G 的坐标为  0 0x ,0 (x 0) ,可知 2a 2 4,a 3   , 2 2 0 0x 4 a 1,b 3 x 2 2      . 因此椭圆的方程是 2 2x y 19 8   . (2)方法 1:设    1 1 2 2P x ,y ,Q x ,y ,则 2 2 1 1x y 19 8   ,  2 2 2 1 1PF x 1 y   =   22 2 1 1 1 x xx 1 8 1 39 3              , ∵ 10 x 3  ,∴ 1 2 xPF 3 3   , 在圆中, M 是切点, ∴ 2 2PM OP | OM |  = 2 2 1 1x y 8  = 2 2 1 1 1 x 1x 8 1 8 x9 3         , ∴ 2 1 1 1 1PF PM 3 x x 33 3      , 同理 2QF QM 3  ,∴ 2 2F P F Q PQ 3 3 6     , 因此△ ΒΑC 的周长是定值 6 ． 方法 2:设 PQ 的方程为  y kx m k 0,m 0  , 由 2 2{  x x 19 8 y kx m    ,得 2 2 28 9k x 18kmx 9m 72 0     , 设    1 1 2 2P x ,y ,Q x ,y ,则 2 1 2 1 22 2 18km 9m 72x x ,x x8 9k 8 9k      , ∴ PQ = 2 1 21 k x x  =  22 1 2 1 21 k x x 4x x   = 2 2 2 2 2 18km 9m 721 k 48 9k 8 9k             2 2 2 22 4 9 8 9k m 8 1 k 8 9k         , ∵ PQ 与圆 2 2x y 8  相切,∴ 2 m 2 2 1 k   ,即 2m 2 2 1 k  , ∴ 2 6kmPQ 8 9k    , ∵     22 2 22 1 1 2 1 1 1 x xPF x 1 y x 1 8 1 39 3                  , ∵ 10 x 3  ,∴ 1 2 xPF 3 3   , 同理可得   2 2 2 x1QF 9 x 33 3     , ∴ 1 2 2 2 2 2 2 x x 6km 6km 6kmF P F Q PQ 6 6 63 8 9k 8 9k 8 9k            , 因此△ 2PQF 的周长是定值 6 ． 【方法总结☆全面提升】 1.涉及椭圆(或双曲线)两焦点距离的问题或焦点弦问题以及到抛物线焦点(或准线)距离的问题,可优先考虑圆锥 曲线的定义.求圆锥曲线标准方程时“先定型,后计算”,即首先确定是何种曲线,焦点在哪个坐标轴上,然后利用 条件求 a,b,p 的值. 2.求椭圆、双曲线的离心率问题,关键是首先根据已知条件确定 a,b,c 的关系,然后将 b 用 a,c 代换,求 e= 的 值;另外要注意双曲线的渐近线与离心率的关系.圆锥曲线的性质常与等差数列、等比数列、三角函数、不等式等 问题联系在一起,一般先利用条件转化为单一知识点的问题再求解. 3.求曲线的轨迹方程时,先看轨迹的形状是否预知,若能依据条件确定其形状,可用定义法或待定系数法求解;若 动点 P 与另一动点 Q 有关,点 Q 在已知曲线上运动,可用代入法求动点 P 的轨迹方程;否则用直接法求解. 4.涉及圆锥曲线的焦点弦、焦点三角形问题,常结合定义、正弦定理、余弦定理等知识解决. 5.涉及垂直问题可结合向量的数量积解决. 6.解决直线与圆锥曲线位置关系问题，主要有方程组法，和“点差法”．对于弦中点问题常用“根与系数的关系” 或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥 曲线是否相交． 【规范示例☆避免陷阱】 【典例】【2016·乙卷】设圆 x2＋y2＋2x－15＝0 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C， D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (Ⅰ)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程； (Ⅱ)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点， 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求 四边形 MPNQ 面积的取值范围． 【规范解答】(Ⅰ)圆 A 整理为(x＋1)2＋y2＝16，圆心 A(－1,0)，1 分 如图， 因为 BE∥AC，则∠ACB＝∠EBD，由|AC|＝|AD|， 则∠ADC＝∠ACD，所以∠EBD＝∠EDB， 则|EB|＝|ED|，1 分 所以|EA|＋|EB|＝|AE|＋|ED|＝|AD|＝4. 所以 E 的轨迹为一个椭圆，1 分 a＝2，c＝1，方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1(y≠0).1 分 (Ⅱ)C1：x2 4 ＋y2 3 ＝1；设 l：x＝my＋1， 因为 PQ⊥l，设 PQ：y＝－m(x－1)，联立 l 与椭圆 C1， x＝my＋1， x2 4 ＋y2 3 ＝1， 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0； 则|MN|＝ 1＋m2|yM－yN| ＝ 1＋m2 36m2＋36 3m2＋4 3m2＋4 ＝12 m2＋1 3m2＋4 ；2 分 圆心 A 到 PQ 距离 d＝|－m －1－1 | 1＋m2 ＝ |2m| 1＋m2 ， 所以|PQ|＝2 |AQ|2－d2＝2 16－ 4m2 1＋m2 ＝4 3m2＋4 1＋m2 ，2 分, 所以 SMPNQ＝1 2 |MN|·|PQ|＝1 2 ·12 m2＋1 3m2＋4 · 4 3m2＋4 1＋m2 ＝24 m2＋1 3m2＋4 2 分 ＝24 1 3＋ 1 m2＋1 ∈[12,8 3). 2 分 【反思提升】处理有关圆锥曲线与圆相结合的问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如直径对的圆 心角为直角,构成了垂直关系;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形.利用圆的一些特殊几何性质解题,往往 使问题简化.. 【误区警示】第(Ⅰ)问得分点及说明 得分点 1．写出圆心坐标得 1 分． 2．得出 EB＝ED，得 1 分． 3．根据椭圆定义判断点 E 的轨迹是椭圆，得 1 分． 4．得出椭圆方程，得 1 分． 踩点说明 1．只要得出椭圆方程正确，得 4 分，忽略 y≠0 扣 1 分． 2．只要正确判断出点 E 的轨迹是椭圆，得 3 分． 3．若只有椭圆方程，而没有解答过程，得 2 分． 第(Ⅱ)问得分点及说明 5．根据弦长公式整理得出弦长|MN|得 2 分 6．得出弦长|PQ|得 2 分． 7.列出面积表达式，得 2 分． 8．求出面积的范围，得 2 分． 踩点说明 1．结果正确，有过程得满分． 2．两个弦长|MN|，|PQ|只要结果正确，每个得 2 分． 3．直线方程和椭圆方程联立，给 1 分． 4．写对弦长公式，给 1 分． 5．写出点到直线距离公式正确，给 1 分． 考向三 圆锥曲线的热点问题 【高考改编☆回顾基础】 1．【直线、圆、椭圆的位置关系及过定点问题】【2017·全国卷Ⅱ改编】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：x2 2 ＋ y2＝1 上，P 在圆 x2＋y2＝2 上，设点 Q 在直线 x＝－3 上，且OP→·PQ→＝1，则过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l ________(填 “经过”或“不经过”)C 的左焦点 F. 【答案】经过 2. 【直线与椭圆的位置关系及定值问题】【2016·山东卷改编】如图 131，已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)，过 动点 M(0，m)(00，y0>0)． 由 M(0，m)，可得 P(x0，2m)，Q(x0，－2m)， 所以直线 PM 的斜率 k＝2m－m x0 ＝m x0 ， 直线 QM 的斜率 k′＝－2m－m x0 ＝－3m x0 . 此时k′ k ＝－3，所以k′ k 为定值－3. 3.【直线与抛物线的位置关系及范围问题】【2017·浙江卷改编】已知抛物线 x2＝y，点 A －1 2 ，1 4 ，抛物线上的 点 P(x，y) －1 2 b>0)，由题可知 c＝1， 因为|BD|＝3，所以2b2 a ＝3， 又 a2－b2＝1，所以 a＝2，b＝ 3， 所以椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. 所以(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5 4 ， 即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5 4 ， 所以 16k2－16k－8 3＋4k2 －2·8k 2k－1 3＋4k2 ＋4 (1＋k2)＝4＋4k2 3＋4k2＝5 4 ， 解得 k＝±1 2 .因为 k>－1 2 ，所以 k＝1 2 ， 故存在直线 l1 满足条件，其方程为 y＝1 2 x. 【趁热打铁】如图，圆C ：  2 21 0x a x y ay a      ． （1）若圆 C 与 x 轴相切，求圆 C 的方程； （2）求圆心C 的轨迹方程； （3）已知 1a  ，圆 C 与 x 轴相交于两点 ,M N （点 M 在点 N 的左侧）．过点 M 任作一条直线与圆O ： 2 2 4x y  相交于两点 ,A B ．问：是否存在实数 a ，使得 ANM BNM   ？若存在，求出实数 a 的值，若不 存在，请说明理由． 【答案】（1） 2 22 1 0x x y y     ；（2） 2 2 1 0x y   （3）存在 4a  ，使得 ANM BNM   （2）求圆心C 点坐标为 ,x y ，则 1 ,2 2 a ax y  圆心C 点的轨迹方程为 2 2 1 0x y   （3）令 0y  ，得  2 1 0x a x a    ，即  1 0x x a   所以    1,0 , ,0M N a 假设存在实数 a ，当直线 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为  1y k x  ， 代入 2 2 4x y  得，  2 2 2 21 2 4 0k x k x k     ，设    1 1 2 2, , , ,A x y B x y 从而 2 2 1 2 1 22 2 2 4,1 1 k kx x x xk k     因为          1 2 2 11 2 1 2 1 2 1 1k x x a x x ay y x a x a x a x a            而        1 2 2 1 1 2 2 11 1 2 1 2x x a x x a x x a x x a            2 2 2 2 4 22 1 21 1 k ka ak k      2 2 8 1 a k   因为 ANM BNM   ，所以 1 2 1 2 0y y x a x a    ，即 2 2 8 01 a k   ，得 4a  ． 当直线 AB 与 x 轴垂直时，也成立．故存在 4a  ，使得 ANM BNM   【方法总结☆全面提升】 1.圆锥曲线中求最值或范围问题的方法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下几个方 面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系； ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 2.定点问题的求法 解题的关键在于寻找题中用来联系已知量和未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量和未知 量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决． 3. 定值问题的求法 解这类问题常通过取参数和特殊值先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式 是与变量无关的常数． 特别提醒：解决定值问题一定要分清哪些量为变量，哪些量为常量． 4. 求解存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件并结合题 目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛看，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说明满足条件的几 何元素或参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与 计算的过程就是说明理由的过程． 【规范示例☆避免陷阱】 【典例】【2017·全国卷Ⅰ】已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)，四点 P1(1,1)，P2(0,1)，P3（－1， 3 2 ），P4（1， 3 2 ） 中恰有三点在椭圆 C 上． (1)求 C 的方程． (2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点．若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点． 【规范解答】 (1)由于 P3，P4 两点关于 y 轴对称，故由题设知椭圆 C 经过 P3，P4 两点． 又由1 a2＋1 b2＞1 a2＋ 3 4b2知，C 不经过点 P1， 所以点 P2 在 C 上.1 分 因此 1 b2＝1， 1 a2＋ 3 4b2＝1， 解得 a2＝4， b2＝1. 故 C 的方程为x2 4 ＋y2＝1.4 分 (2)设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2. 如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x＝t，由题设知 t≠0，且|t|＜2，可得 A，B 的坐标分别为（t， 4－t2 2 ），（t，－ 4－t2 2 ）. 则 k1＋k2＝ 4－t2－2 2t － 4－t2＋2 2t ＝－1，得 t＝2，不符合题设． 2 分 从而可设 l：y＝kx＋m(m≠1)．将 y＝kx＋m 代入x2 4 ＋y2＝1 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)＞0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－ 8km 4k2＋1 ，x1x2＝4m2－4 4k2＋1 .2 分 而 k1＋k2＝y1－1 x1 ＋y2－1 x2 ＝kx1＋m－1 x1 ＋kx2＋m－1 x2 ＝2kx1x2＋ m－1 x1＋x2 x1x2 . 由题设 k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0. 即(2k＋1)·4m2－4 4k2＋1 ＋(m－1)·－8km 4k2＋1 ＝0.解得 k＝－m＋1 2 .3 分 当且仅当 m＞－1 时，Δ＞0， 于是 l：y＝－m＋1 2 x＋m，即 y＋1＝－m＋1 2 (x－2)， 所以 l 过定点(2，－1).1 分 【反思提升】1.求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解 的一个点(或几个点)的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的 斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标. 当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为 单参数问题解决. 2.证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出 x,y 的方程组,以 方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点. 【误区警示】1．正确使用圆锥曲线的定义：牢记圆锥曲线的定义及性质，用解方程的方法求出 a2、b2，如本题第 (1)问就涉及椭圆的性质来判断点在不在椭圆上． 2．注意分类讨论：当用点斜式表示直线方程时，应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解，易出现忽略斜率 不存在的情况，导致扣分，如本题第(2)问中首先要求出斜率不存在时的情况． 3．写全得分关键：在解析几何类解答题中，直线方程与圆锥曲线方程联立后得到的一元二次方程，根据一元二 次方程得到的两根之和与两根之积，弦长，目标函数，……等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要 写清楚．