2009年高考试题—数学文（安徽卷）解析版 9页

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）‎ 数学（文科）‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至页。全卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 考生注意事项：‎ ‎1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。‎ ‎2．答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选题其他答案标号。‎ ‎3．答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置给出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效。在试题卷、草稿纸上答题无效。‎ ‎4. 考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。‎ 参考公式： ‎ 如果事件互斥，那么 S表示底面积，h表示底面上的高 ‎ 棱柱体积 V=Sh ‎ ‎ 棱锥体积 ‎ 第I卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. i是虚数单位，i(1+i)等于 ‎ A．1+i B. -1-i C.1-i D. -1+i ‎【解析】依据虚数运算公式可知可得，选D.‎ ‎【答案】D ‎2. 若集合，则是 ‎ A．{1，2，3} B. {1，2} ‎ ‎ C. {4，5} D. {1，2，3，4，5}‎ ‎【解析】解不等式得∵‎ ‎∴,选B。‎ ‎【答案】B ‎3.不等式组所表示的平面区域的面积等于 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【解析】由可得，故阴 =，选C。‎ ‎【答案】C ‎4.“”是“且”的 ‎ ‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 ‎ ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【解析】易得时必有.若时，则可能有，选A。‎ ‎【答案】A ‎5.已知为等差数列，，则等于 ‎ A. -1 B. ‎1 ‎ C. 3 D.7‎ ‎【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B。‎ ‎【答案】B ‎6.下列曲线中离心率为的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】依据双曲线的离心率可判断得..选B。‎ ‎【答案】B ‎7. 直线过点（-1，2）且与直线垂直，则的方程是 ‎ A． B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【解析】可得斜率为即，选A。‎ ‎【答案】A ‎8.设，函数的图像可能是 ‎【解析】可得的两个零解.‎ 当时,则 当时,则当时,则选C。‎ ‎【答案】C ‎9.设函数，其中，则导数的取值范围是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】‎ ‎，选D。‎ ‎【答案】D ‎10.考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于 ‎ ‎ A.1 B. C. D. 0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有个.由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为1，选A。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】A ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）‎ 数学（文科）‎ 第II卷（非选择题 共100分）‎ 考生注意事项：‎ 请用‎0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎11．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。‎ ‎【解析】设由可得故 ‎【答案】(0,-1，0) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎12．程序框图（即算法流程图）如图所示，其输入结果是_______。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】根据流程图可得的取值依次为1、3、7、15、31、63……‎ ‎【答案】127‎ ‎13．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。‎ ‎【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况:‎ ‎2、3、4或3、4、5或2、4、5，故=0.75. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】0.75‎ ‎14．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或=+，其中，R ，则+= _________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】设、则 , ,‎ 代入条件得 ‎【答案】4/3‎ ‎15．对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。‎ ‎○11相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；‎ ‎○22由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；‎ ‎○33若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；‎ ‎○44任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；‎ ‎○55分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】由空间四面体棱,面关系可判断①④⑤正确,可举例说明②③错误.‎ ‎【答案】①④⑤‎ 三．解答题;本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。‎ ‎16．（本小题满分12分） ‎ 在ABC中，C-A=， sinB=。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（I）求sinA的值；‎ ‎ (II)设AC=，求ABC的面积。‎ ‎【思路】（1）依据三角函数恒等变形可得关于的式子，这之中要运用到倍角公式；‎ ‎（2）应用正弦定理可得出边长，进而用面积公式可求出.‎ ‎【解析】（1）∵∴‎ ‎∴ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎∴‎ 又 ∴‎ ‎（2）如图，由正弦定理得∴‎ ‎∴. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照 试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 品种A:357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，414，‎ ‎ 415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，451，454‎ 品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，395，397‎ ‎ 397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430‎ ‎（Ⅰ）完成所附的茎叶图 ‎（Ⅱ）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅲ）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论。‎ ‎【思路】由统计知识可求出A、B两种品种的小麦稳定性大小并画出茎叶图，用茎叶图处理数据，看其分布就比较明了。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】（1）茎叶图如图所示 A B ‎9 7‎ ‎35‎ ‎8 7‎ ‎36‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎37‎ ‎1 4‎ ‎8‎ ‎38‎ ‎3 5 6‎ ‎9 2‎ ‎39‎ ‎1 2 4 457 7‎ ‎5 0‎ ‎40‎ ‎0 1 1 3 6 7‎ ‎5 4 2‎ ‎41‎ ‎0 2 5 6‎ ‎7 3 3 1‎ ‎42‎ ‎2‎ ‎4 0 0‎ ‎43‎ ‎0‎ ‎5 5 3‎ ‎44‎ ‎4 1‎ ‎45‎ ‎（2）用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况,而且可以看出每组中的具体数据.‎ ‎（3）通过观察茎叶图，可以发现品种A的平均每亩产量为411.1千克，品种B的平均亩产量为397.8千克.由此可知,品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高.但品种A的亩产量不够稳定，而品种B的亩产量比较集中D平均产量附近.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的 圆与直线y=x+2相切，‎ ‎（Ⅰ）求a与b；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅱ）设该椭圆的左，右焦点分别为和，直线过且与x轴垂直，动直线与y轴垂直，交与点p..求线段P垂直平分线与的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型。‎ ‎【思路】（1）由椭圆建立a、b等量关系，再根据直线与椭圆相切求出a、b.‎ ‎（2）依据几何关系转化为代数方程可求得，这之中的消参就很重要了。‎ ‎【解析】（1）由于 ∴ ∴ 又 ∴b2=2,a2=3因此，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（2）由（1）知F1，F2两点分别为（-1，0），（1,0），由题意可设P（1，t）.（t≠0）.那么线段PF1中点为，设M(x、y)是所求轨迹上的任意点.由于则消去参数t得 ‎,其轨迹为抛物线（除原点）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知数列{} 的前n项和，数列{}的前n项和 ‎（Ⅰ）求数列{}与{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：当且仅当n≥3时，＜ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【思路】由可求出，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出后，进而得到，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。‎ ‎【解析】(1)由于 当时, ‎ 又当时 数列项与等比数列,其首项为1,公比为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(2)由(1)知 由即即 又时成立,即由于恒成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 因此,当且仅当时, ‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC， 和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直，‎ ‎（Ⅰ）证明：直线垂直且平分线段AD：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面 体ABCDEF的体积。‎ ‎【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想。‎ ‎【解析】(1)由于EA=ED且 点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上.‎ 又ABCD是四方形 线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线 即点EF都居线段AD的垂直平分线上. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 所以,直线EF垂直平分线段AD.‎ ‎(2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E—ABCD和正四面体E—BCF两部分.设AD中点为M,在Rt△MEE中,由于ME=1, .‎ ‎—ABCD 又—BCF=VC－BEF=VC－BEA=VE－ABC 多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD＋VE—BCF=‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数，a＞0，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性； ‎ ‎（Ⅱ）设a=3，求在区间{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。‎ ‎【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域。‎ ‎【解析】(1)由于 令 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎①当,即时, 恒成立.‎ 在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.‎ ‎②当,即时 由得或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 或或 又由得 综上①当时, 在上都是增函数.‎ ‎②当时, 在上是减函数,‎ 在上都是增函数.‎ ‎(2)当时,由(1)知在上是减函数.‎ 在上是增函数.‎ 又 函数在上的值域为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎