高中人教a版数学必修4：第30课时 二倍角的正弦、余弦和正切 word版含解析 4页

第 30 课时 二倍角的正弦、余弦和正切 课时目标 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，以及公式的变形；能灵活运用公式及其各种变 形解题． 识记强化 1．二倍角正弦、余弦、正切公式 sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α， tan2α＝ 2tanα 1－tan2α 2．变形形式 sinα＝2sinα 2cosα 2 ，cosα＝cos2α 2 －sin2α 2 ＝2cos2α 2 －1＝1－2sin2α 2 tanα＝ 2tanα 2 1－tan2α 2 1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α； cos2α＝1＋cos2α 2 ，sin2α＝1－cos2α 2 课时作业 一、选择题 1．已知 cosx＝－1 4 ，x 为第二象限角，那么 sin2x＝( ) A．－ 15 4 B．± 15 8 C．－ 15 8 D. 15 8 答案：C 解析：因为 cosx＝－1 4 ，x 为第二象限角，所以 sinx＝ 15 4 ，所以 sin2x＝2sinxcosx＝ 2× 15 4 × －1 4 ＝－ 15 8 ，故选 C. 2．已知α为锐角，且满足 cos2α＝sinα，则α等于( ) A．30°或 270° B．45° C．60° D．30° 答案：D 解析：因为 cos2α＝1－2sin2α，故由题意，知 2sin2α＋sinα－1＝0，即(sinα＋1)(2sinα－1) ＝0.因为α为锐角，所以 sinα＝1 2 ，所以α＝30°.故选 D. 3．已知 sin α＝3 5 ，且α∈ π 2 ，π ，那么sin 2α cos2α 的值等于( ) A．－3 4 B．－3 2 C.3 4 D.3 2 答案：B 解析：sin2α cos2α ＝2sinαcosα cos2α ＝2sinα cosα ＝2tanα， ∵sinα＝3 5 ，α∈ π 2 ，π ， ∴cosα＝－4 5 ，tanα＝－3 4 ，2tanα＝－3 2 ，故选 B. 4．化简 1＋sin8等于( ) A．sin4＋cos4 B．－sin4－cos4 C．sin4 D．cos4 答案：B 解析： 1＋sin8＝ sin24＋cos24＋2sin4cos4＝ sin4＋cos42＝|sin4＋cos4| ∵4∈(π，3π 2 )，则 sin4＋cos4<0 故 1＋sin8＝－sin4－cos4. 5．已知α为第三象限角，且 cosα＝－ 5 5 ，则 tan2α的值为( ) A．－4 3 B.4 3 C．－3 4 D．－2 答案：A 解析：由题意可得，sinα＝－ 1－cos2α＝－2 5 5 ，∴tanα＝2，∴tan2α＝ 2tanα 1－tan2α ＝－4 3 ， 故选 A. 6．函数 y＝2sinx(sinx＋cosx)的最大值为( ) A．1＋ 2 B. 2－1 C. 2 D．2 答案：A 解析：y＝2sinx(sinx＋cosx)＝2sin2x＋2sinxcosx ＝1－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x＋1 ＝ 2sin(2x－π 4)＋1， ∴y 的最大值为 2＋1. 二、填空题 7．(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°)＝________. 答案：－ 3 2 解析：(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°)＝cos275°－sin275°＝cos150°＝－sin60°＝－ 3 2 . 8．若θ∈(0，π)，且 sin2θ＝－24 25 ，则 cosθ－sinθ＝________. 答案：－7 5 解析：∵sin2θ＝－24 25 ，θ∈(0，π)， ∴sinθ＞0，cosθ＜0，cosθ－sinθ＜0， 又(cosθ－sinθ)2＝1－sin2θ＝49 25 ，∴cosθ－sinθ＝－7 5. 9．已知θ∈(0，π)，且 sin θ－π 4 ＝ 2 10 ，则 tan2θ＝________. 答案：－24 7 解 析 ： 由 sin θ－π 4 ＝ 2 10 ， 得 2 2 (sinθ － cosθ) ＝ 2 10 ⇒ sinθ － cosθ ＝ 1 5 . 解 方 程 组 sinθ－cosθ＝1 5 sin2θ＋cos2θ＝1 ，得 sinθ＝4 5 cosθ＝3 5 或 sinθ＝－3 5 cosθ＝－4 5 .因为θ∈(0，π)，所以 sinθ>0，所以 sinθ＝－3 5 cosθ＝－4 5 不合题意，舍去，所以 tanθ＝4 3 ，所以 tan2θ＝ 2tanθ 1－tan2θ ＝ 2×4 3 1－ 4 3 2 ＝－24 7 . 三、解答题 10．已知 tanα＝1 7 ，tanβ＝1 3 ，且α，β均为锐角，求α＋2β的值． 解：tan2β＝ 2tanβ 1－tan2β ＝3 4 ， tan(α＋2β)＝ tanα＋tan2β 1－tanαtan2β ＝1. 因为α，β均为锐角，且 tanα＝1 7<1，tanβ＝1 3<1， 所以α，β∈ 0，π 4 ，所以α＋2β∈ 0，3π 4 ， 所以α＋2β＝π 4. 11．已知函数 f(x)＝2cos2x＋4 3sinx 2cosx 2cosx. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)在区间 －π 6 ，π 4 上的值域． 解：(1)f(x)＝2cos2x＋4 3sinx 2cosx 2cosx ＝2cos2x＋2 3sinxcosx ＝cos2x＋1＋ 3sin2x ＝2sin 2x＋π 6 ＋1， 所以函数 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2)因为 x∈ －π 6 ，π 4 ，所以 2x＋π 6 ∈ －π 6 ，2π 3 ， 所以 sin 2x＋π 6 ∈ －1 2 ，1 ， 所以 f(x)的值域为[0,3]． 能力提升 12．已知 sinx 2 －2cosx 2 ＝0. (1)求 tanx 的值； (2)求 cos2x cos 5π 4 ＋x sinπ＋x 的值． 解：(1)由 sinx 2 －2cosx 2 ＝0，知 cosx 2 ≠0， ∴tanx 2 ＝2，∴tanx＝ 2tanx 2 1－tan2x 2 ＝ 2×2 1－22 ＝－4 3. (2)由(1)，知 tanx＝－4 3 ， ∴ cos2x cos 5π 4 ＋x sinπ＋x ＝ cos2x －cos π 4 ＋x －sinx ＝ cos2x－sin2x 2 2 cosx－ 2 2 sinx sinx ＝ cosx－sinxcosx＋sinx 2 2 cosx－sinxsinx ＝ 2×cosx＋sinx sinx ＝ 2×1＋tanx tanx ＝ 2 4 . 13．已知函数 f(x)＝－ 2sin(2x＋π 4)＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间 0，π 2 上的最大值和最小值． 解析：(1)f(x)＝－ 2sin(2x＋π 4)＋6sinxcosx－2cos2x＋1＝－ 2sin2xcosπ 4 － 2cos2x·sinπ 4 ＋ 3sin2x－cos2x＝2(sin2x－cos2x)＝2 2sin 2x－π 4 . 所以 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2)因为 f(x)在区间 0，3π 8 上是增函数， 在区间 3π 8 ，π 2 上是减函数， 又 f(0)＝－2，f 3 8π ＝2 2，f(π 2)＝2. 故函数 f(x)在区间 0，π 2 上的最大值为 2 2，最小值为－2.