高中数学第6章（第6课时）不等式的证明（1） 3页

课 题：不等式的证明（1）‎ 教学目的：‎ 以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式 教学重点：比较法的应用 教学难点：常见解题技巧 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1．重要不等式：‎ 如果 ‎2．定理：如果a,b是正数，那么 ‎3公式的等价变形：ab≤，ab≤（）2‎ ‎4． ≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；‎ ‎5．定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）‎ ‎6．推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”）‎ 二、讲解新课：‎ ‎1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 ‎2．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 三、讲解范例：‎ 例1 求证：x2 + 3 > 3x 分析：由比较法证题的方法，先将不等式两遍作差，得(x2 + 3) - 3x＝，将此式看作关于x的二次函数，易知有最小值，由配方法易证 证明：∵(x2 + 3) - 3x = ‎ ‎ ∴x2 + 3 > 3x 例2 已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：‎ 分析：这是一道分式不等式的证明题，依比较法证题步骤先将其作差，然后通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符号，从而求证 证明：‎ ‎∵a,b,m都是正数，并且a 0 , b - a > 0‎ ‎∴ 即 ‎ ‎ 思考：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？‎ 例3 已知a, b都是正数，并且a ¹ b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2‎ 分析：依题目特点，作差后重新组项，采用因式分解方法来变形 证明：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 ) ‎ ‎= a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)‎ ‎= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)‎ ‎∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0‎ 又∵a ¹ b，∴(a - b)2 > 0 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0‎ 即 a5 + b5 > a2b3 + a3b2‎ 例4 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果m ¹ n，问：甲、乙两人谁先到达指定地点？‎ 分析：设从出发点至指定地点的路程为s，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为、要回答题目中的问题，只要比较、的大小就可以了 解：设从出发地到指定地点的路程为S，甲、乙两人走完全程所需时间分别是、，依题意有： ‎ 可得 ‎ ‎∴‎ ‎∵S, m, n都是正数，且m ¹ n，∴－< 0 即：< ‎ 答：甲先到到达指定地点 说明：此题体现了比较法证明不等式在实际中的应用，要求学生注意实际问题向数学问题的转化 思考：若m = n，结果会怎样？‎ 例5设a, b Î R+，求证：‎ 证明：（作商）‎ 当a = b时，‎ 当a > b > 0时，‎ 当b > a > 0时， ‎ ‎∴ （其余部分略）‎ 四、课堂练习：‎ 五、小结 ：我们一起学习了证明不等式的最基本、最重要的方法：比较法，总结了比较法证明不等式的步骤：作差（商）、变形、判断符号 六、课后作业：‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记： ‎