高中数学：第1章《空间几何体》单元测试（1）（新人教A版必修2） 11页

第一章 空间几何体 一、选择题 ‎1、下列说法中正确的是(    ) ‎ A.棱柱的侧面可以是三角形 ‎ B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C.所有的几何体的表面都能展成平面图形 D.棱柱的各条棱都相等 ‎2、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括(    ) ‎ A.一个圆台、两个圆锥                           ‎ B.两个圆台、一个圆柱 C.两个圆台、一个圆柱                           ‎ D.一个圆柱、两个圆锥 ‎3、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(    ) ‎ A.                  B.               ‎ C.            D.‎ 解析：设球半径为R，截面半径为r. ‎ ‎+r2=R2,‎ ‎∴r2=.‎ ‎∴.‎ ‎4、如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是(    ) ‎ 解析：由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用，知A正确. ‎ 答案：A ‎5、长方体的高等于h，底面积等于S，过相对侧棱的截面面积为S′，则长方体的侧面积等于(    ) ‎ A.                           B.‎ C.                         D.‎ 参考答案与解析:解析：设长方体的底面边长分别为a、b，过相对侧棱的截面面积S′=①,S=ab②,由①②得：(a+b)2= +2S,∴a+b=,S侧=2(a+b)h=2h. ‎ 答案：C ‎6、设长方体的对角线长度是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°,则此长方体的体积是(    ) ‎ A.                 B.              ‎ C.              D.‎ 参考答案与解析:解析：设长方体的过一顶点的三条棱长为a、b、c，并且长为a、b的两条棱与对角线的夹角都是60°，则a=4cos60°=2,b=4cos60°=2. ‎ 根据长方体的对角线性质，有a2+b2+c2=42,‎ 即22+22+c2=42.∴c=.‎ 因此长方体的体积V=abc=2×2×=.‎ 答案：B 主要考察知识点:简单几何体和球 ‎7、棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1、S2、S3，则(    ) ‎ A.S1＜S2＜S3             B.S3＜S2＜S1           ‎ C.S2＜S1＜S3          D.S1＜S3＜S2‎ 参考答案与解析:解析：由截面性质可知，设底面积为S. ‎ ‎;;可知：S1＜S2＜S3故选A.‎ ‎     用平行于底面的平面截棱锥所得截面性质都是一些比例关系：截得面积之比就是对应高之比的平方，截得体积之比，就是对应高之比的立方，所谓“高”，是指大棱锥、小棱锥的高，而不是两部分几何体的高.‎ 答案：A 主要考察知识点:简单几何体和球 ‎8、正四面体的内切球球心到一个面的距离等于这个正四面体高的(    ) ‎ A.                  B.                 ‎ C.                D.‎ 参考答案与解析:解析：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连结球心与正四面体的四个顶点.把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4× S·r=·S·h,r= h ‎ ‎(其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高)‎ 答案：C 主要考察知识点:简单几何体和球 ‎9、若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是(    ) ‎ A.1∶16           B.3∶27              ‎ C.13∶129           D.39∶129‎ 参考答案与解析:解析：由题意设上、下底面半径分别为r，4r，截面半径为x，圆台的高为2h，则有 ‎ ‎,‎ ‎∴x=.‎ ‎∴.‎ 答案：D 主要考察知识点:简单几何体和球 ‎10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是(    ) ‎ A.                  B.               ‎ C.                  D.‎ 参考答案与解析:解析：用共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，所得三棱锥的体积为,故剩下的凸多面体的体积为. ‎ 答案：D 主要考察知识点:简单几何体和球 ‎11、已知高为3的直棱柱ABCA1B‎1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1-ABC的体积为(    ) ‎ A.                B.                 ‎ C.                 D.‎ 参考答案与解析:解析：. ‎ 答案：D 主要考察知识点:简单几何体和球 ‎12、向高为H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的(    ) ‎ 参考答案与解析:解析：如果水瓶形状是圆柱，V=πr2‎ h,r不变，V是h的正比例函数，其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符.由已知函数图可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小. ‎ 答案：B 主要考察知识点:简单几何体和球 二、填空题 ‎1、下列有关棱柱的说法：‎ ‎①棱柱的所有的面都是平的；‎ ‎②棱柱的所有的棱长都相等；‎ ‎③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形；‎ ‎④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；‎ ‎⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等．‎ 正确的有__________.‎ 参考答案与解析:①④⑤‎ 主要考察知识点:简单几何体和球 ‎2、一个横放的圆柱形水桶，桶内的水占底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为_________. ‎ 参考答案与解析:解析：横放时水桶底面在水内的面积为.V水=,直立时V水=πR2x,∴x:h=(π-2):4π ‎ 答案：(π-2):4π 主要考察知识点:简单几何体和球 ‎3、一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为_________. ‎ 参考答案与解析:解析：由三视图知正三棱柱的高为2 cm,由侧视图知正三棱柱的底面三边形的高为 cm. ‎ 设底面边长为a，则,‎ ‎∴a=4.‎ ‎∴正三棱柱的表面积S=S侧+2S底 ‎=3×4×2+2××4×=8(3+)(cm)‎ 答案：8(3+)(cm).‎ 主要考察知识点:简单几何体和球 ‎4、一圆台上底半径为‎5 cm，下底半径为‎10 cm，母线AB长为‎20 cm，其中A在上底面上，B在下底面上，从AB中点M，拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B点，则这条绳子最短长为____________. ‎ 解析：画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，扉形圆心角90° ‎ 答案：50cm 主要考察知识点:简单几何体和球 三、解答题 ‎1、画出图中两个几何体的三视图.‎ 参考答案与解析:解析：(1)如下图 ‎ ‎(2)如下图 ‎ 主要考察知识点:简单几何体和球 ‎2、在图中，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？ ‎ 解析：沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开辅平，得出圆柱的侧面展开图，从M点绕圆柱体的侧面到达N点，实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N.而两点间以线段的长度最短.所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线. ‎ 如图所示.‎ 主要考察知识点:简单几何体和球 ‎3、倒圆锥形容器的轴截面是正三角形，内盛水的深度为‎6 cm，水面距离容器口距离为‎1 cm，现放入一个棱长为‎4 cm的正方体实心铁块，让正方体一个面与水平面平行，问容器中的水是否会溢出？ ‎ 解析：如图甲所示： ‎ O′P=‎6 cm,OO′=‎1 cm.当正方体放入容器后，一部分露在容器外面，看容器中的水是否会溢出，只要比较圆锥中ABCD部分的体积和正方体位于容器口以下部分的体积即能判定.‎ 如图甲，设水的体积为V1，容器的总容积为V，则容器尚余容积为VV1.‎ 由题意得，O′P=6,OO′=1.‎ ‎∴OP=7,OA2=,O′C2=12,‎ ‎∴V=πOA2×7=×49π,‎ V1=πO′C2×6=24π.‎ ‎∴未放入铁块前容器中尚余的容积为 V-V1=×49π-24π≈‎44.3 cm3.‎ 如图所示，放入铁块后，EMNF是以铁块下底面对角线作圆锥的轴截面.‎ ‎∴MN=，∴O‎1M=，O1P=，∴GM=7-，‎ ‎∴正方体位于容器口下的体积为 ‎4×4×(7-)=112-≈33.6＜44.3,‎ ‎∴放入铁块后容器中的水不会溢出.‎ 主要考察知识点:简单几何体和球 ‎4、棱长为‎2 cm的正方体容器盛满水，把半径为‎1 cm的铜球放入水中刚好被淹没.然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多大？ ‎ 参考答案与解析:解析：本题考查球与多面体相切问题，解决此类问题必须做出正确的截面(即截面一定要过球心)，再运用几何知识解出所求量. ‎ 过正方体对角面的截面图如图所示.‎ AC1=，AO=，AS=AO-OS=，‎ 设小球的半径r,tan∠C‎1AC=.‎ 在△AO1D中，AO1=r，‎ ‎∴AS=AO1+O1S，‎ ‎∴-1=r+r. ‎ 解得：r=2-(cm)为所求.‎ 主要考察知识点:简单几何体和球 ‎5、小迪身高1.‎6 m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了‎5 m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为‎10 m，(两路灯的高度是一样的)求： ‎ ‎(1)路灯的高度.‎ ‎(2)当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？‎ 参考答案与解析:解:如下图所示，设A、B为两路灯，小迪从MN移到PQ，并设C、D分别为A、B灯的底部. ‎ 由题中已知得MN=PQ=1.6 m,‎ NQ=‎5 ‎m,CD=‎‎10 m ‎(1)设CN=x，则QD=5-x，路灯高BD为h ‎∵△CMN∽△CBD,‎ 即 又△PQD∽△ACD 即 ‎ 由①②式得 x=‎2.5 m,h=‎6.4 m,‎ 即路灯高为6.4 m.‎ ‎(2)当小迪移到BD所在线上(设为DH)，连接AH交地面于E.‎ 则DE长即为所求的影长.‎ ‎∵△DEH∽△CEA ‎ 解得DE= m，即影长为 m.‎ 主要考察知识点:简单几何体和球 ‎6、如图1在透明塑料做成的长方体容器中灌进一些水，固定容器的一边将其倾倒，随着容器的倾斜度不同，水的各个表面的图形的形状和大小也不同.试尽可能多地找出这些图形的形状和大小之间所存在的各种规律(不少于3种). ‎ 图1‎ 参考答案与解析:解析：思考问题时，最好做一个实际的水槽进行演示.下面是可能找到的有关水的各个表面的图形的形状和大小之间所存在的规律： ‎ ‎(1)水面是矩形.‎ ‎(2)四个侧面中，一组对面是直角梯形，另一组对面是矩形.‎ ‎(3)水面面积的大小是变化的，如图2所示，倾斜度越大(即α越小)，水面的面积越大.‎ ‎(4)形状为直角梯形(如ABDC)的两个侧面的面积是不变的；这两个直角梯形全等.‎ ‎(5)侧面积不变.‎ ‎(6)在侧面中，两组对面的面积之和相等.‎ ‎(7)形状为矩形的两个侧面的面积之和为定值.‎ 在图中，我们可以得到 ‎(8)a+b为定值.‎ ‎(9)如果长方体的倾斜角为α,则水面与底面所成的角为90°-α.‎ ‎(10)底面的面积=水面的面积×cos(90°-α)=水面的面积×sinα.当倾斜度增大，点A在BD上时，有最大值.‎ ‎(11)A与B重合时b=2h(h为原来水面的高度).‎ ‎(12)若容器的高度PD＜2h，当A与B重合时，水将溢出.‎ ‎(13)若A在BD的内部，△ADC的面积为定值，即bc为定值.‎ 点评：本题对空间想象能力有一定的要求，我们可以边操作边分析，观察并得出结论.‎ 主要考察知识点:简单几何体和球 ‎ ‎