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- 2021-06-09 发布
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第一章 1.1 第 2 课时
一、选择题
1．在△ABC 中，a＝3，b＝ 7，c＝2，那么 B 等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
[答案] C
[解析] cosB＝a2＋c2－b2
2ac
＝9＋4－7
12
＝1
2
，
∴B＝60°.
2．在△ABC 中，已知 a＝1，b＝2，C＝60°，则边 c 等于( )
A． 3 B． 2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] 由余弦定理，得 c2 ＝a2 ＋b2 －2abcosC＝1＋4－2×1×2×cos60°＝1＋4－
2×1×2×1
2
＝3，
∴c＝ 3.
3．在△ABC 中，若 a0，因此 0°<α<90°.故填锐角．
8．在△ABC 中，若 a＝5，b＝3，C＝120°，则 sinA＝________.
[答案] 5 3
14
[解析] ∵c2＝a2＋b2－2abcosC
＝52＋32－2×5×3×cos120°＝49，
∴c＝7.
故由 a
sinA
＝ c
sinC
，得 sinA＝asinC
c
＝5 3
14 .
三、解答题
9．在△ABC 中，已知 sinC＝1
2
，a＝2 3，b＝2，求边 C．
[解析] ∵sinC＝1
2
，且 0，由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB→|＝3，
|AC→|＝2，cos＝AB2＋AC2－BC2
2AB·AC
＝1
4.
故AB→·AC→＝3×2×1
4
＝3
2.
3．在△ABC 中，已知 AB＝3，BC＝ 13，AC＝4，则边 AC 上的高为( )
A．3 2
2 B．3 3
2
C．3
2 D．3 3
[答案] B
[解析] 如图，在△ABC 中，BD 为 AC 边上的高，且 AB＝3，BC＝ 13，AC＝4.∵cosA
＝32＋42－ 132
2×3×4
＝1
2
，
∴sinA＝ 3
2 .
故 BD＝AB·sinA＝3× 3
2
＝3 3
2 .
4．△ABC 的三内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c，设向量 p＝(a＋c，b)，q＝(b
－a，c－a)，若 p∥q，则 C 的大小为( )
A．π
6 B．π
3
C．π
2 D．2π
3
[答案] B
[解析] ∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，
∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
即 a2＋b2－c2＝ab.
由余弦定理，得 cosC＝a2＋b2－c2
2ab
＝ ab
2ab
＝1
2
，
∵00)，
由余弦定理得
cosA＝25k2＋36k2－16k2
2×5k×6k
＝3
4
，
同理可得 cosB＝ 9
16
，cosC＝1
8
，
故 cosA cosB cosC＝3
4
9
16
1
8
＝12 9 2.
6．在△ABC 中，a＝b＋2，b＝c＋2，又最大角的正弦等于 3
2
，则三边长为__________．
[答案] 3,5,7
[解析] ∵a－b＝2，b－c＝2，∴a>b>c，
∴最大角为 A．sinA＝ 3
2
，∴cosA＝±1
2
，
设 c＝x，则 b＝x＋2，a＝x＋4，
∴x2＋x＋22－x＋42
2xx＋2
＝±1
2
，
∵x>0，∴x＝3，故三边长为 3,5,7.
三、解答题
7．△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 a＝2，c＝3，cosB＝1
4.
(1)求边 b 的值；
(2)求 sinC 的值．
[解析] (1)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accosB
＝4＋9－2×2×3×1
4
＝10，
∴b＝ 10.
(2)∵cosB＝1
4
，∴sinB＝ 15
4 .
由正弦定理，得 sinC＝csinB
b
＝
3× 15
4
10
＝3 6
8 .
8．设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 a＋c＝6，b＝2，cosB＝7
9.
(1)求 a、c 的值；
(2)求 sin(A－B)的值．
[解析] (1)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accosB，b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，
又已知 a＋c＝6，b＝2，cosB＝7
9
，∴ac＝9.
由 a＋c＝6，ac＝9，解得 a＝3，c＝3.
(2)在△ABC 中，∵cosB＝7
9
，
∴sinB＝ 1－cos2B＝4 2
9 .
由正弦定理，得 sinA＝asinB
b
＝2 2
3
，
∵a＝c，∴A 为锐角，∴cosA＝ 1－sin2A＝1
3.
∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝10 2
27 .
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