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- 2021-06-09 发布
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2005年福建省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 已知集合P=|x||x-1|≤1，x∈R|，Q={x|x∈N}，则P∩Q等于（ ）
A.P B.Q C.{1, 2} D.{0, 1, 2}
2. 不等式2x-13x+1>0的解集是（ ）
A.{x|x<-13或x>12} B.{x|-1312} D.{x|x>-13}
3. 已知等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是( )
A.15 B.30 C.31 D.64
4. 函数y=cos2x在下列哪个区间上是减函数（ ）
A.[-π4, π4] B.[π4, 3π4] C.[0, π2] D.[π2, π]
5. 下列结论正确的是( )
A.当x>0且x≠1时，lgx+1lgx≥2 B.当x>0时，x+1x≥2
C.当x≥2时，x+1x的最小值为2 D.当01，b>0 C.00 D.a>1，b<0
7. 已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：
①若m // α，n // α，则m // n；
②若m // α，n⊥α，则n⊥m；
③若m⊥α，m // β，则α⊥β．
其中真命题的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
8. 已知p:a≠0，q:ab≠0，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9. 已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|-|PB|=3，则|PA|的最小值是（ ）
A.12 B.32 C.72 D.5
10. 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）
A.300种 B.240种 C.144种 D.96种
11. △ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则∠FDE与 12∠A的关系是（ ）
A.∠FDE+12∠A＝90∘ B.∠FDE=12∠A
C.∠FDE+12∠A＝180∘ D.无法确定
12. f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)=0．则方程f(x)=0在区间(0, 6)内解的个数的最小值是（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13. (2x-1x)6展开式中的常数项是________（用数字作答）．
14. 在△ABC中，∠A=90∘，AB→=(k, 1)，AC→=(2, 3)，则k的值是________．
15. 非负实数x，y满足2x-y≤0x-3y+5≥0，则z=-2x-y的最大值为________．
16. 请将下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数f(x)=2x-1的图象与g(x)的图象关于直线________对称，则g(x)=________．（注：填上你认为可
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以成为真命题的一种情形即可）
三、解答题（共6小题，17~21题每题12分，22题题14分，满分74分）
17. 已知-π2b>0)的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在过点E(-2, 0)的直线m交椭圆C于点M、N，满足OM→⋅ON→=436．cot∠MON≠0（O为原点）．若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由．
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参考答案与试题解析
2005年福建省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.D
2.A
3.A
4.C
5.B
6.A
7.C
8.B
9.C
10.B
11.A
12.B
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.240
14.-32
15.-4
16.x=0,(12)x-1
三、解答题（共6小题，17~21题每题12分，22题题14分，满分74分）
17.解：（1）把sinx+cosx=15两边平方得1+2sinxcosx=125，有sin2x=-2425，
∴ (sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=4925，
又-π20，sinx-cosx<0，
∴ sinx-cosx=-75；
（2）由sinx+cosx=15与sinx-cosx=-75，得sin2x-cos2x=-725，
∴ cos2x=cos2x-sin2x=725，
又由sinx+cosx=15与sinx-cosx=-75解得sinx=-35，cosx=45，有tanx=-34，
∴ sin2x+2cos2x1+tanx=-2425+14251+(-34)=-85．
18.解：（1）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，
则P(A)=12，P(B)=25，P(A→)=12，P(B→)=35．
甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，
则ξ概率分布为：
ξ
0
1
2
P
310
12
15
∴ Eξ=0×310+2×15=910
∴ 每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为910．
（2）“甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中”的事件是
“甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球均未命中”的事件C的对立事件，
而P(C)=C20(12)0(12)2×C22(25)0(35)2=9100．
∴ 甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为1-P(C)=91100．
即甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为91100．
19.解：(1)由题意可知，2a3=a1+a2，即2aq2-q-1=0，∴ q=1或q=-12；
(II)q=1时，Sn=2n+n(n-1)2=n(n+3)2，∵ n≥2，∴ Sn-bn=Sn-1=(n-1)(n+2)2>0
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当n≥2时，Sn>bn．
若q=-12，则Sn=-n(n-9)4，同理Sn-bn=-(n-1)(n-10)4．
∴ 2≤n≤9时，Sn>bn，n=10时，Sn=bn，n≥11时，Sn<bn．
20.解：(1)∵ f(x)的图象经过P(0, 2)，
∴ d=2，
∴ f(x)=x3+bx2+ax+2，
f'(x)=3x2+2bx+a．
∵ 点M（-1, f(-1)）处的切线方程为6x-y+7=0
∴ f'(-1)=3-2b+a=6①，
还可以得到，f(-1)=y=1，
即点M(-1, 1)满足f(x)方程，
得到-1+b-a+2=1②
由①、②联立得b=a=-3，
故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2．
(2)f'(x)=3x2-6x-3，
令3x2-6x-3=0，即x2-2x-1=0．
解得x1=1-2，x2=1+2．
当x<1-2，或x>1+2时，f'(x)>0；
当1-2=|n→|˙=23=233．
22.解：（1）解法一：直线l:y=3x-23，①
过原点垂直l的直线方程为y=-33x，②
解①②得x=32．
∵ 椭圆中心(0, 0)关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴ a2c=2×32=3．
∵ 直线l过椭圆焦点，∴ 该焦点坐标为(2, 0)．∴ c=2，a2=6，b2=2．故椭圆C的方程为x26+y22=1③
解法二：直线l:y=3x-33．
设原点关于直线l对称点为(p, q)，则3⋅qp=-1.˙解得p=3．
∵ 椭圆中心(0, 0)关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴ a2c=3．
∵ 直线l过椭圆焦点，∴ 该焦点坐标为(2, 0)．∴ c=2，a2=6，b2=2．故椭圆C的方程为x26+y22=1③
（2）解：设M(x1, y1)，N(x2, y2)．
当直线m不垂直x轴时，直线m:y=k(x+2)代入③，
整理得(3k2+1)x2+12k2x+12k2-6=0，
∴ x1+x2=-12k23k2+1，x1⋅x2=12k2-63k2+1，
|MN|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2(-12k23k2+1)2-4⋅12k2-63k2+1=26(1+k2)3k2+1，
点O到直线MN的距离d=|2k|1+k2．
∵ OM→⋅ON→=436cot∠MON，即|OM→|⋅|ON→|cos∠MON=436cos∠MONsin∠MON≠0，
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∴ |OM→|⋅|ON→|sin∠MON=46，∴ S△OMN=236．∴ |MN|⋅d=436，
即46|k|k2+1=436(3k2+1)，
整理得k2=13，∴ k=±33．
当直线m垂直x轴时，也满足S△OMN=236．
故直线m的方程为y=33x+233，或y=-33x-233，或x=-2．
经检验上述直线均满足OM→⋅ON→≠0．
所以所求直线方程为y=33x+233，或y=-33x-233，或x=-2．
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