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- 2021-06-09 发布
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9.2 空间图形的基本关系与公理
核心考点·精准研析
考点一 平面的基本性质
1. 下列说法正确的是 ( )
A.三点可以确定一个平面
B.一条直线和一个点可以确定一个平面
C.四边形是平面图形
D.两条相交直线可以确定一个平面
2.已知α,β,γ是平面,a,b,c 是直线,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,若 a∩b=P,则 ( )
A.P∈c B.P∉ c
C.c∩a=∅ D.c∩β=∅
3.在三棱锥 A-BCD 的边 AB,BC,CD,DA 上分别取 E,F,G,H 四点,如果 EF∩HG=P,则点 P ( )
A.一定在直线 BD 上
B.一定在直线 AC 上
C.在直线 AC 或 BD 上
D.不在直线 AC 上,也不在直线 BD 上
4.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点共面的图形是 ( )
A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③
【解析】1.选 D.A 错误,不共线的三点可以确定一个平面.B 错误,一条直线和直线外一个点可以确定一个平
面.C 错误,四边形不一定是平面图形.D 正确,两条相交直线可以确定一个平面.
2.选 A.如图,因为 a∩b=P,所以 P∈a,P∈b,
因为α∩β=a,β∩γ=b,所以 P∈α,P∈γ,而γ∩α=c,
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所以 P∈c.
3.选 B.如图所示,
因为 EF 平面 ABC,HG 平面 ACD,
EF∩HG=P,所以 P∈平面 ABC,P∈平面 ACD.
又因为平面 ABC∩平面 ACD=AC,所以 P∈AC.
4.选 D.在图①中分别连接 PS,QR,易证 PS∥QR,所以 P,Q,R,S 四点共面;在图中③分别连接 PQ,RS,易证 PQ
∥RS,所以 P,Q,R,S 共面.在②图中过点 P,Q,R,S 可作一正六边形,故四点共面;在图④中 PS 与 QR 为异面直
线,所以四点不共面.
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法:①先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;②证两平面重合.
(2)证明共线的方法:①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同
一条特定直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.
【秒杀绝招】
排除法解 T4,在图④中 PS 与 QR 为异面直线,所以四点不共面,可排除 A,B,C,直接选 D.
考点二 异面直线所成的角
【典例】
1.(2018·全国卷 II)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 CC1 的中点,则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为
( )
A. B. C. D.
2.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为
( )
A. B. C. D.
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【解题导思】
序号 联想解题
1 画出图形,由 AB∥CD,联想到 AE 与 CD 所成角为∠EAB,解直角三角形.
2 画出图形,图中没有与 AB1,BC1 平行的直线,联想到作辅助线.
【解析】1.选 C.因为 CD∥AB,所以∠EAB 即为异面直线 AE 与 CD 所成角,连接 BE,在直角三角形 ABE 中,设
AB=a,则 BE= a,所以 tan∠EAB= = .
2.选 C.如图,取 AB,BB1,B1C1 的中点 M,N,P,连接 MN,NP,PM,
可知 AB1 与 BC1 所成的角等于 MN 与 NP 所成的角.
由题意可知 BC1= ,AB1= ,
则 MN= AB1= ,NP= BC1= .
取 BC 的中点 Q,连接 PQ,QM,则可知△PQM 为直角三角形.
在△ABC 中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=4+1-2×2×1× =7,即 AC= .
又 CC1=1,所以 PQ=1,MQ= AC= .
在△MQP 中,可知 MP= = .
在△PMN 中,cos∠PNM
= =
=- ,
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又异面直线所成角的范围为 ,
故所求角的余弦值为 .
【一题多解】选 C.把三棱柱 ABC-A1B1C1 补成四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,如图,
连接 C1D,BD,则 AB1 与 BC1 所成的角为∠BC1D(或其补角).
由题意可知 BC1= ,
BD= = ,C1D=AB1= .可知 B +BD2=C1D2,
所以 cos∠BC1D= = .
求异面直线所成的角的三个步骤
(1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角.
(2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角.
(3)三求:解三角形,求出所作的角.
1.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选 C.如图,可补成一个正方体,
所以 AC1∥BD1.
所以 BA1 与 AC1 所成的角为∠A1BD1.
又易知△A1BD1 为正三角形,
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所以∠A1BD1=60°.即 BA1 与 AC1 成 60°的角.
2.如图,已知圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形,C 是圆柱下底面弧 AB 的中点,C1 是圆柱上底面弧 A1B1 的中点,那
么异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为 .
【解析】取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D,连接 C1D,AD,
因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点,
所以 AD∥BC,所以直线 AC1 与 AD 所成的角即为异面直线 AC1 与 BC 所成的角,因为 C1 是圆柱上底面弧 A1B1 的
中点,所以 C1D 垂直于圆柱下底面,所以 C1D⊥AD.
因为圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形,
所以 C1D= AD,
所以直线 AC1 与 AD 所成角的正切值为 ,
所以异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为 .
答案:
考点三 空间两条直线的位置关系
命
题
精
解
读
1.考什么:(1)考查异面直线的判断,直线平行、垂直的判断等问题.(2)考查直观想象的核心
素养.
2.怎么考:以柱、锥、台、球及组合体为载体,考查直线位置关系的判断.
3.新趋势:以异面直线、平行直线为载体考查点的不共面与共面问题.
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学
霸
好
方
法
1.直线位置关系的判断方法:
异面直线可采用直接法或反证法;平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线
面平行与面面平行的性质定理;垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.
2.交汇问题:与线面、面面平行与垂直相结合命题.
两条异面直线的判定
【典例】在图中,G,N,M,H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直
线 GH、MN 是异面直线的图形有 .(填上所有正确答案的序号)
【解析】图①中,直线 GH∥MN;
图②中,G,H,N 三点共面,但 M∉ 面 GHN,
因此直线 GH 与 MN 异面;
图③中,连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面;
图④中,G,M,N 三点共面,但 H∉ 面 GMN,
因此 GH 与 MN 异面,所以图②④中 GH 与 MN 异面.
答案:②④
两直线平行或相交的判定
【典例】已知空间四边形 ABCD 中,E,H 分别是边 AB,AD 的中点,F,G 分别是边 BC,CD 的中点.
求证:EG 与 FH 相交.
【证明】如图,连接 AC,BD,则 EF∥AC,HG∥AC,
因此 EF∥HG;同理 EH∥FG,则 EFGH 为平行四边形.又 EG,FH 是▱ EFGH 的对角线,所以 EG 与 HF 相交.
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1.若两条直线是异面直线,则称为一对异面直线,则从正方体的 12 条棱中任取两条,共有 对异面直线
( )
A.48 B.36 C.24 D.12
【解析】选 C.每一条棱所在的直线与其余的棱所在的直线成异面直线的有 4 对,所以共有 4×12=48 对,但
是这 48 对中每一种都重复了一对,所以所求的异面直线共有 24 对.
2.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别为棱 C1D1,C1C 的中点,有以下四个结论:
①直线 AM 与 CC1 是相交直线;
②直线 AM 与 BN 是平行直线;
③直线 BN 与 MB1 是异面直线;
④直线 AM 与 DD1 是异面直线.
其中正确的结论为 .(注:把你认为正确的结论序号都填上)
【解析】因为点 A 在平面 CDD1C1 外,点 M 在平面 CDD1C1 内,直线 CC1 在平面 CDD1C1 内,CC1 不过点 M,所以 AM 与
CC1 是异面直线,故①错;取 DD1 中点 E,连接 AE,则 BN∥AE,但 AE 与 AM 相交,故②错;因为点 B1 与 BN 都在平面
BCC1B1 内,点 M 在平面 BCC1B1 外,BN 不过点 B1,所以 BN 与 MB1 是异面直线,故③正确;同理④正确,故填③④.
答案:③④
1.若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面α内,l2 在平面β内,l 是平面α与平面β的交线,则下列说法正确的
是 ( )
A.l 与 l1,l2 都不相交
B.l 与 l1,l2 都相交
C.l 至多与 l1,l2 中的一条相交
D.l 至少与 l1,l2 中的一条相交
【解析】选 D.由直线 l1 和 l2 是异面直线可知 l1 与 l2 不平行,故 l1,l2 中至少有一条与 l 相交.
2.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面三角形 A1B1C1 是正三角形,E 是 BC 的中点,则下列叙述正确的是 ( )
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A.CC1 与 B1E 是异面直线
B.C1C 与 AE 共面
C.AE 与 B1C1 是异面直线
D.AE 与 B1C1 所成的角为 60°
【解析】选 C.由于 CC1 与 B1E 都在平面 C1B1BC 内,故 C1C 与 B1E 是共面的,所以 A 错误;由于 C1C 在平面 C1B1BC
内,而 AE 与平面 C1B1BC 相交于 E 点,点 E 不在 C1C 上,故 C1C 与 AE 是异面直线,B 错误;同理 AE 与 B1C1 是异面
直线,C 正确;而 AE 与 B1C1 所成的角就是 AE 与 BC 所成的角,E 为 BC 中点,△ABC 为正三角形,所以 AE⊥BC,D
错误.
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