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- 2021-06-09 发布
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数 学
N单元 选修4系列
N1 选修4-1 几何证明选讲
22.N1[2016·全国卷Ⅰ] 选修41:几何证明选讲
如图16所示,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.
(1)证明:直线AB与⊙O相切;
(2)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.
图16
22.证明:(1)设E是AB的中点,连接OE.
因为OA=OB,∠AOB=120°,
所以OE⊥AB,∠AOE=60°.
在Rt△AOE中,OE=AO,即O到直线AB的距离等于⊙O的半径,所以直线AB与⊙O相切.
(2)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设O′是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO′.
由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又O′在线段AB的垂直平分线上,所以OO′⊥AB.
同理可证,OO′⊥CD,所以AB∥CD.
22.N1[2016·全国卷Ⅱ] 选修41:几何证明选讲
如图15,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.
(1)证明:B,C,G,F四点共圆;
(2)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.
图15
22.解:(1)证明:因为DF⊥EC,所以△DEF∽△CDF,则有∠GDF=∠DEF=
∠FCB,==,
所以△DGF∽△CBF,由此可得∠DGF=∠CBF.
因此∠CGF+∠CBF=180°,所以B,C,G,F四点共圆.
(2)由B,C,G,F四点共圆,CG⊥CB知FG⊥FB.连接GB.
由G为Rt△DFC斜边CD的中点,知GF=GC,故Rt△BCG≌Rt△BFG,因此,四边形BCGF的面积S是△GCB面积S△GCB的2倍,即S=2S△GCB=2×××1=.
22.N1[2016·全国卷Ⅲ] 选修41:几何证明选讲
如图16,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.
(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;
(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明:OG⊥CD.
图16
22.解:(1)连接PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.
因为=,所以∠PBA=∠PCB,又∠BPD=∠BCD,所以∠BFD=∠PCD.
又∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD,所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.
(2)证明:因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上.又O也在CD的垂直平分线上,因此OG⊥CD.
21.A.N1[2016·江苏卷] 选修41:几何证明选讲
如图17,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,D为垂足,E是BC的中点,求证:∠EDC=∠ABD.
图17
21.A.证明:在△ADB和△ABC中,
因为∠ABC=90°,BD⊥AC,∠A为公共角,
所以△ADB∽△ABC,于是∠ABD=∠C.
在Rt△BDC中,因为E是BC的中点,
所以ED=EC,从而∠EDC=∠C,
所以∠EDC=∠ABD.
N2 选修4-2 矩阵
21.B.N2[2016·江苏卷] 选修42:矩阵与变换
已知矩阵A=,矩阵B的逆矩阵B-1=,求矩阵AB.
21.B.解:设B=,则B-1B=
=,
即=,
故解得所以B=.
因此,AB==.
N3 选修4-4 参数与参数方程
23.N3[2016·全国卷Ⅰ] 选修44:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
23.解:(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0,则由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.
当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,
所以a=1.
23.N3[2016·全国卷Ⅱ] 选修44:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.
23.解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcos θ+11=0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).
设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2.将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0,于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.
|AB|=|ρ1-ρ2|==.由|AB|=得cos2α=,则tan α=±.
所以l的斜率为或-.
23.N3[2016·全国卷Ⅲ] 选修44:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
23.解:(1)C1的普通方程为+y2=1,C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sin α).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)==|sin(α+)-2|,
当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时点P的直角坐标为(,).
21.C.N3[2016·江苏卷] 选修44:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C
的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.
21.C.解:椭圆C的普通方程为x2+=1.
将直线l的参数方程代入x2+=1,得1+t2+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.
所以AB=|t1-t2|=.
N4 选修4-5 不等式选讲
24.N4[2016·全国卷Ⅰ] 选修45:不等式选讲
已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)在图17中画出y=f(x)的图像;
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
图17
24.解:(1)f(x)=
则y=f(x)的图像如图所示.
(2)由f(x)的表达式及图像知,当f(x)=1时,x=1或x=3;
当f(x)=-1时,x=或x=5.
故f(x)>1的解集为{x|11的解集为{x或15}.
24.N4[2016·全国卷Ⅱ] 选修45:不等式选讲
已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
24.解:(1)f(x)=
当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;
当-1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞).
21.D.N4[2016·江苏卷] 选修45:不等式选讲
设a>0,|x-1|<,|y-2|<,求证:|2x+y-4|