2011年数学理（重庆）高考试题 11页

‎ 2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）‎ 数学试题卷（理工农医类）‎ 满分150分.考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上.‎ ‎ 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选其他答案标号.‎ ‎ 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.‎ ‎ 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.‎ ‎ 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．复数 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．“”是“”的 ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎3．已知，则 ‎ A． B． ‎2 ‎ C．3 D．6‎ ‎4．的展开式中的系数相等，则n=‎ ‎ A．6 B．‎7 ‎ C．8 D．9‎ ‎5．下列区间中，函数在其上为增函数的是 ‎ A．（- B． C． D．‎ ‎6．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，且C=60°，则ab的值为 ‎ A． B． C． 1 D．‎ ‎7．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是 ‎ A． B．‎4 ‎ C． D．5‎ ‎8．在圆 内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 ‎ A． B． C．1 D．‎ ‎10．设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为 ‎ A．-8 B．‎8 ‎ C．12 D．13‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上 ‎11．在等差数列中，，则__________‎ ‎12．已知单位向量，的夹角为60°，则__________‎ ‎13．将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率__________‎ ‎14．已知，且，则的值为__________‎ ‎15．设圆C位于抛物线与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为__________‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎16．（本小题满分13分）‎ 设，满足，求函数在上的最大值和最小值.‎ ‎17．（本小题满分13分）（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）‎ 某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：‎ ‎ （Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；‎ ‎ （Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望 ‎18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）‎ 设的导数满足，其中常数．‎ ‎ （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ （Ⅱ） 设，求函数的极值． ‎ ‎19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）‎ 如题（19）图，在四面体中，平面平面，，，．‎ ‎ （Ⅰ）若，，求四面体的体积；‎ ‎ （Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）‎ 如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为．‎ ‎ （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；‎ ‎ （Ⅱ）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）‎ 设实数数列的前n项和，满足 ‎ （I）若成等比数列，求和；‎ ‎ （II）求证：对 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.‎ ‎1—5 CADBD 6—10 ACBCD 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分25分.‎ ‎11．74 12． 13． 14． 15．‎ 三、解答题：满分75分.‎ ‎16．（本题13分）‎ 解：‎ ‎ ‎ 由 因此 当为增函数，‎ 当为减函数，‎ 所以 又因为 故上的最小值为 ‎17．（本题13分）‎ 解：这是等可能性事件的概率计算问题.‎ ‎ （I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.‎ 记“申请A片区房源”为事件A，则 从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为 ‎ （II）ξ的所有可能值为1，2，3.又 综上知，ξ有分布列 ξ ‎ 1 2 3‎ P ‎ ‎ 从而有 ‎18．（本题13分）‎ 解：（I）因故 令 由已知 又令由已知 因此解得 因此 又因为故曲线处的切线方程为 ‎ （II）由（I）知，‎ 从而有 令 当上为减函数；‎ 当在（0，3）上为增函数；‎ 当时，上为减函数；‎ 从而函数处取得极小值处取得极大值 ‎19．（本题12分）‎ ‎ （I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC.‎ 故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，‎ 即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，‎ 且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=.‎ 在Rt△ABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，‎ 由勾股定理易知 故四面体ABCD的体积 ‎ （II）解法一：如答（19）图1，设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG//AD，GH//BC，从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.‎ ‎ 设E为边AB的中点，则EF//BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由（I）有DF⊥平面ABC，‎ ‎ 故由三垂线定理知DE⊥AB.‎ 所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角，由题设知∠DEF=60°‎ 设 在 从而 因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，从而，在Rt△BDF中，，‎ 又从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得 因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为 解法二：如答（19）图2，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，‎ 平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F—xyz.‎ 不妨设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知点A，C，D的坐标分别为 显然向量是平面ABC的法向量.‎ 已知二面角C—AB—D为60°，‎ 故可取平面ABD的单位法向量，‎ 使得 设点B的坐标为，有 易知与坐标系的建立方式不合，舍去.‎ 因此点B的坐标为所以 从而 故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为 ‎20．（本题12分）‎ 解：（I）由 解得，故椭圆的标准方程为 ‎ （II）设，则由 得 因为点M，N在椭圆上，所以 ‎，‎ 故 ‎ ‎ 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 因此 所以 所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为 ‎21．（本题12分）‎ ‎ （I）解：由题意，‎ 由S2是等比中项知 由解得 ‎ （II）证法一：由题设条件有 故 从而对有 ‎ ①‎ 因，由①得 要证，由①只要证 即证 此式明显成立.‎ 因此 最后证若不然 又因矛盾.‎ 因此 证法二：由题设知，‎ 故方程（可能相同）.‎ 因此判别式 又由 因此，‎ 解得 因此 由，得 因此