2020年高中数学新教材同步必修第一册 第4章 微专题5　与指数函数、对数函数有关的复合函数 13页

第四章　指数函数与对数函数 指数函数、对数函数有关的复合函数，主要是指数函数、对数函数与一次函数、 二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般 采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数. 一、判断复合函数的单调性 例1　(1)函数 的单调增区间为__________. 2 2 11( ) 2 x x f x       (－∞，1) 解析　令t＝x2－2x－1， 所以函数t＝x2－2x－1在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增. 故 在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. 2 2 11( ) 2 x x f x       又y＝ 是R上的减函数， (2)已知函数f(x)＝loga(a－ax)(a>1)，判断并证明f(x)的单调性. 解　f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下： 由f(x)＝loga(a－ax)(a>1)，得a－ax>0，即x<1. 所以f(x)的定义域为(－∞，1). 任取1>x1>x2，因为a>1， 所以 所以1 2x xa a a  ， 1 20 x xa a a a    ， 所以 1 2log l( ) )g (ox x a aa a a a   ， 即f(x1)1时，y＝ logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性保持一致，当00，∴0