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- 2021-06-10 发布
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2016年北京市高考数学试卷(文科)
一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)
1.(5分)已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A∩B=( )
A.{x|2<x<5} B.{x|x<4或x>5} C.{x|2<x<3} D.{x|x<2或x>5}
2.(5分)复数=( )
A.i B.1+i C.﹣i D.1﹣i
3.(5分)执行如图所示的程序框图,输出s的值为( )
A.8 B.9 C.27 D.36
4.(5分)下列函数中,在区间(﹣1,1)上为减函数的是( )
A.y= B.y=cosx C.y=ln(x+1) D.y=2﹣x
5.(5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( )
A.1 B.2 C. D.2
6.(5分)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( )
A. B. C. D.
7.(5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x﹣y的最大值为( )
A.﹣1 B.3 C.7 D.8
8.(5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段,表中为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远(单位:米)
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳绳(单位:次)
63
a
75
60
63
72
70
a﹣1
b
65
在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( )
A.2号学生进入30秒跳绳决赛 B.5号学生进入30秒跳绳决赛
C.8号学生进入30秒跳绳决赛 D.9号学生进入30秒跳绳决赛
二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)
9.(5分)已知向量=(1,),=(,1),则与夹角的大小为 .
10.(5分)函数f(x)=(x≥2)的最大值为 .
11.(5分)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为 .
12.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a= ,b= .
13.(5分)在△ABC中,∠A=,a=c,则= .
14.(5分)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有 种;
②这三天售出的商品最少有 种.
三、解答题(共6小题,满分80分)
15.(13分)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
16.(13分)已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
17.(13分)某市居民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如图频率分布直方图:
(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.
18.(14分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:DC⊥平面PAC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.
19.(14分)已知椭圆C:+=1过点A(2,0),B(0,1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.
20.(13分)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围;
(3)求证:a2﹣3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.
2016年北京市高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)
1.(5分)(2016•北京)已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A∩B=( )
A.{x|2<x<5} B.{x|x<4或x>5} C.{x|2<x<3} D.{x|x<2或x>5}
【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B.
【解答】解:∵集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},
∴A∩B={x|2<x<3}.
故选:C.
2.(5分)(2016•北京)复数=( )
A.i B.1+i C.﹣i D.1﹣i
【分析】将分子分线同乘2+i,整理可得答案.
【解答】解:===i,
故选:A
3.(5分)(2016•北京)执行如图所示的程序框图,输出s的值为( )
A.8 B.9 C.27 D.36
【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,可得答案.
【解答】解:当k=0时,满足进行循环的条件,故S=0,k=1,
当k=1时,满足进行循环的条件,故S=1,k=2,
当k=2时,满足进行循环的条件,故S=9,k=3,
当k=3时,不满足进行循环的条件,
故输出的S值为9,
故选:B
4.(5分)(2016•北京)下列函数中,在区间(﹣1,1)上为减函数的是( )
A.y= B.y=cosx C.y=ln(x+1) D.y=2﹣x
【分析】根据函数单调性的定义,余弦函数单调性,以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在(﹣1,1)上的单调性,从而找出正确选项.
【解答】解:A.x增大时,﹣x减小,1﹣x减小,∴增大;
∴函数在(﹣1,1)上为增函数,即该选项错误;
B.y=cosx在(﹣1,1)上没有单调性,∴该选项错误;
C.x增大时,x+1增大,ln(x+1)增大,∴y=ln(x+1)在(﹣1,1)上为增函数,即该选项错误;
D.;
∴根据指数函数单调性知,该函数在(﹣1,1)上为减函数,∴该选项正确.
故选D.
5.(5分)(2016•北京)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( )
A.1 B.2 C. D.2
【分析】先求出圆(x+1)2+y2=2的圆心,再利用点到到直线y=x+
3的距离公式求解.
【解答】解:∵圆(x+1)2+y2=2的圆心为(﹣1,0),
∴圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为:
d==.
故选:C.
6.(5分)(2016•北京)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人,先求出基本事件总数,再求出甲被选中包含的基本事件的个数,同此能求出甲被选中的概率.
【解答】解:从甲、乙等5名学生中随机选出2人,
基本事件总数n==10,
甲被选中包含的基本事件的个数m==4,
∴甲被选中的概率p===.
故选:B.
7.(5分)(2016•北京)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x﹣y的最大值为( )
A.﹣1 B.3 C.7 D.8
【分析】平行直线z=2x﹣y,判断取得最值的位置,求解即可.
【解答】解:如图A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,
令z=2x﹣y,则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小,Z取得最大值,
可得2x﹣y的最大值为:2×4﹣1=7.
故选:C.
8.(5分)(2016•北京)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段,表中为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远(单位:米)
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳绳(单位:次)
63
a
75
60
63
72
70
a﹣1
b
65
在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( )
A.2号学生进入30秒跳绳决赛 B.5号学生进入30秒跳绳决赛
C.8号学生进入30秒跳绳决赛 D.9号学生进入30秒跳绳决赛
【分析】根据已知中这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,逐一分析四个答案的正误,可得结论.
【解答】解:∵这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,
故编号为1,2,3,4,5,6,7,8的学生进入立定跳远决赛,
又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,
则3,6,7号同学必进入30秒跳绳决赛,
剩下1,2,4,5,8号同学的成绩分别为:63,a,60,63,a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛,
故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛,
故选:B
二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)
9.(5分)(2016•北京)已知向量=(1,),=(,1),则与夹角的大小为 .
【分析】根据已知中向量的坐标,代入向量夹角公式,可得答案.
【解答】解:∵向量=(1,),=(,1),
∴与夹角θ满足:
cosθ===,
又∵θ∈[0,π],
∴θ=,
故答案为:.
10.(5分)(2016•北京)函数f(x)=(x≥2)的最大值为 2 .
【分析】分离常数便可得到,根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2,+∞)上为减函数,从而x=2时f(x)取最大值,并可求出该最大值.
【解答】解:;
∴f(x)在[2,+∞)上单调递减;
∴x=2时,f(x)取最大值2.
故答案为:2.
11.(5分)(2016•北京)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为 .
【分析】由已知中的三视图可得:该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱,进而可得答案.
【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱,
棱柱的底面面积S=×(1+2)×1=,
棱柱的高为1,
故棱柱的体积V=,
故答案为:
12.(5分)(2016•北京)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a= 1 ,b= 2 .
【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),列出方程组,由此能出a,b.
【解答】解:∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),
∴,
解得a=1,b=2.
故答案为:1,2.
13.(5分)(2016•北京)在△ABC中,∠A=,a=c,则= 1 .
【分析】利用正弦定理求出C的大小,然后求出B,然后判断三角形的形状,求解比值即可.
【解答】解:在△ABC中,∠A=,a=c,
由正弦定理可得:,
=,sinC=,C=,则B==.
三角形是等腰三角形,B=C,则b=c,
则=1.
故答案为:1.
14.(5分)(2016•北京)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有 16 种;
②这三天售出的商品最少有 29 种.
【分析】①由题意画出图形得答案;②求出前两天所受商品的种数,由特殊情况得到三天售出的商品最少种数.
【解答】解:①设第一天售出商品的种类集为A,第二天售出商品的种类集为B,第三天售出商品的种类集为C,
如图,
则第一天售出但第二天未售出的商品有16种;
②由①知,前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种,
当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时,这三天售出的商品种类最少为29种.
故答案为:①16;②29.
三、解答题(共6小题,满分80分)
15.(13分)(2016•北京)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
【分析】(1)设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列,运用通项公式可得q=3,d=2,进而得到所求通项公式;
(2)求得cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1,再由数列的求和方法:分组求和,运用等差数列和等比数列的求和公式,计算即可得到所求和.
【解答】解:(1)设{an}是公差为d的等差数列,
{bn}是公比为q的等比数列,
由b2=3,b3=9,可得q==3,
bn=b2qn﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1;
即有a1=b1=1,a14=b4=27,
则d==2,
则an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1;
(2)cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1,
则数列{cn}的前n项和为
(1+3+…+(2n﹣1))+(1+3+9+…+3n﹣1)=n•2n+
=n2+.
16.(13分)(2016•北京)已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
【分析】(1)利用倍角公式结合两角和的正弦化积,再由周期公式列式求得ω的值;
(2)直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f(x)的单调递增区间.
【解答】解:(1)f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx==.
由T=,得ω=1;
(2)由(1)得,f(x)=.
再由,得.
∴f(x)的单调递增区间为[](k∈Z).
17.(13分)(2016•北京)某市居民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如图频率分布直方图:
(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.
【分析】(1)由频率分布直方图得:用水量在[0.5,1)的频率为0.1,用水量在[1,1.5)的频率为0.15,用水量在[1.5,2)的频率为0.2,用水量在[
2,2.5)的频率为0.25,用水量在[2.5,3)的频率为0.15,用水量在[3,3.5)的频率为0.05,用水量在[3.5,4)的频率为0.05,用水量在[4,4.5)的频率为0.05,由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米,w至少定为3立方米.
(2)当w=3时,利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费.
【解答】解:(1)由频率分布直方图得:
用水量在[0.5,1)的频率为0.1,
用水量在[1,1.5)的频率为0.15,
用水量在[1.5,2)的频率为0.2,
用水量在[2,2.5)的频率为0.25,
用水量在[2.5,3)的频率为0.15,
用水量在[3,3.5)的频率为0.05,
用水量在[3.5,4)的频率为0.05,
用水量在[4,4.5)的频率为0.05,
∵用水量小于等于3立方米的频率为85%,
∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米,
∴w至少定为3立方米.
(2)当w=3时,该市居民的人均水费为:
(0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3)×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5,
∴当w=3时,估计该市居民该月的人均水费为10.5元.
18.(14分)(2016•北京)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:DC⊥平面PAC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.
【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC;
(2)利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC,即可证明平面PAB⊥平面PAC;
(3)在棱PB上存在中点F,使得PA∥平面CEF.利用线面平行的判定定理证明.
【解答】(1)证明:∵PC⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,
∴PC⊥DC,
∵DC⊥AC,PC∩AC=C,
∴DC⊥平面PAC;
(2)证明:∵AB∥DC,DC⊥AC,
∴AB⊥AC,
∵PC⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,
∴PC⊥AB,
∵PC∩AC=C,
∴AB⊥平面PAC,
∵AB⊂平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAC;
(3)解:在棱PB上存在中点F,使得PA∥平面CEF.
∵点E为AB的中点,
∴EF∥PA,
∵PA⊄平面CEF,EF⊂平面CEF,
∴PA∥平面CEF.
19.(14分)(2016•北京)已知椭圆C:+=1过点A(2,0),B(0,1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.
【分析】(1)由题意可得a=2,b=1,则,则椭圆C的方程可求,离心率为e=;
(2)设P(x0,y0),求出PA、PB所在直线方程,得到M,N的坐标,求得|AN|,|BM|.由,结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2.
【解答】(1)解:∵椭圆C:+=1过点A(2,0),B(0,1)两点,
∴a=2,b=1,则,
∴椭圆C的方程为,离心率为e=;
(2)证明:如图,
设P(x0,y0),则,PA所在直线方程为y=,
取x=0,得;
,PB所在直线方程为,
取y=0,得.
∴|AN|=,
|BM|=1﹣.
∴=
=﹣==
=.
∴四边形ABNM的面积为定值2.
20.(13分)(2016•北京)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围;
(3)求证:a2﹣3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.
【分析】(1)求出f(x)的导数,求得切线的斜率和切点,进而得到所求切线的方程;
(2)由f(x)=0,可得﹣c=x3+4x2+4x,由g(x)=x3+4x2+4x,求得导数,单调区间和极值,由﹣c介于极值之间,解不等式即可得到所求范围;
(3)先证若f(x)有三个不同零点,令f(x)=0,可得单调区间有3个,求出导数,由导数的图象与x轴有两个不同的交点,运用判别式大于0,可得a2﹣3b>0;再由a=b=4,c=0,可得若a2﹣3b>0,不能推出f(x)有3个零点.
【解答】解:(1)函数f(x)=x3+ax2+bx+c的导数为f′(x)=3x2+2ax+b,
可得y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=f′(0)=b,
切点为(0,c),可得切线的方程为y=bx+c;
(2)设a=b=4,即有f(x)=x3+4x2+4x+c,
由f(x)=0,可得﹣c=x3+4x2+4x,
由g(x)=x3+4x2+4x的导数g′(x)=3x2+8x+4=(x+2)(3x+2),
当x>﹣或x<﹣2时,g′(x)>0,g(x)递增;
当﹣2<x<﹣时,g′(x)<0,g(x)递减.
即有g(x)在x=﹣2处取得极大值,且为0;
g(x)在x=﹣处取得极小值,且为﹣.
由函数f(x)有三个不同零点,可得﹣<﹣c<0,
解得0<c<,
则c的取值范围是(0,);
(3)证明:若f(x)有三个不同零点,令f(x)=0,
可得f(x)的图象与x轴有三个不同的交点.
即有f(x)有3个单调区间,
即为导数f′(x)=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点,
可得△>0,即4a2﹣12b>0,即为a2﹣3b>0;
若a2﹣3b>0,即有导数f′(x)=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点,
当c=0,a=b=4时,满足a2﹣3b>0,
即有f(x)=x(x+2)2,图象与x轴交于(0,0),(﹣2,0),则f(x)的零点为2个.
故a2﹣3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.
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