高考数学专题复习练习第八章 第六节 椭圆 6页

第八章 第六节 椭圆 课下练兵场 命 题 报 告 ‎　　　　难度及题号 知识点　‎ 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 椭圆的定义及标准方程 ‎3、7‎ ‎9、10‎ ‎11‎ 椭圆的几何性质 ‎1、2‎ ‎4、5、8‎ ‎12‎ 直线与椭圆的位置关系 ‎6‎ 一、选择题 ‎1．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是 (　　)‎ A.　　　　　　　　　　B. C．1 D. 解析：右焦点F(1,0)，∴d＝.‎ 答案：B ‎2．椭圆＋y2＝1(a＞4)的离心率的取值范围是 (　　)‎ A．(0，) B．(0，) C．(，1) D．(，1)‎ 解析：∵e＝，a＞4，∴＜e＜1.‎ 答案：D ‎3．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是 (　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝‎1 C.＋y2＝1 D.＋＝1‎ 解析：由x2＋y2－2x－15＝0，‎ 知r＝4＝‎2a⇒a＝2.‎ 又e＝＝，c＝1.‎ 答案：A ‎4.如图，A、B、C分别为=1(a＞b＞0)的顶点与焦点，若∠ ‎ ABC=90°，则该椭圆的离心率为 (　　)‎ A.　　　　　　B．1－ C.－1 D. 解析：|AB|2＝a2＋b2，|BC|2＝b2＋c2‎ ‎|AC|2＝(a＋c)2.‎ ‎∵∠ABC＝90°，‎ ‎∴|AC|2＝|AB|2＋|BC|2，即(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2，‎ ‎∴‎2ac＝2b2，‎ 即b2＝ac.‎ ‎∴a2－c2＝ac.‎ ‎∴－＝1，即－e＝1.‎ 解之得e＝，又∵e＞0，‎ ‎∴e＝.‎ 答案：A ‎5．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 (　　)‎ A．(0,1) B．(0，]‎ C．(0，) D．[，1)‎ 解析：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c，‎ ‎∵·＝0，‎ ‎∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．‎ 又M点总在椭圆内部，‎ ‎∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2＝a2－c2.‎ ‎∴e2＝＜，∴0＜e＜.‎ 答案：C ‎6．已知椭圆＋＝1，过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于A、B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，则|NF|∶|AB|等于 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：本题适合于特值法．不妨取直线的斜率为1.右焦点F(2,0)．直线AB的方程为y＝x－2.进而得AB中点坐标，建立AB的中垂线方程，令y＝0，得到点N的坐标，然后分别得到|NF|和|AB|的值．‎ 答案：B 二、填空题 ‎7．(2010·苏北三市模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是____________．‎ 解析：由题意知，‎2c＝8，c＝4，‎ ‎∴e＝＝＝，∴a＝8，‎ 从而b2＝a2－c2＝48，‎ ‎∴方程是＋＝1.‎ 答案：＋＝1‎ ‎8．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．‎ 解析：由题意知椭圆的焦点在x轴上，又直线x＋2y－2＝0与x轴、y轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b＝1，c＝2，‎ 从而a＝，e＝＝.‎ 答案： ‎9.如图Rt△ABC中，AB=AC=1，以点C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且这个椭圆过A、B两点，则这个椭圆的焦距长为　　　　.‎ 解析：设另一焦点为D，则由定义可知AD=.‎ ‎∵AC+AD=‎2a，‎ AC+AB+BC=‎4a，又∵AC=1，‎ ‎∴AD=.‎ 在Rt△ACD中焦距CD=.‎ 答案：.‎ 三、解答题 ‎10.如图，已知椭圆=1(a＞b＞0)，F1、F2分别为椭 ‎ 圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另 一 ‎ 点B.‎ ‎(1)若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；‎ ‎(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．‎ 解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.‎ 所以a＝c，e＝＝.‎ ‎(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，‎ 其中，c＝，设B(x，y)．‎ 由＝2⇔(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，‎ y＝－，即B(，－)．‎ 将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，‎ 即＋＝1解得a2＝‎3c2. ①‎ 又由·＝(－c，－b)·(，－)＝ ‎⇒b2－c2＝1，‎ 即有a2－‎2c2＝1. ②‎ 由①，②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.‎ 所以椭圆方程为＋＝1.‎ ‎11．(2010·常德模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，离心率为，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，过点P作椭圆的切线l，交y轴于点A，直线l′过点P且垂直于l，交y轴于点B.‎ ‎(1)求椭圆的方程．‎ ‎(2)试判断以AB 为直径的圆能否经过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．‎ 解：(1)∵‎2a＝4，＝，∴a＝2，c＝1，b＝.‎ ‎∴椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设点P(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)，‎ 直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)，代入＋＝1，‎ 整理，得(3＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－12＝0.‎ ‎∵x＝x0是方程的两个相等实根，‎ ‎∴2x0＝－，解得k＝－.‎ ‎∴直线l的方程为y－y0＝－(x－x0)．‎ 令x＝0，得点A的坐标为(0，)．‎ 又∵＋＝1，∴4y＋3x0＝12.‎ ‎∴点A的坐标为(0，)．‎ 又直线l′的方程为y－y0＝(x－x0)，‎ 令x＝0，得点B的坐标为(0，－)．‎ ‎∴以AB为直径的圆的方程为x·x＋(y－)·(y＋)＝0.整理，得x2＋y2＋(－)y－1＝0.‎ 令y＝0，得x＝±1，‎ ‎∴以AB为直径的圆恒过定点(1,0)和(－1,0)．‎ ‎12．已知直线l：y＝kx＋2(k为常数)过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，直线l被圆x2＋y2＝4截得的弦长为d.‎ ‎(1)若d＝2，求k的值；‎ ‎(2)若d≥，求椭圆离心率e的取值范围．‎ 解：(1)取弦的中点为M，连结OM由平面几何知识，OM＝1，‎ OM==1.‎ 解得k2=3，k=±.‎ ‎∵直线过F、B，∴k＞0，‎ 则k=.‎ ‎(2)设弦的中点为M，连结OM，‎ 则OM2=，‎ d2=4(4-)≥()2，‎ 解得k2≥.‎ e2=，‎ ‎∴0＜e≤.‎