高考数学专题复习练习：单元质检七 6页

单元质检七　不等式、推理与证明 ‎(时间:45分钟　满分:100分)‎ ‎　单元质检卷第16页　 ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)‎ ‎1.(2016河南洛阳二模)已知条件p:x>1,q:‎1‎x<1,则p是q的(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案A 解析由x>1,推出‎1‎x<1,故p是q的充分条件;‎ 由‎1‎x<1,得‎1-xx<0,解得x<0或x>1.故p不是q的必要条件,故选A.‎ ‎2.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理(　　)‎ A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确 答案C 解析因为f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确.‎ ‎3.设变量x,y满足约束条件x-y+2≥0,‎‎2x+3y-6≥0,‎‎3x+2y-9≤0,‎则目标函数z=2x+5y的最小值为(　　)‎ A.-4 B.6 C.10 D.17‎ 答案B 解析作出变量x,y满足约束条件表示的可行域,如图三角形ABC及其内部区域,点A,B,C的坐标依次为(0,2),(3,0),(1,3).将z=2x+5y变形为y=-‎2‎‎5‎x+z‎5‎,可知当y=-‎2‎‎5‎x+z‎5‎经过点B时,z取最小值6.故选B.‎ ‎4.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是(　　)‎ A.[0,2] B.[-2,0]‎ C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]‎ 答案D 解析∵2x+2y=1≥2‎2‎x+y,∴‎1‎‎2‎‎2‎≥2x+y,即2x+y≤2-2.‎ ‎∴x+y≤-2.‎ ‎5.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则(　　)‎ A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 答案B 解析若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,直到袋中所有球都被放入盒中时,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,选B.‎ ‎6.已知x,y满足约束条件x-y≥0,‎x+y-2≥0,‎x≤4,‎当且仅当x=y=4时,z=ax-y取得最小值,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.[-1,1] B.(-∞,1)‎ C.(0,1) D.(-∞,1)∪(1,+∞)‎ 答案B 解析作出约束条件x-y≥0,‎x+y-2≥0,‎x≤4‎所对应的平面区域如图阴影部分.‎ 目标函数z=ax-y可化为y=ax-z,可知直线y=ax-z的斜率为a,在y轴上的截距为-z.‎ ‎∵z=ax-y仅在点A(4,4)处取得最小值,‎ ‎∴斜率a<1,即实数a的取值范围为(-∞,1),故选B.‎ ‎7.不等式‎1‎a-b‎+‎1‎b-c+‎λc-a>0对满足a>b>c恒成立,则λ的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,0] B.(-∞,1)‎ C.(-∞,4) D.(4,+∞)〚导学号74920694〛‎ 答案C 解析变形得λ<(a-c)‎1‎a-b‎+‎‎1‎b-c=[(a-b)+(b-c)]·‎1‎a-b‎+‎‎1‎b-c=1+a-bb-c‎+‎b-ca-b+1,而1+a-bb-c‎+‎b-ca-b+1≥4(当且仅当(a-b)2=(b-c)2时等号成立),则λ<4.故选C.‎ ‎8.已知不等式ax2-5x+b>0的解集为xx<-‎1‎‎3‎或x>‎‎1‎‎2‎,则不等式bx2-5x+a>0的解集为(　　)‎ A.x‎-‎1‎‎3‎‎‎1‎‎2‎ C.{x|-32}‎ 答案C 解析由题意知a>0,且‎1‎‎2‎,-‎1‎‎3‎是方程ax2-5x+b=0的两根,‎ ‎∴‎-‎1‎‎3‎+‎1‎‎2‎=‎5‎a,‎‎-‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎=ba,‎解得a=30,b=-5,‎ ‎∴bx2-5x+a>0为-5x2-5x+30>0,x2+x-6<0,解得-30),即x=80时等号成立,故选B.‎ ‎10.(2016吉林白山三模)已知实数x,y满足x-y+2≥0,‎x+y-4≥0,‎‎4x-y-4≤0,‎则当3x-y取得最小值时,x-5‎y+3‎的值为(　　)‎ A.-‎2‎‎3‎ B.‎2‎‎3‎ C.-‎1‎‎2‎ D.‎1‎‎2‎〚导学号74920695〛‎ 答案A 解析不等式组x-y+2≥0,‎x+y-4≥0,‎‎4x-y-4≤0‎所表示的平面区域如图阴影部分.‎ 令z=3x-y,则当直线z=3x-y经过点A时,z取得最小值.‎ 由x+y-4=0,‎x-y+2=0,‎可知点A的坐标为(1,3).‎ 此时x-5‎y+3‎=-‎2‎‎3‎.故选A.‎ ‎11.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.‎ 其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是(　　)‎ A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤‎ 答案C 解析若a=‎1‎‎2‎,b=‎2‎‎3‎,则a+b>1,‎ 但a<1,b<1,故①推不出;‎ 若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;‎ 若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;‎ 若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;‎ 对于③,若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,‎ 用反证法证明:假设a≤1,且b≤1,‎ 则a+b≤2与a+b>2矛盾,‎ 因此假设不成立,即a,b中至少有一个大于1.‎ 故③能推出.因此选C.‎ ‎12.已知任意非零实数x,y满足3x2+4xy≤λ(x2+y2)恒成立,则实数λ的最小值为(　　)‎ A.4 B.5 C.‎11‎‎5‎ D.‎7‎‎2‎〚导学号74920696〛‎ 答案A 解析依题意,得3x2+4xy≤3x2+[x2+(2y)2]=4(x2+y2)(当且仅当x=2y时等号成立).‎ 因此有‎3x‎2‎+4xyx‎2‎‎+‎y‎2‎≤4,当且仅当x=2y时等号成立,‎ 即‎3x‎2‎+4xyx‎2‎‎+‎y‎2‎的最大值是4,结合题意得λ≥‎3x‎2‎+4xyx‎2‎‎+‎y‎2‎,‎ 故λ≥4,即λ的最小值是4.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)‎ ‎13.观察分析下表中的数据:‎ 多面体 面数(F)‎ 顶点数(V)‎ 棱数(E)‎ 三棱柱 ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ 五棱锥 ‎6‎ ‎6‎ ‎10‎ 正方体 ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ 猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是　　　　　　　　　　. ‎ 答案F+V-E=2‎ 解析三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;正方体中6+8-12=2;由此归纳可得F+V-E=2.‎ ‎14.(2016河南驻马店期末)已知f(x)=lg(100x+1)-x,则f(x)的最小值为　　　　　. ‎ 答案lg 2‎ 解析∵f(x)=lg(100x+1)-x=lg ‎10‎0‎x+1‎‎1‎‎0‎x=lg(10x+1‎0‎‎-‎x)≥lg 2,当且仅当x=0时等号成立,∴f(x)的最小值为lg 2.‎ ‎15.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,都有f(x‎1‎)+f(x‎2‎)+…+f(xn)‎n≤fx‎1‎‎+x‎2‎+…+‎xnn.若y=sin x在区间(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是　　　　　.〚导学号74920697〛 ‎ 答案‎3‎‎3‎‎2‎ 解析由题意知,凸函数f(x)满足f(x‎1‎)+f(x‎2‎)+…+f(xn)‎n≤fx‎1‎‎+x‎2‎+…+‎xnn,又y=sin x在区间(0,π)上是凸函数,故sin A+sin B+sin C≤3sin A+B+C‎3‎=3sin π‎3‎‎=‎‎3‎‎3‎‎2‎.‎ ‎16.(2016山西太原三模)已知实数x,y满足约束条件x≥0,‎x≥y,‎‎2x-y≤1,‎则23x+2y的最大值是　　　　　. ‎ 答案32‎ 解析设z=3x+2y,由z=3x+2y得y=-‎3‎‎2‎x+z‎2‎.‎ 作出不等式组x≥0,‎x≥y,‎‎2x-y≤1‎对应的平面区域如图阴影部分,‎ 由图象可知当直线y=-‎3‎‎2‎x+z‎2‎经过点B时,‎ 直线y=-‎3‎‎2‎x+z‎2‎在y轴上的截距最大,此时z也最大.‎ 由x=y,‎‎2x-y=1,‎解得x=1,‎y=1,‎即B(1,1).‎ 故zmax=3×1+2×1=5,则23x+2y的最大值是25=32.‎