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- 2021-06-09 发布
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1.直接证明
(1)综合法
①定义:一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
②框图表示:―→―→―→…―→
(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论).
③思维过程:由因导果.
(2)分析法
①定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.
②框图表示:―→―→―→…―→
(其中Q表示要证明的结论).
③思维过程:执果索因.
2.间接证明
反证法:一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立的证明方法.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.( × )
(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.( × )
(3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“aab>b2
C.< D.>
答案 B
解析 a2-ab=a(a-b),
∵a0,
∴a2>ab.①
又ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2,②
由①②得a2>ab>b2.
2.(2016·北京)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒,每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
答案 B
解析 取两个球往盒子中放有4种情况:
①红+红,则乙盒中红球数加1;
②黑+黑,则丙盒中黑球数加1;
③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球数加1;
④黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球数加1.
因为红球和黑球个数一样,所以①和②的情况一样多.③和④的情况完全随机,③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.①和②出现的次数是一样的,所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选B.
3.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( )
A.2ab-1-a2b2≤0
B.a2+b2-1-≤0
C.-1-a2b2≤0
D.(a2-1)(b2-1)≥0
答案 D
解析 a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0.
4.如果a+b>a+b,则a、b应满足的条件是__________________________.
答案 a≥0,b≥0且a≠b
解析 ∵a+b-(a+b)
=(a-b)+(b-a)
=(-)(a-b)
=(-)2(+).
∴当a≥0,b≥0且a≠b时,(-)2(+)>0.
∴a+b>a+b成立的条件是a≥0,b≥0且a≠b.
5.(2016·青岛模拟)如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有≤f(),已知函数y=sin x在区间(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值为________.
答案
解析 ∵f(x)=sin x在区间(0,π)上是凸函数,且A、B、C∈(0,π).
∴≤f()=f(),
即sin A+sin B+sin C≤3sin =,
∴sin A+sin B+sin C的最大值为.
题型一 综合法的应用
例1 (2016·重庆模拟)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(1)ab+bc+ac≤;
(2)++≥1.
证明 (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
由题设得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c.
所以++≥1.
思维升华 (1)综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列中间推理,最后导出所要求证结论的真实性.(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.
对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足:
①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数.
(1)若函数f(x)为理想函数,证明:f(0)=0;
(2)试判断函数f(x)=2x(x∈[0,1]),f(x)=x2(x∈[0,1]),f(x)=(x∈[0,1])是不是理想函数.
(1)证明 取x1=x2=0,则x1+x2=0≤1,
∴f(0+0)≥f(0)+f(0),∴f(0)≤0.
又对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0,
∴f(0)≥0.于是f(0)=0.
(2)解 对于f(x)=2x,x∈[0,1],
f(1)=2不满足新定义中的条件②,
∴f(x)=2x(x∈[0,1])不是理想函数.
对于f(x)=x2,x∈[0,1],显然f(x)≥0,且f(1)=1.
对任意的x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1,
f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)
=(x1+x2)2-x-x=2x1x2≥0,
即f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
∴f(x)=x2(x∈[0,1])是理想函数.
对于f(x)=,x∈[0,1],显然满足条件①②.
对任意的x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1,
有f2(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]2=(x1+x2)-(x1+2+x2)=-2≤0,
即f2(x1+x2)≤[f(x1)+f(x2)]2.
∴f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),不满足条件③.
∴f(x)=(x∈[0,1])不是理想函数.
综上,f(x)=x2(x∈[0,1])是理想函数,
f(x)=2x(x∈[0,1])与f(x)=(x∈[0,1])不是理想函数.
题型二 分析法的应用
例2 已知函数f(x)=tan x,x∈,若x1,x2∈,且x1≠x2,求证:[f(x1)+f(x2)]>f.
证明 要证[f(x1)+f(x2)]>f,
即证明(tan x1+tan x2)>tan ,
只需证明>tan ,
只需证明>.
由于x1,x2∈,故x1+x2∈(0,π).
所以cos x1cos x2>0,sin(x1+x2)>0,1+cos(x1+x2)>0,
故只需证明1+cos(x1+x2)>2cos x1cos x2,
即证1+cos x1cos x2-sin x1sin x2>2cos x1cos x2,
即证cos(x1-x2)<1.
由x1,x2∈,x1≠x2知上式显然成立,
因此[f(x1)+f(x2)]>f.
引申探究
若本例中f(x)变为f(x)=3x-2x,试证:对于任意的x1,x2∈R,均有≥f.
证明 要证明≥f,
即证明≥-2·,
因此只要证明-(x1+x2)≥-(x1+x2),
即证明≥,
因此只要证明≥,
由于x1,x2∈R时,>0, >0,
由基本不等式知≥显然成立,故原结论成立.
思维升华 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.(2)证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法证明这个中间结论,从而使原命题得证.
(2017·重庆月考)设a>0,b>0,2c>a+b,求证:
(1)c2>ab;
(2)c- 0,b>0,2c>a+b≥2,
∴c>,平方得c2>ab.
(2)要证c- -2),使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
解 (1)由题设得g(x)=(x-1)2+1,其图象的对称轴为x=1,区间[1,b]在对称轴的右边,所以函数在区间[1,b]上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知,g(1)=1,g(b)=b,
即b2-b+=b,解得b=1或b=3.
因为b>1,所以b=3.
(2)假设函数h(x)=在区间[a,b] (a>-2)上是“四维光军”函数,
因为h(x)=在区间(-2,+∞)上单调递减,
所以有即
解得a=b,这与已知矛盾.故不存在.
命题点3 证明唯一性命题
例5 已知M是由满足下述条件的函数构成的集合:对任意f(x)∈M,①方程f(x)-x=0有实数根;
②函数f(x)的导数f′(x)满足00)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)=0,且00.
(1)证明:是函数f(x)的一个零点;
(2)试用反证法证明>c.
证明 (1)∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,
∴f(x)=0有两个不等实根x1,x2,
∵f(c)=0,∴x1=c是f(x)=0的根,
又x1x2=,∴x2=(≠c),
∴是f(x)=0的一个根.
即是函数f(x)的一个零点.
(2)假设0,由00,
知f()>0,与f()=0矛盾,∴≥c,
又∵≠c,∴>c.
26.反证法在证明题中的应用
典例 (12分)直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:+y2=1相交于A、C两点,O是坐标原点.
(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;
(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形.
思想方法指导 在证明否定性问题,存在性问题,唯一性问题时常考虑用反证法证明,应用反证法需注意:
(1)掌握反证法的证明思路及证题步骤,正确作出假设是反证法的基础,应用假设是反证法的基本手段,得到矛盾是反证法的目的.
(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时,常采用反证法.
(3)利用反证法证明时,一定要回到结论上去.
规范解答
(1)解 因为四边形OABC为菱形,
则AC与OB相互垂直平分.
由于O(0,0),B(0,1),
所以设点A,代入椭圆方程得+=1,
则t=±,故|AC|=2.[4分]
(2)证明 假设四边形OABC为菱形,
因为点B不是W的顶点,且AC⊥OB,所以k≠0.
由
消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.[6分]
设A(x1,y1),C(x2,y2),则
=-,=k·+m=.
所以AC的中点为M.[8分]
因为M为AC和OB的交点,且m≠0,k≠0,
所以直线OB的斜率为-,
因为k·=-≠-1,所以AC与OB不垂直.[10分]
所以OABC不是菱形,与假设矛盾.
所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.[12分]
1.(2017·泰安质检)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )
A.方程x2+ax+b=0没有实根
B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根
答案 A
解析 因为“方程x2+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x2+ax+b=0有一个实根或两个实根”,所以该命题的否定是“方程x2+ax+b=0没有实根”.故选A.
2.(2016·山西质量监测)对累乘运算Π有如下定义:ak=a1×a2×…×an,则下列命题中的真命题是( )
A.2k不能被10100整除
B.=22 015
C. (2k-1)不能被5100整除
D. (2k-1)2k=k
答案 D
解析 因为 (2k-1)2k=(1×3×5×…×2 015)×(2×4×6×…×2 014)=1×2×3×…×2 014×2 015=k,故选D.
3.(2017·上饶月考)设x,y,z>0,则三个数+,+,+( )
A.都大于2 B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2
答案 C
解析 因为(+)+(+)+(+)
=(+)+(+)+(+)≥6,
当且仅当x=y=z时等号成立.
所以三个数中至少有一个不小于2,故选C.
4.①已知p3+q3=2,证明:p+q≤2.用反证法证明时,可假设p+q≥2;
②若a,b∈R,|a|+|b|<1,求证:方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( )
A.①与②的假设都错误
B.①的假设正确;②的假设错误
C.①与②的假设都正确
D.①的假设错误;②的假设正确
答案 D
解析 对于①,结论的否定是p+q>2,故①中的假设错误;对于②,其假设正确,故选D.
5.设a,b是两个实数,给出下列条件:
①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;
⑤ab>1.
其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是( )
A.②③ B.①②③
C.③ D.③④⑤
答案 C
解析 若a=,b=,则a+b>1,
但a<1,b<1,故①推不出;
若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;
若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;
若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;
对于③,即a+b>2,
则a,b中至少有一个大于1,
反证法:假设a≤1且b≤1,
则a+b≤2与a+b>2矛盾,
因此假设不成立,a,b中至少有一个大于1.
6.(2016·河南三市联考)设n为正整数,f(n)=1+++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3.观察上述结果,按照上面规律,可推测f(128)>________.
答案
解析 观察f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3可知,等式及不等式右边的数构成首项为,公差为的等差数列,故f(128)>+6×=.
7.(2016·全国甲卷)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.
答案 1和3
解析 由丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”可知,丙为“1和2”或“1和3”,又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,所以乙只可能为“2和3”,又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,所以甲只能为“1和3”.
8.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在区间[-1,1]内至少存在一点c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是____________.
答案
解析 若二次函数f(x)≤0在区间[-1,1]内恒成立,
则
解得p≤-3或p≥,
故满足题干条件的p的取值范围为.
9.已知a>0,证明: - ≥a+-2.
证明 要证 -≥ a+-2,
只需证 ≥(a+)-(2-).
因为a>0,所以(a+)-(2-)>0,
所以只需证( )2≥[(a+)-(2-)]2,
即2(2-)(a+)≥8-4,
只需证a+≥2.
因为a>0,a+≥2显然成立(a==1时等号成立),
所以要证的不等式成立.
10.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,求证:f(x+)为偶函数.
证明 由函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,可知f(x+1)=f(-x).
将x换成x-代入上式可得f(x-+1)=f[-(x-)],
即f(x+)=f(-x+),
由偶函数的定义可知f(x+)为偶函数.
11.已知函数f(x)=ax+(a>1).
(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
证明 (1)任取x1,x2∈(-1,+∞),
不妨设x10.
∵a>1,∴
∴
又∵x1+1>0,x2+1>0,
∴-=
=>0.
于是f(x2)-f(x1)=+->0,
故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
(2)假设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0,
则ax0=-.
∵a>1,∴0<<1,
∴0<-<1,即