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- 2021-06-10 发布
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第九章 平面解析几何
§9.1
直线方程与圆的方程
高考数学
考点一 直线方程
1.直线的倾斜角
(1)对于一条与
x
轴相交的直线,如果把
x
轴绕着交点按①
逆时针
方向旋
转到和直线重合时,所转的最小正角记为
α
,那么
α
就叫做直线的倾斜角.
(2)规定:当直线
l
与
x
轴平行或重合时,它的倾斜角为0.
(3)范围:直线的倾斜角
α
的取值范围是②
[0,π)
.
2.直线的斜率
(1)定义:当直线
l
的倾斜角
α
≠
时,其倾斜角
α
的正切值tan
α
叫做这条直线
的斜率,斜率通常用小写字母
k
表示,则
k
=tan
α
.
考点
清单
.
3.直线方程的几种形式
(2)范围:全体实数R.
(3)斜率公式:经过两点
P
1
(
x
1
,
y
1
),
P
2
(
x
2
,
y
2
)(
x
1
≠
x
2
)的直线的斜率公式为
=③
名称
方程
说明
适用条件
斜截式
y
=
kx
+
b
k
是斜率,
与
x
轴不
垂直的直线
b
是纵截距
点斜式
y
-
y
0
=
k
(
x
-
x
0
)
(
x
0
,
y
0
)是直线上的已知点,
k
是斜率
两点式
=
(
x
1
≠
x
2
,
y
1
≠
y
2
)
(
x
1
,
y
1
),(
x
2
,
y
2
)是直线上的两个已知点
与两坐标轴均不垂直
的直线
截距式
+
=1
a
是直线的横截距,
b
是直线的纵截距
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax
+
By
+
C
=0(
A
2
+
B
2
≠
0)
当
B
=0时,-
是直线的横截距
所有直线
当
A
≠
0,
B
≠
0时,-
,-
,-
分别为直线的斜率、横截距、纵截距
注意 (1)当直线与
x
轴不垂直时,可设直线的方程为
y
=
kx
+
b
;当不确定直线
的斜率是否存在时,可设直线的方程为
ky
+
x
+
b
=0.
(2)特殊直线的方程,过
P
1
(
x
1
,
y
1
)且垂直于
x
轴的直线方程为
x
=
x
1
;过
P
1
(
x
1
,
y
1
)且
垂直于
y
轴的直线方程为④
y
=
y
1
.
知识拓展
常见的直线系方程
(1)过定点
P
(
x
0
,
y
0
)的直线系方程:
A
(
x
-
x
0
)+
B
(
y
-
y
0
)=0(
A
、
B
不同时为0),也可以
表示为
y
-
y
0
=
k
(
x
-
x
0
)和
x
=
x
0
;
(2)平行于直线
Ax
+
By
+
C
=0(
A
2
+
B
2
≠
0)的直线系方程:
Ax
+
By
+
C
0
=0(
C
≠
C
0
);
(3)垂直于直线
Ax
+
By
+
C
=0(
A
2
+
B
2
≠
0)的直线系方程:
Bx
-
Ay
+
C
0
=0;
(4)过两条已知直线
l
1
:
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
=0(
+
≠
0)和
l
2
:
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
=0(
+
≠
0)交点的直线系方程:
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
+
λ
(
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
)=0(
λ
∈R,这个直线系不包
括直线
l
2
:
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
=0,解题时,注意检验
l
2
的方程是否满足题意,以防丢解).
考点二 圆的方程
圆的方程
名称
方程
圆心
半径
标准
方程
(
x
-
a
)
2
+(
y
-
b
)
2
=
r
2
(
r
>0)
(
a
,
b
)
r
一般
方程
x
2
+
y
2
+
Dx
+
Ey
+
F
=0
(
D
2
+
E
2
-4
F
>0)
-
,-
温馨提示 (1)方程(
x
-
a
)
2
+(
y
-
b
)
2
=
r
2
中,若没有给出
r
>0,则圆的半径为|
r
|,实数
r
可以取负值.
(2)方程
x
2
+
y
2
+
Dx
+
Ey
+
F
=0中,
若
D
2
+
E
2
-4
F
=0,方程表示点
;若
D
2
+
E
2
-4
F
<0,方程不表示任何图形.
(3)圆的一般方程的形式特点:
(i)
x
2
和
y
2
的系数为1;
(ii)
没有含
xy
的二次项;
(iii)
A
=
C
≠
0且
B
=0是二元二次方程
Ax
2
+
Bxy
+
Cy
2
+
Dx
+
Ey
+
F
=0表示圆的必要
不充分条件.
(4)已知
P
(
x
1
,
y
1
),
Q
(
x
2
,
y
2
),则以
PQ
为直径的圆的方程为(
x
-
x
1
)(
x
-
x
2
)+(
y
-
y
1
)(
y
-
y
2
)=0.
考法一
求直线的倾斜角和斜率
知能拓展
例1
已知点(1,-2)和
在直线
l
:
ax
-
y
-1=0(
a
≠
0)的两侧,则直线
l
的倾斜
角的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
∪
解题导引
解法一:对含一个参数的直线方程,要善于发现该直线过定点,
然后数形结合,在坐标系中转动直线使点(1,-2)和
在直线
l
的两侧,求
出直线
l
的斜率的取值范围,从而可求倾斜角的取值范围.
解法二:在坐标系中,位于直线
Ax
+
By
+
C
=0同侧的点(
x
0
,
y
0
),代入坐标后,
Ax
0
+
By
0
+
C
符号相同,而位于不同侧的点,代入坐标后符号相反,因此代入两点坐
标,列不等关系式,求出直线
l
的斜率的取值范围,即可得倾斜角的取值范围.
解析
解法一:设直线
l
的倾斜角为
θ
,且
θ
∈[0,π),点
A
(1,-2),
B
.直线
l
:
ax
-
y
-1=0(
a
≠
0)经过定点
P
(0,-1),则
k
PA
=
=-1,
k
PB
=
=
.
∵点(1,-2)和
在直线
l
:
ax
-
y
-1=0(
a
≠
0)的两侧,
∴
k
PA
<
a
<
k
PB
(
a
≠
0),∴-10),
则圆心(
a
,
b
)到直线
x
-
y
-3=0的距离
d
=
,
∴
r
2
=
+
,即2
r
2
=(
a
-
b
-3)
2
+3.①
∵所求圆与直线
x
-
y
=0相切,∴
=
r
,
∴(
a
-
b
)
2
=2
r
2
.②
又∵圆心在直线
x
+
y
=0上,∴
a
+
b
=0.③
联立①②③,解得
故圆
C
的方程为(
x
-1)
2
+(
y
+1)
2
=2.
解法二:∵所求圆的圆心在直线
x
+
y
=0上,
∴设所求圆的圆心为(
a
,-
a
).
又∵所求圆与直线
x
-
y
=0相切,∴半径
r
=
=
|
a
|.
又所求圆在直线
x
-
y
-3=0上截得的弦长为
,圆心(
a
,-
a
)到直线
x
-
y
-3=0的距
离
d
=
,
∴
d
2
+
=
r
2
,即
+
=2
a
2
,
解得
a
=1,∴圆
C
的方程为(
x
-1)
2
+(
y
+1)
2
=2.
解法三:设所求圆的方程为
x
2
+
y
2
+
Dx
+
Ey
+
F
=0,
则圆心为
,半径
r
=
,
∵圆心在直线
x
+
y
=0上,∴-
-
=0,即
D
+
E
=0,①
又∵圆
C
与直线
x
-
y
=0相切,
∴
=
,即(
D
-
E
)
2
=2(
D
2
+
E
2
-4
F
),∴
D
2
+
E
2
+2
D
·
E
-8
F
=0.②
又知圆心
到直线
x
-
y
-3=0的距离
d
=
,由已知得
d
2
+
=
r
2
,
∴(
D
-
E
+6)
2
+12=2(
D
2
+
E
2
-4
F
),③
联立①②③,解得
故所求圆的方程为
x
2
+
y
2
-2
x
+2
y
=0,
即(
x
-1)
2
+(
y
+1)
2
=2.
答案
(
x
-1)
2
+(
y
+1)
2
=2
方法总结
1.选择方程的原则
(1)已知条件多与圆心、半径有关,或与切线、弦长、弧长、圆心角、距离
等有关,则设圆的标准方程为(
x
-
a
)
2
+(
y
-
b
)
2
=
r
2
(
r
>0);
(2)已知圆上的三个点的坐标时,设圆的一般方程为
x
2
+
y
2
+
Dx
+
Ey
+
F
=0(
D
2
+
E
2
-4
F
>0).
2.求圆的方程的方法
(1)待定系数法:①根据题意,选择方程形式(标准方程或一般方程);②根据条件列出关于
a
,
b
,
r
或
D
,
E
,
F
的方程(组);③解出
a
,
b
,
r
或
D
,
E
,
F
,代入所选的方程中即可.
(2)几何法:在求圆的方程过程中,常利用圆的一些性质或定理直接求出圆
心和半径,进而可写出标准方程.常用的几何性质有:①圆心在过切点且与
切线垂直的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点
与两圆圆心在一条直线上
.
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