人教新课标A版高一数学2-2-1等差数列的概念、等差数列的通项公式） 2页

备课资料 一、备用习题 1.已知{an}是等差数列，a5=10，d=3，求 a10. 解法一：设数列的首项为 a1，由 a5=a1+4d 得 a1=-2，故而 a 10=a1+9d=25. 解法二：a10=a5+5d =25. 2.已知{an}是等差数列，a5=10，a 12=31，求 a 20，an. 解法一：设{a n}的首项为 a1，公差为 d，则           3 2 3111 104 1 1 1 d a da da 因为 a20=a1+19d=55，所以 a n=a1+(n-1)d=3n-5. 解法二：因为 a 12=a 5+7d,所以 d=3.所以得 a20=a12+8d=55,a n=a12+(n-12)d=3n-5. 注：根据以上两个例题的解法二启发学生得出等差数列的变形公式：an=am+(n-m)d. 3.等差数列 2，5，8，…，107 共有多少项？ 解：由 107=2+(n-1)×3 得 n=36. 引申：设等差数列{an}的首项为 a 1，末项为 a n，公差为 d，则其项数 11  d aan n , 这是等差数列通项公式的又一变形公式. 4.在-1 与 7 之间顺次插入三个数 a、b、c 使这五个数成等差数列，试求出这个数列. 解法一：因为-1,a,b,c,7 成等差数列,所以 b 是数-1 与数 7 的等差中项. 所以 32 71 b .a 又是-1 与 3 的等差中项，所以 12 31 a . 又因为 c 是 3 与 7 的等差中项， 52 73 c . 解法二：设 a1=-1,a5=7,所以 7=-1+(5-1)d  d=2. 则所求的数列为-1，1，3，5，7. 5.在一次大型庆祝“申奥”成功的活动中，广场上正对着观礼台的场地上由近及远地竖立着 “2008 相聚北京”八块标语牌.每块牌子的高为 2 m，距离观礼台最近的标语牌与观礼台的距 离为 20 m.若一个人从观礼台上距离地面 8 m 的高处能完整地看清这八块标语牌.问：最后一 块“京”字标语牌与观礼台的距离至少要多少米？(结果精确到 1 米) 答案：最后一块“京”字标语牌与观礼台的距离至少要 149 米. 二、阅读材料 等差数列的子数列问题 从等差数列 a1,a2,a3,…，an,…中，选出一些项按原来的次序组成一个新的数列{bn}，则 称数列{bn}是数列{an}的子数列.例如，数列 2，4，6，8，…，2n，…是数列 1，2，3，…， n，…的一个子数列. 子数列的概念虽然教材中没有讲，但我们仍可以遇到很多等差数列的子数列问题，在解 此类问题时，需注意两点： 其一，这些项是按什么“标准”选取出来的，不同的标准，选出来的子数列具有不同的性 质，因此要弄清这种“标准”的数学含义，并把它用数学式子表示出来. 其二，无论按何标准选取出来的子数列的项，都是原数列的一项，在这意义之下，我们 可以得出下面的结论： 若原数列{an}的通项公式为 an=f(n)，子数列{bm}的通项公式为 bm=g(m)，则必存在 n,m∈N*使得 f(n)=g(m)成立. 【例 1】 已知一个无穷等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d，取出这数列中所有项数为 7 的 倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是否是等差数列？如果是，它的首项与公差各是 多少？如果不是，请说明理由. 分析：新数列{bn}是由原数列{an}中的项数为 7 的倍数的各项组成的，因此，有 bn=a7n，再 由等差数列的定义判定差 bn+1-bn 是否为与 n 无关的常数. 解：设新数列为{bn}，依题意可知 bn=a7n=a1+(7n-1)d=7dn+a1-d. 所以 bn+1-bn=7d(n+1)+a1-d-7dn-a1+d=7d 为常数. 所以新数列是等差数列，其公差为 7d，首项为 a1+6d. 点评:本题的关键在于抓住选项的“标准”，即“项数为 7 的倍数”，于是得到了 bn=a7n，进而得 出新的数列{bn}的通项公式. 【例 2】 等差数列 1 002，1 005，1 008，…，1 998 中能被 4 整除的项共有多少项?并写出 这些项按原来的次序组成的新数列的通项公式. 分析：原数列的通项公式为 an=1 002+3(n-1)，设数列中各数均为 3 的倍数，故数列中能被 4 整除的项必为 12 的倍数. 解：设原等差数列为{an}，则 an=1 002+3(n-1)=3n+999，此数列中各项均为 3 的倍数. 又依题意新数列是由原数列中能被 4 整除的各项组成的，所以新数列中的各项为 12 的倍数. 设 12k 是新数列中的项，则 1 002≤12k≤1 998，解得 83.5≤k≤166.5，故 k 取 84，85，86，…， 166，即原数列中能被 4 整除的项共有 83 项. 这些项组成的新数列的通项公式为 bn=12n+996(n∈N*,1≤n≤83). 点评:本例还可以运用等差数列的性质，先判断出新数列是以 12 为公差的等差数列，再找出 其首项为 1 008，即可写出它的通项公式.