第五章一元函数的导数及其应用5-3导数在研究函数中的应用5-3-2第1课时函数的极值课件新人教A版选择性必修第二册 41页

5.3.2 　函数的极值与最大 ( 小 ) 值 第 1 课时　函数的极值 激趣诱思 知识点拨 “ 横看成岭侧成峰 , 远近高低各不同 ”, 说的是庐山的高低起伏 , 错落有致 . 在群山之中 , 各个山峰的顶端 , 虽然不一定是群山的最高处 , 但它却是其附近的最高点 . 那么 , 在数学上 , 这种现象如何来刻画呢 ? 激趣诱思 知识点拨 一、函数极值的概念 1 . 若函数 y=f ( x ) 在点 x=a 的函数值 f ( a ) 比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小 , f' ( a ) = 0, 而且在点 x=a 附近的左侧 f' ( x ) < 0 , 右侧 f' ( x ) > 0 , 就把 a 叫做函数 y=f ( x ) 的极小值点 , f ( a ) 叫做函数 y=f ( x ) 的极小值 . 2 . 若函数 y=f ( x ) 在点 x=b 的函数值 f ( b ) 比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大 , f' ( b ) = 0, 而且在点 x=b 附近的左侧 f' ( x ) > 0 , 右侧 f' ( x ) < 0 , 就把 b 叫做函数 y=f ( x ) 的极大值点 , f ( b ) 叫做函数 y=f ( x ) 的极大值 . 3 . 极大值点和极小值点统称为 极值点 , 极大值和极小值统称为 极值 . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1 . 极值是一个局部概念 . 由定义知 , 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 , 并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小 . 2 . 函数的极值不是唯一的 , 即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个 . 3 . 极大值与极小值之间无确定的大小关系 . 在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值 , 即极大值不一定比极小值大 , 极小值也不一定比极大值小 . 4 . 函数的极值点一定出现在区间的内部 , 区间的端点不能成为极值点 . 激趣诱思 知识点拨 5 . 若函数在极值点处存在导数 , 则这点的导数为 0, 但导数为 0 的点可能不是函数的极值点 . 也就是说 , 若 f' ( c ) 存在 , 则 “ f' ( c ) = 0” 是 “ f ( x ) 在 x=c 处取到极值 ” 的必要条件 , 但不是充分条件 . 6 . 若 f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内有极值 , 则 f ( x ) 在 ( a , b ) 内一定不是单调函数 , 即在某区间上单调的函数没有极值 . 7 . 如果函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有极值 , 那么它的极值点的分布是有规律的 . 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点 , 同样 , 相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 . 一般地 , 当函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续且有有限个极值点时 , 函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的极大值点、极小值点是交替出现的 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 如图是函数 y=f ( x ) 的导函数 y=f' ( x ) 的图象 , 下列说法错误的是 ( 　　 ) A. - 2 是函数 y=f ( x ) 的极小值点 B.1 是函数 y=f ( x ) 的极值点 C. y=f ( x ) 在 x= 0 处的切线的斜率大于零 D. y=f ( x ) 在区间 ( - 2,2) 内单调递增 解析 : f' (1) = 0, 但在 x= 1 附近的左、右两侧的导函数值同号 , 则 1 不是 f ( x ) 的极值点 , 故选 B . 答案 : B 激趣诱思 知识点拨 二、函数极值的求法 一般地 , 求函数 y=f ( x ) 的极值的方法是 : 1 . 求函数 y=f ( x ) 的 导数 f' ( x ) . 2 . 解方程 f' ( x ) = 0 , 得方程的根 x 0 . 3 . 如果在 x 0 附近的左侧 f' ( x ) > 0, 右侧 f' ( x ) < 0, 那么 f ( x 0 ) 是 极大值 ; 如果在 x 0 附近的左侧 f' ( x ) < 0, 右侧 f' ( x ) > 0, 那么 f ( x 0 ) 是 极小值 . 名师点析 导数等于 0 的解不一定是极值点 ; 反之 , 极值点一定是导数等于 0 的解 , 故须对 f' ( x ) = 0 的解进行检验 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 函数 f ( x ) =x 3 - 3 x 的极大值等于 　　　　 , 极小值等于 　　　　 .   解析 : 由题意知 f' ( x ) = 3 x 2 - 3, 令 f' ( x ) = 3 x 2 - 3 = 0, 得 x= ± 1, 当 x ∈ ( -∞ , - 1) 时 f' ( x ) > 0, 当 x ∈ ( - 1,1) 时 f' ( x ) < 0, 当 x ∈ (1, +∞ ) 时 f' ( x ) > 0, 所以当 x=- 1 时 , 函数取极大值 f ( - 1) = 2; 当 x= 1 时 , 函数取极小值 f (1) =- 2 . 答案 : 2 　 - 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用导数求函数的极值 角度 1 　 不含参数的函数求极值 例 1 求下列函数的极值 : 分析 : 按照求函数极值的步骤 , 借助表格进行求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 函数的定义域为 R , f' ( x ) =x 2 - 2 x- 3 . 令 f' ( x ) = 0, 得 x= 3 或 x=- 1 . 当 x 变化时 , f' ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 所以函数在 x=- 1 处取得极大值 f ( - 1) = e, 无极小值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用导数求函数极值的方法 利用导数研究函数的极值时 , 一般应首先明确函数的定义域 , 然后求出函数的导数 , 得到导数为零的点 . 这些点将整个定义域分为若干个区间 , 最后将 x , f' ( x ), f ( x ) 在每个区间内的变化情况列在一个表格中 . 观察导数为零的点的左右两侧导数值是否异号 , 若异号 , 则是极值 ; 否则 , 不是极值 . 这样通过表格可以清楚地判断在哪个点处取得极值 , 是极大值还是极小值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 函数 f ( x ) 的定义域为 R , 令 f' ( x ) = 0, 得 x (2 -x )·e -x = 0, 解得 x= 0 或 x= 2 . 当 x 变化时 , f' ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 角度 2 　 含参数的函数求极值 例 2 已知函数 f ( x ) = ( x 2 +ax- 2 a 2 + 3 a )e x ( x ∈ R ), 当 a ∈ R 且 a ≠ 时 , 求函数的极值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : f' ( x ) = [ x 2 + ( a+ 2) x- 2 a 2 + 4 a ]e x . 令 f' ( x ) = 0, 解得 x=- 2 a 或 x=a- 2 . ∴ f ( x ) 在 ( -∞ , - 2 a ),( a- 2, +∞ ) 内是增函数 , 在 ( - 2 a , a- 2) 内是减函数 . ∴ 函数 f ( x ) 在 x=- 2 a 处取得极大值 f ( - 2 a ), 且 f ( - 2 a ) = 3 a e - 2 a ; 函数 f ( x ) 在 x=a- 2 处取得极小值 f ( a- 2), 且 f ( a- 2) = (4 - 3 a )e a- 2 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 ∴ f ( x ) 在 ( -∞ , a- 2),( - 2 a , +∞ ) 内是增函数 , 在 ( a- 2, - 2 a ) 内是减函数 . ∴ 函数 f ( x ) 在 x=a- 2 处取得极大值 f ( a- 2), 且 f ( a- 2) = (4 - 3 a )e a- 2 ; 函数 f ( x ) 在 x=- 2 a 处取得极小值 f ( - 2 a ), 且 f ( - 2 a ) = 3 a e - 2 a . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求可导函数 f ( x ) 的极值的步骤 (1) 求函数的定义域 . (2) 求函数的导数 f' ( x ) . (3) 令 f' ( x ) = 0, 求出全部的根 x 0 . (4) 列表 : 方程的根 x 0 将整个定义域分成若干个区间 , 把 x , f' ( x ), f ( x ) 在每个区间内的变化情况列在一个表格内 . (5) 判断得结论 : 若导数在 x 0 附近左正右负 , 则在 x 0 处取得极大值 ; 若左负右正 , 则取得极小值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 若函数 f ( x ) =x-a ln x ( a ∈ R ), 求函数 f ( x ) 的极值 . (1) 当 a ≤ 0 时 , f' ( x ) > 0, 函数 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上单调递增 , 函数 f ( x ) 无极值 . (2) 当 a> 0 时 , 令 f' ( x ) = 0, 解得 x=a. 当 0 a 时 , f' ( x ) > 0 . ∴ f ( x ) 在 x=a 处取得极小值 , 且 f ( a ) =a-a ln a , 无极大值 . 综上可知 , 当 a ≤ 0 时 , 函数 f ( x ) 无极值 ; 当 a> 0 时 , 函数 f ( x ) 在 x=a 处取得极小值 a-a ln a , 无极大值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 由极值求参数的值或取值范围 例 3 已知函数 f ( x ) =x 3 +ax 2 +bx+ 4 在 x= 1 处取得 极值 . (1) 求 a , b 的值 ; (2) 求函数的另一个极值 . 分析 : (1) 可利用 f' (1) = 0, f (1 ) = 建立 关于 a , b 的方程组求解 ;(2) 按照求极值的步骤求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 因为 f ( x ) =x 3 +ax 2 +bx+ 4, 所以 f' ( x ) = 3 x 2 + 2 ax+b , 当 x 变化时 , f' ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分析 : f ( x ) 在 (1, +∞ ) 内有两个极值点 , 等价于 f' ( x ) = 0 在 (1, +∞ ) 内有两个不等实根 . 解 : f' ( x ) =x 2 - ( m+ 3) x+m+ 6 . 因为函数 f ( x ) 在 (1, +∞ ) 内有两个极值点 , 所以 f' ( x ) =x 2 - ( m+ 3) x+m+ 6 在 (1, +∞ ) 内与 x 轴有两个不同的交点 , 如图所示 . 解得 m> 3 . 故实数 m 的取值范围是 (3, +∞ ) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 根据函数极值求参数的方法 根据函数极值的定义可知 , 如果一个函数是可导函数 , 那么在极值点处的导数必然为零 , 即对于可导函数 y=f ( x ), f' ( x 0 ) = 0 是 x 0 为极值点的必要条件 , 当已知函数在某一点处取得极值时 , 该点处的导数值一定为零 , 据此可建立关于参数的方程进行求解 . 特别地 , 利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 若函数 f ( x ) =x ( x-c ) 2 在 x= 2 处有极大值 , 则常数 c 为 ( 　　 ) A.2 B.6 C.2 或 6 D.-2 或 -6 解析 : ∵ 函数 f ( x ) =x ( x-c ) 2 =x 3 - 2 cx 2 +c 2 x , 它的导数为 f' ( x ) = 3 x 2 - 4 cx+c 2 , 由题意知 , 在 x= 2 处的导数值为 12 - 8 c+c 2 = 0, ∴ c= 6, 或 c= 2, 又函数 f ( x ) =x ( x-c ) 2 在 x= 2 处有极大值 , 故导数值在 x= 2 处左侧为正数 , 右侧为负数 . 当 c= 2 时 , f' ( x ) = 3 x 2 - 8 x+ 4 = 3( x- )( x- 2), 不满足导数值在 x= 2 处左侧为正数 , 右侧为负数 . 当 c= 6 时 , f' ( x ) = 3 x 2 - 24 x+ 36 = 3( x 2 - 8 x+ 12) = 3( x- 2)( x- 6), 满足导数值在 x= 2 处左侧为正数 , 右侧为负数 . 故 c= 6 . 故选 B . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 由函数图象分析函数的极值 例 5 已知 函数 y=xf' ( x ) 的图象如图所示 ( 其中 f' ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数 ), 给出以下说法 : ① 函数 f ( x ) 在区间 (1, +∞ ) 内是增函数 ; ② 函数 f ( x ) 在 x=- 1 处取得极大值 ; ③ 函数 f ( x ) 在 x =- 处 取得极大值 ; ④ 函数 f ( x ) 在 x= 1 处取得极小值 , 其中正确的说法有 　　　　　　 . ( 填所有正确的序号 )   探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分析 : 通过图象考查 f' ( x ) 在相关区间上的符号 , 以及在相关各点的左右两侧的导数值是否异号 , 结合极值的定义进行判断 . 解析 : 从图象上可以发现 , 当 x ∈ (1, +∞ ) 时 , xf' ( x ) > 0, 于是 f' ( x ) > 0, 故 f ( x ) 在区间 (1, +∞ ) 内是增函数 , ① 正确 ; 当 x ∈ ( -∞ , - 1) 时 , xf' ( x ) < 0, 所以 f' ( x ) > 0, 当 x ∈ ( - 1,0) 时 , xf' ( x ) > 0, 所以 f' ( x ) < 0, 故函数 f ( x ) 在 x=- 1 处取得极大值 , ② 正确 ; 当 x ∈ ( - 1,1) 时 , f' ( x ) < 0, 所以函数 f ( x ) 在区间 ( - 1,1) 内是减函数 , ③ 错 ; 当 x ∈ (0,1) 时 , xf' ( x ) < 0, 于是 f' ( x ) < 0, 故 f ( x ) 在区间 (0,1) 内是减函数 , 而在区间 (1, +∞ ) 上是增函数 , 所以函数 f ( x ) 在 x= 1 处取得极小值 , ④ 正确 . 答案 : ①②④ 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 由函数图象研究极值的方法 这类函数图象问题是利用导数研究函数极值问题中较为常见的一种题型 , 解答这类问题的关键是选准出发点 . 对于导函数的图象 , 我们重点考查其在哪个区间上为正 , 哪个区间上为负 , 在哪个点处与 x 轴相交 , 在该点处 , 导函数的值是怎样变化的 , 若是由正值变为负值 , 则在该点处取得极大值 ; 若由负值变为正值 , 则在该点处取得极小值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 4 已知函数 f ( x ) 的导函数 f' ( x ) 的图象如图所示 , 给出以下结论 : ① 函数 f ( x ) 在 ( - 2, - 1) 和 (1,2) 内是增函数 ; ② 函数 f ( x ) 在 ( - 2,0) 内是增函数 , 在 (0,2) 内是减函数 ; ③ 函数 f ( x ) 在 x=- 1 处取得极大值 , 在 x= 1 处取得极小值 ; ④ 函数 f ( x ) 在 x= 0 处取得极大值 . 其中正确命题的序号是 　　　　 . ( 填所有正确命题的序号 )   解析 : 函数 f ( x ) 在 ( - 2, - 1) 内单调递增 , 在 (1,2) 内单调递减 , 故 ① 错 ; 因为 f' ( x ) 在 ( - 2,0) 内大于 0, 所以函数 f ( x ) 在 ( - 2,0) 内是增函数 , 同理 f ( x ) 在 (0,2) 内是减函数 , 故 ② 正确 ; ③ 错误 ; 当 - 2 0, 当 0 0; 当 - 1 1 时 , f' ( x ) > 0 . 所以当 x=- 1 时 , f ( x ) 有极大值 f ( - 1) = 2 +a ; 当 x= 1 时 , f ( x ) 有极小值 f (1) =- 2 +a. 因为方程 f ( x ) = 0 有三个不同实根 , 所以 y=f ( x ) 的图象与 x 轴有三个交点 , 如图 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用导数可以判断函数的单调性 , 研究函数的极值情况 , 并能在此基本上画出函数的大致图象 , 从直观上判断函数图象与 x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数 , 从而为研究方程根的问题提供了方便 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 1 ( 改变条件 ) 本例中 , 若方程 f ( x ) = 0 恰有两个根 , 则实数 a 的值如何求解 ? 解 : 由例题 , 知函数的极大值 f ( - 1) = 2 +a , 极小值 f (1) =- 2 +a , 若 f ( x ) = 0 恰有两个根 , 则有 2 +a= 0, 或 - 2 +a= 0, 所以 a=- 2 或 a= 2 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 2 ( 改变条件 ) 本例中 , 若方程 f ( x ) = 0 有且只有一个实根 , 求实数 a 的取值范围 . 解 : 由例题可知 , 要使方程 f ( x ) = 0 有且只有一个实根 , 只需 2 +a< 0 或 - 2 +a> 0, 即 a<- 2 或 a> 2 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . (2020 陕西高二期末 ) 已知函数 f ( x ) 的导函数 f' ( x ) 的图象如图所示 , 则关于 f ( x ) 的结论正确的是 ( 　　 ) A . 在区间 ( - 2,2) 上为减函数 B . 在 x=- 2 处取得极小值 C . 在区间 ( -∞ , - 2),(2, +∞ ) 上为增函数 D. 在 x= 0 处取得极大值 解析 : 由图象知 f ( x ) 在 ( -∞ , - 2) 递减 , 在 ( - 2,2) 递增 , 在 (2, +∞ ) 递减 , 故 f ( x ) 在 x=- 2 取极小值 , 在 x= 2 取极大值 , 故选 B . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 A.0 B.-1 C.0 或 1 D.1 解析 : ∵ f' ( x ) =x 3 -x 2 =x 2 ( x- 1), 由 f' ( x ) = 0, 得 x= 0 或 x= 1 . 又当 x> 1 时 f' ( x ) > 0, 当 0 0 得 x< 2 或 x> 3 . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 已知 a 是函数 f ( x ) =x 3 - 12 x 的极大值点 , 则 a= 　　　　　 .   解析 : ∵ f ( x ) =x 3 - 12 x , ∴ f' ( x ) = 3 x 2 - 12 . 令 f' ( x ) = 0, 则 x 1 =- 2, x 2 = 2 . 当 x ∈ ( -∞ , - 2) ∪ (2, +∞ ) 时 , f' ( x ) > 0, 则 f ( x ) 单调递增 ; 当 x ∈ ( - 2,2) 时 , f' ( x ) < 0, 则 f ( x ) 单调递减 , ∴ 当 x=- 2 时 , f ( x ) 取极大值 , 故 f ( x ) 的极大值点是 a=- 2 . 答案 : - 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . (2019 广东石门中学高二月考 ) 已知函数 f ( x ) = x 3 +bx 2 +cx+ 3 在 ( - ∞ , - 1) 和 (3, +∞ ) 上为增函数 , 在 ( - 1,3) 上为减函数 . (1) 求 f ( x ) 的解析式 ; (2) 求 f ( x ) 在 R 上的极值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测