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- 2021-06-10 发布
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2．1.2 指数函数及其性质(一)
课时目标 1.理解指数函数的概念，会判断一个函数是否为指数函数.2.掌握指
数函数的图象和性质．
1．指数函数的概念
一般地，__________________叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义
域是____．
2．指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象和性质
a>1 00 时，________；
当 x<0 时，________
当 x>0 时，________；
当 x<0 时，________
单调性 是 R 上的__________ 是 R 上的__________
一、选择题
1．下列以 x 为自变量的函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－4)xB．y＝πx
C．y＝－4xD．y＝ax＋2(a>0 且 a≠1)
2．函数 f(x)＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，则有( )
A．a＝1 或 a＝2B．a＝1
C．a＝2D．a>0 且 a≠1
3．函数 y＝a|x|(a>1)的图象是( )
4．已知 f(x)为 R 上的奇函数，当 x<0 时，f(x)＝3x，那么 f(2)的值为( )
A．－9B.1
9
C．－1
9D．9
5．右图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx 的图象，则 a、b、c、
d 与 1 的大小关系是( )
A．a0，a≠1)的图象不经过第二象限，则 a，b 必满足
条件________________．
9．函数 y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
三、解答题
10．比较下列各组数中两个值的大小：
(1)0.2－1.5 和 0.2－1.7；
(2)
1
31
4
和
2
31
4
；
(3)2－1.5 和 30.2.
11．2000 年 10 月 18 日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市
政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到 50000m3”，副标题是：“垃圾的体
积每三年增加一倍”．如果把 3 年作为垃圾体积加倍的周期，请你完成下面关
于垃圾的体积 V(m3)与垃圾体积的加倍的周期(3 年)数 n 的关系的表格，并回答
下列问题．
周期数 n 体积 V(m3)
0 50000×20
1 50000×2
2 50000×22
… …
n 50000×2n
(1)设想城市垃圾的体积每 3 年继续加倍，问 24 年后该市垃圾的体积是多少？
(2)根据报纸所述的信息，你估计 3 年前垃圾的体积是多少？
(3)如果 n＝－2，这时的 n，V 表示什么信息？
(4)写出 n 与 V 的函数关系式，并画出函数图象(横轴取 n 轴)．
(5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？
能力提升
12．定义运算 a⊕b＝ aa≤b
ba>b
，则函数 f(x)＝1⊕2x 的图象是( )
13．定义在区间(0，＋∞)上的函数 f(x)满足对任意的实数 x，y 都有 f(xy)＝yf(x)．
(1)求 f(1)的值；
(2)若 f(1
2)>0，解不等式 f(ax)>0.(其中字母 a 为常数)．
1．函数 y＝f(x)与函数 y＝f(－x)的图象关于 y 轴对称；函数 y＝f(x)与函数 y＝
－f(x)的图象关于 x 轴对称；函数 y＝f(x)与函数 y＝－f(－x)的图象关于原点对
称．
2．函数图象的平移变换是一种基本的图象变换．一般地，函数 y＝f(x－a)的图
象可由函数 y＝f(x)的图象向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|个单位得到．
2．1.2 指数函数及其性质(一)
知识梳理
1．函数 y＝ax(a>0，且 a≠1) R 2.(0,1) 0 1 y>1
01 增函数 减函数
作业设计
1．B [A 中－4<0，不满足指数函数底数的要求，C 中因有负号，也不是指数
函数，D 中的函数可化为 y＝a2·ax，ax 的系数不是 1，故也不是指数函数．]
2．C [由题意得 a2－3a＋3＝1，
a>0 且 a≠1.
解得 a＝2.]
3．B [该函数是偶函数．可先画出 x≥0 时，y＝ax 的图象，然后沿 y 轴翻折过
去，便得到 x<0 时的函数图象．]
4．C [当 x>0 时，－x<0，∴f(－x)＝3－x，
即－f(x)＝(1
3)x，
∴f(x)＝－(1
3)x.
因此有 f(2)＝－(1
3)2＝－1
9.]
5．B [作直线 x＝1 与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a)、(1，b)、(1，
c)、(1，d)，由图象可知纵坐标的大小关系．]
6．D [函数 y＝(1
2)x 的图象上所有的点向下平移 2 个单位，就得到函数 y＝(1
2)x
－2 的图象，所以观察 y＝(1
2)x－2 的图象知选 D.]
7.1
8
解析 由题意 a2＝4，∴a＝2.
f(－3)＝2－3＝1
8.
8．a>1，b≥2
解析 函数 y＝ax－(b－1)的图象可以看作由函数 y＝ax 的图象沿 y 轴平移|b－
1|个单位得到．若 01 时，由于 y＝ax 的图象必过定点(0,1)，当 y＝ax 的图象
沿 y 轴向下平移 1 个单位后，得到的图象不经过第二象限．由 b－1≥1，得 b≥2.
因此，a，b 必满足条件 a>1，b≥2.
9．[0,8)
解析 y＝8－23－x＝8－23·2－x＝8－8·(1
2)x
＝8[1－(1
2)x]．
∵x≥0，∴0<(1
2)x≤1，
∴－1≤－(1
2)x<0，
从而有 0≤1－(1
2)x<1，因此 0≤y<8.
10．解 (1)考查函数 y＝0.2x.
因为 0<0.2<1，
所以函数 y＝0.2x 在实数集 R 上是单调减函数．
又因为－1.5>－1.7，
所以 0.2－1.5<0.2－1.7.
(2)考查函数 y＝(1
4)x.因为 0<1
4<1，
所以函数 y＝(1
4)x 在实数集 R 上是单调减函数．
又因为1
3<2
3
，所以
(3)2－1.5<20，即 2－1.5<1；30<30.2，即 1<30.2，
所以 2－1.5<30.2.
11．解 (1)由于垃圾的体积每 3 年增加 1 倍，24 年后即 8 个周期后，该市垃
圾的体积是 50000×28＝12800000(m3)．
(2)根据报纸所述的信息，估计 3 年前垃圾的体积是 50000×2－1＝25000(m3)．
(3)如果 n＝－2，这时的 n 表示 6 年前，V 表示 6 年前垃圾的体积．
(4)n 与 V 的函数关系式是 V＝50000×2n，图象如图所示．
(5)因为对任意的整数 n,2n>0，所以 V＝50000×2n>0，因此曲线不可能与横轴
相交．
12．A [由题意 f(x)＝1⊕2x＝ 1， x≥0；
2x，x<0.
]
13．解 (1)令 x＝1，y＝2，可知 f(1)＝2f(1)，故 f(1)＝0.
(2)设 0t，又 f(1
2)>0，
∴f(x1)－f(x2)＝f[(1
2)s]－f[(1
2)t]
＝sf(1
2)－tf(1
2)＝(s－t)f(1
2)>0，
∴f(x1)>f(x2)．
故 f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
又∵f(ax)>0，x>0，f(1)＝0，
∴00 时，00 时，不等式解集为{x|0
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