2016年高考数学（文科）真题分类汇编D单元　数列 10页

‎ 数 学 D单元　数列 ‎ D1 数列的概念与简单表示法 D2 等差数列及等差数列前n项和 ‎8．D2[2016·浙江卷] 如图12，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)‎ 若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　)‎ 图12‎ A．{Sn}是等差数列 B．{S}是等差数列 C．{dn}是等差数列 D．{d}是等差数列 ‎8．A　[解析] 由题意得，An是线段An－1An＋1(n≥2)的中点，Bn是线段Bn－1Bn＋1(n≥2)的中点，且线段AnAn＋1的长度都相等，线段BnBn＋1的长度都相等．过点An作高线hn，由A1作高线h2的垂线A1C1，由A2作高线h3的垂线A2C2，则h2－h1＝|A1A2|sin∠A2A1C1，h3－h2＝|A2A3|sin∠A3A2C2.而|A1A2|＝|A2A3|，∠A2A1C1＝∠A3A2C2，故h1，h2，h3成等差数列，故△AnBnBn＋1的面积构成的数列{Sn}是等差数列．‎ ‎8．D2[2016·江苏卷] 已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．‎ ‎8．20　[解析] 因为S5＝5a3＝10，所以a3＝2，设其公差为d，‎ 则a1＋a＝2－2d＋(2－d)2＝d2－6d＋6＝－3，解得d＝3，所以a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.‎ ‎15．D2，D3，D4[2016·北京卷] 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．‎ ‎15．解：(1)等比数列{bn}的公比q＝＝＝3，‎ 所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27.‎ 设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，‎ 所以1＋13d＝27，即d＝2，‎ 所以an＝2n－1(n＝1，2，3，…)．‎ ‎(2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n－1，‎ 因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，‎ 从而数列{cn}的前n项和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1‎ ‎＝＋ ‎＝n2＋.‎ ‎17．D2，D3[2016·全国卷Ⅰ] 已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求{bn}的前n项和．‎ ‎17．解：(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2，‎ 所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，其通项公式为an＝3n－1.‎ ‎(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得bn＋1＝，因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则 Sn＝＝－.‎ ‎19．D2，D4，H6[2016·四川卷] 已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.‎ ‎(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e.‎ ‎19．解：(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.‎ 又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，‎ 故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．‎ 所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列，‎ 从而an＝qn－1.‎ 由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2，‎ 所以an＝2n－1(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)可知，an＝qn－1，‎ 所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.‎ 由e2＝＝2，解得q＝，‎ 所以e＋e＋…＋e＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]＝n＋＝n＋(3n－1)．‎ ‎17．D2[2016·全国卷Ⅱ] 等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.‎ ‎17．解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3，解得a1＝1，d＝.‎ 所以{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)由(1)知，bn＝[].‎ 当n＝1，2，3时，1≤<2，bn＝1；‎ 当n＝4，5时，2<<3，bn＝2；‎ 当n＝6，7，8时，3≤<4，bn＝3；‎ 当n＝9，10时，4<<5，bn＝4.‎ 所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.‎ ‎19．D2、D4[2016·山东卷] 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎19．解：(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.‎ 当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式．‎ 所以an＝6n＋5.‎ 设数列{bn}的公差为d.‎ 由即 解得 所以bn＝3n＋1.‎ ‎(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.‎ 由Tn＝c1＋c2＋…＋cn，‎ 得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，‎ ‎2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，‎ 两式作差，得 ‎－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×[4＋－(n＋1)×2n＋2] ＝－3n·2n＋2，‎ 所以Tn＝3n·2n＋2.‎ ‎18．D2、D3[2016·天津卷] 已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前2n项和．‎ ‎18．解：(1)设数列{an}的公比为q，由已知，有－＝，解得q＝2或q＝－1.‎ 又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，所以a1·＝63，得a1＝1，所以an＝2n－1.‎ ‎(2)由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)＝(log22n－1＋log22n)＝n－，‎ 即{bn}是首项为，公差为1的等差数列．‎ 设数列{(－1)nb}的前n项和为Tn，则 T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)‎ ‎＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ‎＝ ‎＝2n2.‎ ‎17．D2、D3[2016·浙江卷] 设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.‎ ‎(1)求通项公式an；‎ ‎(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．‎ ‎17．解：(1)由题意得则 又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.‎ ‎(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则b1＝2，b2＝1.‎ 当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，‎ 所以bn＝3n－1－n－2，n≥3.‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3.‎ 当n≥3时，Tn＝3＋－＝，n＝2也适合此式，‎ 所以Tn＝ D3　等比数列及等比数列前n项和 ‎7．D3[2016·四川卷] 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)‎ ‎(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)‎ A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 ‎7．B　[解析] 设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元．由题可知，130(1＋12%)x＝200，‎ 解得x＝log1.12＝≈3.80.‎ 又资金需超过200万元，所以x的值取4，即该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．‎ ‎18．D2、D3[2016·天津卷] 已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝‎ ‎63.‎ ‎(1)求{an}的通项公式； ‎ ‎(2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前2n项和．‎ ‎18．解：(1)设数列{an}的公比为q，由已知，有－＝，解得q＝2或q＝－1.‎ 又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，所以a1·＝63，得a1＝1，所以an＝2n－1.‎ ‎(2)由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)＝(log22n－1＋log22n)＝n－，‎ 即{bn}是首项为，公差为1的等差数列．‎ 设数列{(－1)nb}的前n项和为Tn，则 T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)‎ ‎＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ‎＝ ‎＝2n2.‎ ‎17．D2、D3[2016·浙江卷] 设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.‎ ‎(1)求通项公式an；‎ ‎(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．‎ ‎17．解：(1)由题意得则 又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.‎ ‎(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则b1＝2，b2＝1.‎ 当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，‎ 所以bn＝3n－1－n－2，n≥3.‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3.‎ 当n≥3时，Tn＝3＋－＝，n＝2也适合此式，‎ 所以Tn＝ ‎20．A1、D3、D5[2016·江苏卷] 记U＝{1，2，…，100}．对数列{an}(n∈N*)和U的子集T，若T＝∅，定义ST＝0；若T＝{t1，t2，…，tk}，定义ST＝at1＋at2＋…＋atk.例如：T＝{1，3，66}时，ST＝a1＋a3＋a66.现设{an}(n∈N*)是公比为3的等比数列，且当T＝{2，4}时，ST＝30.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)对任意正整数k(1≤k≤100)，若T⊆{1，2，…，k}，求证：ST0，n∈N*，‎ 所以ST≤a1＋a2＋…＋ak＝1＋3＋…＋3k－1＝(3k－1)<3k.‎ 因此，ST0，n∈N*.‎ ‎(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e.‎ ‎19．解：(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.‎ 又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，‎ 故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．‎ 所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列，‎ 从而an＝qn－1.‎ 由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2，‎ 所以an＝2n－1(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)可知，an＝qn－1，‎ 所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.‎ 由e2＝＝2，解得q＝，‎ 所以e＋e＋…＋e＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]＝n＋＝n＋(3n－1)．‎ ‎19．D2、D4[2016·山东卷] 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎19．解：(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.‎ 当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式．‎ 所以an＝6n＋5.‎ 设数列{bn}的公差为d.‎ 由即 解得 所以bn＝3n＋1.‎ ‎(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.‎ 由Tn＝c1＋c2＋…＋cn，‎ 得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，‎ ‎2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，‎ 两式作差，得 ‎－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×[4＋－(n＋1)×2n＋2] ＝－3n·2n＋2，‎ 所以Tn＝3n·2n＋2.‎ ‎ D5 单元综合 ‎20．A1、D3、D5[2016·江苏卷] 记U＝{1，2，…，100}．对数列{an}(n∈N*)和U的子集T，若T＝∅，定义ST＝0；若T＝{t1，t2，…，tk}，定义ST＝at1＋at2＋…＋atk.例如：T＝{1，3，66}时，ST＝a1＋a3＋a66.现设{an}(n∈N*)是公比为3的等比数列，且当T＝{2，4}时，ST＝30.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)对任意正整数k(1≤k≤100)，若T⊆{1，2，…，k}，求证：ST0，n∈N*，‎ 所以ST≤a1＋a2＋…＋ak＝1＋3＋…＋3k－1＝(3k－1)<3k.‎ 因此，ST