2016年高考数学（文科）真题分类汇编J单元　计数原理 2页

数 学 ‎ ‎ J单元　计数原理 ‎ J1　基本计数原理 ‎13．J1，K2[2016·四川卷] 从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．‎ ‎13.　[解析] 由题意可知，(a，b)可能的情况有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，2)，(3，8)，(3，9)，(8，2)，(8，3)，(8，9)，(9，2)，(9，3)，(9，8)，共12种情况，其中只有(2，8)，(3，9)满足题意，故所求概率为＝.‎ J2　排列、组合 ‎6．J2，K2[2016·北京卷] 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎6．B　[解析] 甲被选中的概率为＝.‎ ‎23．J2、J3、J4[2016·江苏卷] (1)求7C－4C的值；‎ ‎(2)设m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋nC＋(n＋1)C＝(m＋1)C.‎ ‎23．解：(1)7C－4C＝7×－4×＝0.‎ ‎(2)证明：当n＝m时，结论显然成立．‎ 当n>m时，(k＋1)C＝＝(m＋1)·＝(m＋1)C，k＝m＋1，m＋2，…，n.‎ 又因为C＋C＝C，‎ 所以(k＋1)C＝(m＋1)(C－C)，k＝m＋1，m＋2，…，n.‎ 因此(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)C＝(m＋1)C＋[(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)C]＝(m＋1)C＋(m＋1)[(C－C)＋(C－C)＋…＋(C－C)]＝(m＋1)C.‎ J3　二项式定理 ‎9．J3[2016·上海卷] 在(－)n的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________．‎ ‎9．112　[解析] 由二项式定理得，二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n.由题意得2n＝256，所以n＝8，则二项展开式的通项为Tr＋1＝C()8－r(－)r＝(－2)rCx－r，令－r＝0‎ ‎，得r＝2，所以常数项为T3＝112.‎ ‎04[2016·浙江卷]　“计数原理与概率”模块 ‎(1)已知(1＋2x)4(1－x2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求a2的值．‎ ‎(2)设袋中共有8个球，其中3个白球、5个红球，从袋中随机取出3个球，求至少有1个白球的概率．‎ 解：(1)因为(1＋2x)4二项展开式的通项为C(2x)r，r＝0，1，2，3，4.‎ ‎(1－x2)3二项展开式的通项为C(－x2)r，r＝0，1，2，3.‎ 所以a2＝C·22·C＋C·C·(－1)＝21.‎ ‎(2)从袋中取出3个球，总的取法有C＝56(种)；‎ 其中都是红球的取法有C＝10(种)．‎ 因此，从袋中取出3个球至少有1个白球的概率是 ‎1－＝.‎ ‎23．J2、J3、J4[2016·江苏卷] (1)求7C－4C的值；‎ ‎(2)设m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋nC＋(n＋1)C＝(m＋1)C.‎ ‎23．解：(1)7C－4C＝7×－4×＝0.‎ ‎(2)证明：当n＝m时，结论显然成立．‎ 当n>m时，(k＋1)C＝＝(m＋1)·＝(m＋1)C，k＝m＋1，m＋2，…，n.‎ 又因为C＋C＝C，‎ 所以(k＋1)C＝(m＋1)(C－C)，k＝m＋1，m＋2，…，n.‎ 因此(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)C＝(m＋1)C＋[(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)C]＝(m＋1)C＋(m＋1)[(C－C)＋(C－C)＋…＋(C－C)]＝(m＋1)C.‎ J4 单元综合 ‎23．J2、J3、J4[2016·江苏卷] (1)求7C－4C的值；‎ ‎(2)设m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋nC＋(n＋1)C＝(m＋1)C.‎ ‎23．解：(1)7C－4C＝7×－4×＝0.‎ ‎(2)证明：当n＝m时，结论显然成立．‎ 当n>m时，(k＋1)C＝＝(m＋1)·＝(m＋1)C，k＝m＋1，m＋2，…，n.‎ 又因为C＋C＝C，‎ 所以(k＋1)C＝(m＋1)(C－C)，k＝m＋1，m＋2，…，n.‎ 因此(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)C＝(m＋1)C＋[(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)C]＝(m＋1)C＋(m＋1)[(C－C)＋(C－C)＋…＋(C－C)]＝(m＋1)C.‎