高中数学人教a版必修4模块综合检测（三） word版含解析 9页

模块综合检测(三) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题(本题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1．已知角α的终边过点 P(－8m，－6sin 30°)，且 cos α＝－ 4 5 ，则 m的值为( ) A．－ 1 2 B.1 2 C．－ 3 2 D. 3 2 解析：选 B ∵r＝ 64m2＋9， ∴cos α＝ －8m 64m2＋9 ＝－ 4 5 ，∴m>0， ∴ 4m2 64m2＋9 ＝ 1 25 ，∴m＝±1 2 . ∵m>0，∴m＝ 1 2 . 2．在同一平面直角坐标系中，画出三个函数 f(x)＝ 2·sin 2x＋π 4 ，g(x)＝sin2x＋π 3 ，h(x) ＝cos x－π 6 的部分图象(如图)，则( ) A．a为 f(x)，b为 g(x)，c为 h(x) B．a为 h(x)，b为 f(x)，c为 g(x) C．a为 g(x)，b为 f(x)，c为 h(x) D．a为 h(x)，b为 g(x)，c为 f(x) 解析：选 B 由于函数 f(x)、g(x)、h(x)的最大值分别是 2、1、1，因此结合图形可知， 曲线 b 为 f(x)的图象；g(x)、h(x)的最小正周期分别是π、2π，因此结合图形可知，曲线 a、c 分别是 h(x)、g(x)的图象． 3．已知 O、A、B是平面上的三个点，直线 AB上有一点 C，满足 2 AC  ＋CB  ＝0，则OC  等于( ) A．2OA  －OB  B．－OA  ＋2OB  C.2 3 OA  － 1 3 OB  D．－ 1 3 OA  ＋ 2 3 OB  解析：选 A ∵OC  ＝OB  ＋BC  ＝OB  ＋2 AC  ＝OB  ＋2(OC  －OA  )， ∴OC  ＝2OA  －OB  . 4．已知两不共线的向量 a，b，若对非零实数 m，n有 ma＋nb与 a－2b共线，则 m n ＝( ) A．－2 B．2 C．－ 1 2 D.1 2 解析：选 C ∵ma＋nb＝λ(a－2b)， ∴ m＝λ， n＝－2λ， ∴ m n ＝－ 1 2 . 5．若α∈ π 2 ，π ，且 sin α＝4 5 ，则 sin α＋π 4 － 2 2 ·cos(π－α)等于( ) A.2 2 5 B．－ 2 5 C. 2 5 D．－ 2 2 5 解析：选 B sin α＋π 4 － 2 2 cos(π－α) ＝ 2 2 sin α＋ 2 2 cos α＋ 2 2 cos α ＝ 2 2 sin α＋ 2cos α. ∵sin α＝4 5 ，α∈ π 2 ，π ， ∴cos α＝－ 3 5 . ∴ 2 2 sin α＋ 2cos α＝ 2 2 × 4 5 － 2×3 5 ＝－ 2 5 . 6．设向量 a＝(1，cos θ)与 b＝(－1,2cos θ)垂直，则 cos 2θ等于( ) A. 2 2 B.1 2 C．0 D．－1 解析：选 C ∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝cos 2θ＝0. 7．下列函数为奇函数的是( ) A．y＝2cos2πx－1 B．y＝sin 2πx＋cos 2πx C．y＝tan πx 2 ＋1 D．y＝sin πxcos πx 解析：选 D 对于 A，y＝2cos2πx－1＝cos 2πx 是偶函数；对于 B，y＝sin 2πx＋cos 2πx ＝ 2·sin 2πx＋π 4 非奇非偶；对于 C，y＝tan πx 2 ＋1非奇非偶；对于 D，y＝sin πxcos πx＝1 2 sin 2πx是奇函数． 8．已知向量 m，n的夹角为 π 6 ，且|m|＝ 3，|n|＝2，在△ABC中， AB  ＝m＋n， AC  ＝ m－3n，D为 BC边的中点，则| AD  |等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 A AD  ＝ 1 2 ( AB  ＋ AC  )＝m－n. ∴| AD  |＝ m－n2＝ |m|2－2m·n＋|n|2＝1. 9．已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足 PA  ＋ PB  ＋ PC  ＝ AB  ，则 点 P与△ABC的关系为( ) A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部 C．P在 AB边所在直线上 D．P是 AC边的一个三等分点 解析：选 D ∵ PA  ＋ PB  ＋ PC  ＝ AB  ， ∴ PA  ＋ PB  ＋ PC  ＝ PB  － PA  ，∴ PC  ＝－2 PA  ＝2 AP  ， ∴P是 AC边的一个三等分点． 10．(天津高考)函数 f(x)＝sin 2x－π 4 在区间 0，π 2 上的最小值为( ) A．－1 B．－ 2 2 C. 2 2 D．0 解析：选 B 由已知 x∈ 0，π 2 ，得 2x－π 4 ∈ － π 4 ， 3π 4 ，所以 sin 2x－π 4 ∈ － 2 2 ，1 ， 故函数 f(x)＝sin2x－π 4 在区间 0，π 4 上的最小值为－ 2 2 . 11．如图是函数 f(x)＝A·cos(2π 3 x＋φ)－1(A>0，|φ|<π 2 )的图象的一部分，则 f(2 012)＝( ) A．－3 B．2 C. 3 2 D．1 解析：选 A 由函数的最大值为 1可知 A＝2，由函数 f(x)的图象过原点，可知 2cos φ－1 ＝0，又|φ|<π 2 ，所以φ＝±π 3 ，又点(1,0)在函数 f(x)的图象上，代入检验可知φ＝－ π 3 ，故 f(x)＝ 2·cos 2π 3 x－π 3 －1，所以 f(2 012)＝2·cos 1 340π＋4π 3 － π 3 －1＝－3. 12．已知向量OA  ＝(2,2)，OB  ＝(4,1)，在 x轴上有一点 P，使 AP  ·BP  有最小值，则点 P的坐标是( ) A．(－3,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0) 解析：选 C 设 P(x,0)，则 AP  ＝(x－2，－2)， BP  ＝(x－4，－1)， ∴ AP  ·BP  ＝(x－2)(x－4)＋2 ＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， 故当 x＝3时， AP  ·BP  最小，此时 P(3,0)． 二、填空题(本题共 4小题，每小题 5分，共 20分) 13．要得到函数 y＝1 3 sin(2x＋π 8 )的图象，只需将函数 y＝1 3 sin 2x的图象________个单位． 解析：y＝1 3 sin(2x＋π 8 )＝1 3 sin 2 x＋ π 16 ，故向左平移 π 16 个单位． 答案：向左平移 π 16 14．直线 x＝t与函数 y＝sin x，y＝cos x 的图象分别相交于 M，N 两点，则|MN|的最大 值为________． 解析：M，N的纵坐标分别为 sin t，cos t， 则|MN|＝|sin t－cos t|＝| 2sin(t－π 4 )|. ∴|MN|max＝ 2. 答案： 2 15．若 0≤α≤2π，sin α＞ 3cos α，则α的取值范围是____________． 解析：∵sin α> 3cos α，∴sin α－ 3cos α>0， 即 2 1 2 sin α－ 3 2 cos α ＝2sin α－π 3 >0， 由 0≤α≤2π，得－ π 3 ≤α－π 3 ≤ 5π 3 ， ∴0<α－π 3 <π，即α∈ π 3 ， 4π 3 . 答案： π 3 ， 4π 3 16．如图，在矩形 ABCD中，AB＝ 2，BC＝2，点 E为 BC的中点，点 F在边 CD上， 若 AB  · AF  ＝ 2，则 AE  ·BF  的值是________． 解析：以 A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为 x，y轴建立直角坐标系，则 B( 2， 0)，E( 2，1)，D(0,2)，C( 2，2)．设 F(x,2)(0≤x≤ 2)，由 AB  · AF  ＝ 2⇒ 2x＝ 2⇒x＝1， 所以 F(1,2)， AE  ·BF  ＝( 2，1)·(1－ 2，2)＝ 2. 答案： 2 三、解答题(本题共 6小题，共 70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10分)已知 sin α＋2cos 5π 2 ＋α cosπ－α－sin π 2 －α ＝－ 1 4 . (1)求 tan α的值； (2)若β为第二象限的角，且 tan(α－β)＝1 3 ，求β. 解：(1)∵ sin α＋2cos 5π 2 ＋α cosπ－α－sin π 2 －α ＝ sin α－2sin α －cos α－cos α ＝ 1 2 tan α＝－ 1 4 . ∴tan α＝－ 1 2 . (2)∵tan β＝tan [α－(α－β)] ＝ tan α－tanα－β 1＋tan αtanα－β ＝ － 1 2 － 1 3 1＋ － 1 2 × 1 3 ＝－1. 又∵β为第二象限角， ∴β＝2kπ＋3π 4 ，k∈Z. 18．(本小题满分 12分)(广东高考)已知函数 f(x)＝Asin x＋π 3 ，x∈R，且 f 5π 12 ＝ 3 2 2 . (1)求 A 的值； (2)若 f(θ)－f(－θ)＝ 3，θ∈ 0，π 2 ，求 f π 6 －θ . 解：(1)∵f(x)＝Asin x＋π 3 ，且 f 5π 12 ＝ 3 2 2 ， ∴Asin 5π 12 ＋ π 3 ＝ 3 2 2 ⇒Asin3π 4 ＝ 3 2 2 ⇒A＝3. (2)由(1)知 f(x)＝3sin x＋π 3 ， ∵f(θ)－f(－θ)＝ 3， ∴3sin θ＋π 3 －3sin －θ＋π 3 ＝ 3， 展开得 31 2 sin θ＋ 3 2 cos θ－3 3 2 cos θ－1 2 sin θ＝ 3，化简得 sin θ＝ 3 3 . ∵θ∈0，π 2 ，∴cos θ＝ 6 3 . ∴fπ 6 －θ＝3sin π 6 －θ＋π 3 ＝3sinπ 2 －θ＝3cos θ＝ 6. 19．(本小题满分 12分)(北京高考)函数 f(x)＝3sin 2x＋π 6 的部分图象如图所示． (1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0，y0的值； (2)求 f(x)在区间 － π 2 ，－ π 12 上的最大值和最小值． 解：(1)f(x)的最小正周期为 2π ω ＝ 2π 2 ＝π，x0＝7π 6 ，y0＝3. (2)因为 x∈ － π 2 ，－ π 12 ，所以 2x＋π 6 ∈ － 5π 6 ，0 . 于是，当 2x＋π 6 ＝0，即 x＝－ π 12 时，f(x)取得最大值 0； 当 2x＋π 6 ＝－ π 2 ，即 x＝－ π 3 时，f(x)取得最小值－3. 20．(本小题满分 12分)已知某海滨浴场海浪的高度 y(m)是时间 t(0≤t≤24)的函数，下表 是某日各时的浪高数据： t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(m) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 (1)根据以上数据，选用一个函数来近似描述 y与 t的函数关系； (2)依据规定，当海浪高度高于 1 m时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天 内的上午 8：00时至晚上 20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 解：(1)以时间为横坐标，高度为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图．根据散点图，可 考虑用函数 y＝Acos ωt＋b刻画 y与 t的函数关系． 由表中数据，知周期 T＝12. ∴ω＝2π T ＝ 2π 12 ＝ π 6 . 由 t＝0，y＝1.5，得 A＋b＝1.5， 由 t＝3，y＝1.0，得 b＝1.0， ∴A＝0.5，b＝1， ∴振幅为 1 2 ，∴y＝1 2 cosπ 6 t＋1. (2)由题知，当 y＞1时才可对冲浪者开放， ∴ 1 2 cosπ 6 t＋1＞1， ∴cosπ 6 t＞0. ∴2kπ－π 2 ＜ π 6 t＜2kπ＋π 2 . 即 12k－3＜t＜12k＋3， ∵0≤t≤24， ∴k可取 0,1,2， 得 0≤t＜3或 9＜t＜15或 21＜t≤24. ∴在规定时间上午 8：00至晚上 20：00之间，有 6 h时间可供冲浪者运动： 上午 9：00 至 15：00. 21．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝Asin(π 3 x＋φ)，x∈R，A ＞0，0＜φ＜π 2 .y＝f(x)的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最 高点和最低点，点 P的坐标为(1，A)． (1)求 f(x)的最小正周期及φ的值； (2)若点 R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝2π 3 ，求 A的值． 解：(1)由题意得，T＝ 2π π 3 ＝6. 因为 P(1，A)在 y＝Asin(π 3 x＋φ)的图象上， 所以 sin(π 3 ＋φ)＝1. 又因为 0＜φ＜π 2 ，所以φ＝π 6 . (2)设点 Q的坐标为(x0，－A)， 由题意可知 π 3 x0＋ π 6 ＝ 3π 2 ，得 x0＝4， 所以 Q(4，－A)． 则RP  ＝(0，A)， RQ  ＝(3，－A)， ∴cos∠PRQ＝ RP  ·Q | || | ＝ －A2 A· 9＋A2 ＝－ 1 2 ， 解得 A2＝3.又 A>0，所以 A＝ 3. 22．(本小题满分 12分)如图，函数 y＝2sin(πx＋φ)，x∈R(其中 0≤φ≤π 2 ) 的图象与 y轴交于点(0,1)． (1)求φ的值； (2)求函数 y＝sin(πx＋φ)的单调递增区间； (3)求使 y≥1的 x的集合． 解：(1)因为函数图象过点(0,1)， 所以 2sin φ＝1，即 sin φ＝1 2 . 因为 0≤φ≤π 2 ，所以φ＝π 6 . (2)由(1)得 y＝2sin(πx＋π 6 )， ∴当－ π 2 ＋2kπ≤πx＋π 6 ≤ π 2 ＋2kπ，k∈Z， 即－ 2 3 ＋2k≤x≤1 3 ＋2k，k∈Z时，y＝sin(πx＋π 6 )是增函数． 则 y＝2sin(πx＋π 6 )的单调递增区间为[－2 3 ＋2k，1 3 ＋2k]，k∈Z. (3)由 y≥1，得 sin(πx＋π 6 )≥1 2 ， ∴ π 6 ＋2kπ≤πx＋π 6 ≤ 5π 6 ＋2kπ，k∈Z， 得 2k≤x≤2 3 ＋2k，k∈Z， ∴y≥1时，x的集合为{x|2k≤x≤2 3 ＋2k，k∈Z}．