高二数学人教a版选修4-5学业分层测评3word版含答案 6页

学业分层测评（三） (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．已知正数 x，y，z，且 x＋y＋z＝6，则 lg x＋lg y＋lg z 的取值范围是( ) A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2] C．[lg 6，＋∞) D.[3lg 2，＋∞) 【解析】 ∵6＝x＋y＋z≥33 xyz， ∴xyz≤8. ∴lg x＋lg y＋lg z ＝lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2. 【答案】 B 2．已知 x∈R＋，有不等式：x＋1 x ≥2 x·1 x ＝2，x＋4 x2 ＝x 2 ＋x 2 ＋4 x2 ≥3 3 x 2·x 2·4 x2 ＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋a xn ≥n＋1(n∈N＋)，则 a 的值为( ) A．nn B．2n C．n2 D．2n＋1 【解析】 x＋ a xn ＝ ＋ a xn ，要使和式的积为定值，则必须 nn＝a，故选 A. 【答案】 A 3．设 00，b>0，c>0，且 a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤ 1 27 ； ② 1 abc ≥27；③a2＋b2＋c2≥1 3. 其中正确的不等式序号是________． 【解析】 ∵a，b，c∈(0，＋∞)， ∴1＝a＋b＋c≥33 abc， 00，1 x ＋1 y ＋1 z ≥ 3 3 xyz >0， 所以(x＋y＋z) 1 x ＋1 y ＋1 z ≥9，即1 x ＋1 y ＋1 z ≥3， 当且仅当 x＝y＝z＝1 时，1 x ＝1 y ＝1 z 取最小值 3. (2)证明：x2＋y2＋z2＝ x2＋y2＋z2＋x2＋y2＋y2＋z2＋z2＋x2 3 ≥x2＋y2＋z2＋2xy＋yz＋zx 3 ＝x＋y＋z2 3 ＝3. 又 x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)<0， 所以 3≤x2＋y2＋z2<9. [能力提升] 1．已知圆柱的轴截面周长为 6，体积为 V，则下列总成立的是( ) A．V≥π B．V≤π C．V≥1 8π D．V≤1 8π 【解析】 设圆柱半径为 r，则圆柱的高 h＝6－4r 2 ，所以圆柱的体积为 V＝ πr2·h＝πr2·6－4r 2 ＝πr2(3－2r)≤π r＋r＋3－2r 3 3 ＝π. 当且仅当 r＝3－2r，即 r＝1 时取等号． 【答案】 B 2．若实数 x，y 满足 xy＞0，且 x2y＝2，则 xy＋x2 的最小值是( ) 【导学号：32750017】 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 xy＋x2＝1 2xy＋1 2xy＋x2≥ 3 3 1 2xy·1 2xy·x2＝3 3 1 4 x2y2＝3 3 4 4 ＝3. 【答案】 C 3．已知关于 x 的不等式 2x＋ 1 x－a2 ≥7 在 x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数 a 的最小值为________． 【解析】 ∵2x＋ 1 x－a2 ＝(x－a)＋(x－a)＋ 1 x－a2 ＋2a.又∵x－a＞0， ∴2x＋ 1 x－a2 ≥3 3 x－ax－a 1 x－a2 ＋2a ＝3＋2a， 当且仅当 x－a＝ 1 x－a2 ，即 x＝a＋1 时，取等号． ∴2x＋ 1 x－a2 的最小值为 3＋2a. 由题意可得 3＋2a≥7，得 a≥2. 【答案】 2 4．如图 113(1)所示，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等 的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图 113(2)所示， 求这个正六棱柱容器容积的最大值． 图 113 【解】 设正六棱柱容器底面边长为 x(0＜x＜1)，高为 h， 由图可有 2h＋ 3x＝ 3， ∴h＝ 3 2 (1－x)， V＝S 底·h＝6× 3 4 x2·h＝3 3 2 x2· 3 2 ·(1－x) ＝9×x 2 ×x 2 ×(1－x)≤9× x 2 ＋x 2 ＋1－x 3 3＝1 3. 当且仅当x 2 ＝1－x，即 x＝2 3 时，等号成立． 所以当底面边长为2 3 时，正六棱柱容器容积最大值为1 3.