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- 2021-06-10 发布
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课时分层作业(十五) 平面的基本事实与推论
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.给出下列说法:
①梯形的四个顶点共面;
②三条平行直线共面;
③有三个公共点的两个平面重合;
④三条直线两两相交,可以确定3个平面.
其中正确的序号是( )
A.① B.①④ C.②③ D.③④
A [因为梯形有两边平行,所以梯形确定一个平面,所以①是正确的;三条平行直线不一定共面,如直三棱柱的三条平行的棱,所以②不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合,如两个平面相交,三个公共点都在交线上,所以③不正确;三条直线两两相交,可以确定的平面个数是1或3,所以④不正确.]
2.下图中正确表示两个相交平面的是( )
A B C D
D [A中没有画出相交平面的交线,且不可见的线没有画成虚线;B中不可见的线没有画成虚线;C中虚、实线没按画图规则画;D中交线及实、虚线均正确.故选D.]
3.若一直线a在平面α内,则正确的作图是( )
A [a⊂α用图示表示应为A,B选项画法错误,C选项a∥α,D选项a与α相交.]
4.如果两个不重合平面有一个公共点,那么这两个平面( )
A.没有其他公共点 B.仅有这一个公共点
C.仅有两个公共点 D.有无数个公共点
D [由基本事实3可知,两个不重合平面有一个公共点,它们有且只有一条过该公共点的公共直线,则有无数个公共点.]
5.如图,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C∉l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过( )
A.点A B.点B
C.点C,但不过点D D.点C和点D
D [根据基本事实3判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内,故在β与γ的交线上.故选D.]
二、填空题
6.设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M,则M________l.
∈ [因为a∩b=M,a⊂α,b⊂β,所以M∈α,M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.]
7.(1)空间任意4点,没有任何3点共线,它们最多可以确定________个平面.
(2)空间5点,其中有4点共面,它们没有任何3点共线,这5个点最多可以确定________个平面.
(1)4 (2)7 [(1)可以想象三棱锥的4个顶点,它们总共确定4个平面;
(2)可以想象四棱锥的5个顶点,它们总共确定7个平面.]
8.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,试根据图形填空:
(1)平面AB1∩平面A1C1=________;
(2)平面A1C1CA∩平面AC=________;
(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=________;
(4)平面A1C1,平面B1C,平面AB1的公共点为________.
[答案] (1)A1B1 (2)AC (3)OO1 (4)B1
三、解答题
9.求证:三棱台A1B1C1ABC三条侧棱延长后相交于一点.
[证明] 延长AA1,BB1,
设AA1∩BB1=P,
又BB1⊂平面BC1,
∴P∈平面BC1,
AA1⊂平面AC1,
∴P∈平面AC1,
∴P为平面BC1和平面AC1的公共点,
又∵平面BC1∩平面AC1=CC1,
∴P∈CC1,
即AA1,BB1,CC1延长后交于一点P.
10.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是CC1和AA1的中点,画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由.
[解] 如图,在平面AA1D1D内,延长D1F,∵D1F与DA不平行,因此D
1F与DA必相交于一点,设为P,则P∈FD1,P∈AD.
又∵D1F⊂平面BED1F,
DA⊂平面ABCD,
∴P∈平面BED1F,P∈平面ABCD.
∴P∈(平面BED1F∩平面ABCD),
即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点,
∴连接PB,PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线.
11.(多选题)已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理正确的是( )
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN
C.A∈α,A∈β⇒α∩β=A
D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合
ABD [选项C中,α与β有公共点A,则它们有过点A的一条交线,而不是点A,故C错;A、B、D均正确.]
12.下列各图均是正六棱柱,P,Q,R,S分别是其所在棱的中点,则这四个点不共面的图形是( )
A B C D
D [在选项A,B,C中,由棱柱、正六边形、中位线的性质,知均有PS∥QR.即在此三个图形中P,Q,R,S共面,故选D.]
13.如图所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,
BC,CD,DA上.
(1)如果EH∩FG=P,那么点P在直线________上.
(2)如果EF∩GH=Q,那么点Q在直线________上.
(1)BD (2)AC [(1)若EH∩FG=P,
那么点P∈平面ABD,P∈平面BCD,
而平面ABD∩平面BCD=BD,
所以P∈BD.
(2)若EF∩GH=Q,则点Q∈平面ABC,Q∈平面ACD,而平面ABC∩平面ACD=AC,所以Q∈AC.]
14.以下说法中,正确说法的序号是________.
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;
③首尾依次相接的四条线段必共面.
① [①正确,若四点中有三点共线,则可以推出四点共面,这与四点不共面矛盾;②不正确,共面不具有传递性;③不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面内.]
15.正方体是常见的并且重要的多面体,对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别是所在棱的中点,请思考并回答下列问题:
(1)直线EF,GH,DC能交于一点吗?
(2)若E,F,G,H四点共面,怎样才能画出过四点E,F,G,H的平面与正方体的截面?
(3)若正方体的棱长为a,那么(2)中的截面面积是多少?
[解] (1)直线EF,GH,DC能交于一点.理由如下:如图(1),因为E,F分别为棱AB,BC的中点,易得E,F∈平面ABCD,且EF与CD相交,设交点为P.由△EBF≌△PCF,可得PC=BE=AB.同理,GH与CD相交,设交点为P1,同样可得P1C=C1G=C1D1=AB.
图(1)
所以点P1与点P重合.因此直线EF,GH,DC能交于一点.
(2)如图(2),延长HG交DD1的延长线于点R,延长FE交DA的延长线于点Q,则点R,Q是截面所在平面与平面ADD1A1的 公共点,连接RQ,与A1D1,A1A分别交于点M,T,连接GM,TE,FH,可得截面所在平面与正方体各面的交线分别为EF,FH,HG,GM,MT,TE.截面如图中的阴影部分所示.
图(2)
(3)截面为正六边形,其面积为6××=a2.
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