【数学】2020届一轮复习北师大版三角数列概率统计立体几何A组作业 3页

‎1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos=,·=3.‎ ‎(1)求△ABC的面积.‎ ‎(2)若c=1,求a的值.‎ ‎【解析】(1)cos A=2cos2-1=2×-1=,又A∈(0,π),sin A==,而·=||·||·cos A=bc=3,所以bc=5,‎ 所以△ABC的面积为:bcsin A=×5×=2.‎ ‎(2)由(1)知bc=5,而c=1,所以b=5,‎ 所以a===2.‎ ‎2.已知{an}是等差数列,{bn}是各项均为正数的等比数列,且b1=a1=1,b3=a4, b1+b2+b3=a3+a4.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式.‎ ‎(2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【解析】(1)设数列{an}的公差为d,{bn}的公比为q,依题意得解得d=1,q=2,‎ 所以an=1+(n-1)=n,bn=1×2n-1=2n-1.‎ ‎(2)由(1)知cn=anbn=n·2n-1,则 Tn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1　①‎ ‎2Tn=1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1+n·2n　②‎ ‎①-②得:-Tn=1·20+1·21+1·22+…+1·2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)·2n-1.‎ 所以Tn=(n-1)·2n+1.‎ ‎3.天然气是较为安全的燃气之一,它不含一氧化碳,也比空气轻,一旦泄露,立即会向上扩散,不易积累形成爆炸性气体,安全性较高,其优点有:①绿色环保;‎ ‎②经济实惠;③安全可靠;④改善生活. 某市政府为了节约居民天然气,计划在本市试行居民天然气定额管理,即确定一个居民年用气量的标准,为了确定一个较为合理的标准,必须先了解全市居民日常用气量的分布情况,现采用抽样调查的方式,获得了n位居民某年的用气量(单位:立方米),样本统计结果如图表.‎ 分组 频数 频率 ‎[0,10)‎ ‎25‎ ‎[10,20)‎ ‎0.19‎ ‎[20,30)‎ ‎50‎ ‎[30,40)‎ ‎0.23‎ ‎[40,50)‎ ‎0.18‎ ‎[50,60]‎ ‎5‎ ‎(1)分别求出n,a,b的值.‎ ‎(2)若从样本中年均用气量在[50,60](单位:立方米)的5位居民中任选2人作进一步的调查研究,求年均用气量最多的居民被选中的概率(5位居民的年均用气量均不相等).‎ ‎【解析】(1)用气量在[20,30)内的频数是50,频率是0.025×10=0.25,则n= =200.‎ 用气量在[0,10)内的频率是=0.125,则b==0.012 5.‎ 用气量在[50,60]内的频率是=0.025,则a==0.002 5.‎ ‎(2)设A,B,C,D,E代表用气量从多到少的5位居民,从中任选2位,总的基本事件为AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10个;包含A的有AB,AC,AD,AE共4个,所以P==.‎ ‎4. 如图(1),五边形ABCDE中,ED=EA,AB∥CD,CD=2AB,∠EDC=150°.如图(2),将△EAD沿AD折到△PAD的位置,得到四棱锥P-ABCD.点M为线段PC的中点,且BM⊥平面PCD.‎ ‎(1)求证:平面PAD⊥平面PCD.‎ ‎(2)若直线PC与AB所成角的正切值为,设AB=1,求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎【解析】(1)取PD的中点N,连接AN,MN,‎ 则MN∥CD,MN=CD,‎ 又因为AB∥CD,AB=CD,‎ 所以MN∥AB,MN=AB,‎ 则四边形ABMN为平行四边形,所以AN∥BM,‎ 又BM⊥平面PCD,‎ 所以AN⊥平面PCD,‎ 又因为AN⊂平面PAD,‎ 所以平面PAD⊥平面PCD.‎ ‎(2)取AD的中点O,连接PO,‎ 因为AN⊥平面PCD,‎ 所以AN⊥PD,AN⊥CD.‎ 由ED=EA即PD=PA及N为PD的中点,可得△PAD为等边三角形,‎ 所以∠PDA=60°,PO⊥AD,‎ 又∠EDC=150°,所以∠CDA=90°,所以CD⊥AD,‎ 所以CD⊥平面PAD,CD⊂平面ABCD,‎ 所以平面PAD⊥平面ABCD.‎ 所以AD=平面PAD∩平面ABCD,‎ PO⊂平面PAD,PO⊥AD,‎ 所以PO⊥平面ABCD,‎ 所以PO是四棱锥P-ABCD的高.‎ 因为AB∥CD,所以∠PCD为直线PC与AB所成的角,‎ 由(1)可得∠PDC=90°,所以tan∠PCD==,‎ 所以CD=2PD,‎ 由AB=1,可知CD=2,PA=AD=AB=1,‎ 则VP-ABCD=PO·S四边形ABCD=.‎