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- 2021-06-10 发布
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- 1 -
2020 年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量监测
文科数学试题
本试卷 4 页.考试时间 120 分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上,将条形码横贴在答题卡
右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;
如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试题卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题.
1. 已知集合 { 1}A x x ∣ , { 2}B x x ∣ ,则 A B ( )
A. B. { 2∣ x x 或 1}x C. R D.
{ 2 1}x x ∣
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合并集的概念求解.
【详解】因为 { 1}A x x ∣ , { 2}B x x ∣ ,如图所示:
则 A B { 2∣ x x 或 1}x .
故选:B
【点睛】本题考查集合并集的运算,属于简单题,借助数轴求解即可.
2. 已知复数 z 满足 2(2 )z i (i 是虚数单位),则 z 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
- 2 -
【答案】D
【解析】
【分析】
求出复数 z ,再根据复数的几何意义,即可得答案;
【详解】 2) 4(2 3 iz i ,
z 在复平面内对应的点位于第四象限,
故选:D.
【点睛】本题考查复数的四则运算及复数的几何意义,考查运算求解能力,属于基础题.
3. 命题 p : 0, 2x
, sinx x ,则命题 p 是( )
A. 0, 2x
, sinx x B. 0, 2x
, sinx x
C. 0 0, 2x
, 0 0sinx x D. 0 0, 2x
, 0 0sinx x
【答案】C
【解析】
【分析】
原命题是全称命题,其否定为存在性量词命题,故按规则可写出原命题的否定.
【详解】因为 p : 0, 2x
, sinx x ,故 p : 0 0, 2x
, 0 0sinx x .
故选:C.
【点睛】全称命题的一般形式是: x M , p x ,其否定为 ,x M p x .存在性量词命
题的一般形式是 x M , p x ,其否定为 ,x M p x .
4. 2 名男同学和 1 名女同学随机排成一行照相,则 2 名男同学不相邻的概率为( )
A. 1
6
B. 1
3
C. 2
3
D. 5
6
【答案】B
【解析】
【分析】
- 3 -
算出 3 名同学排成一排的排法,再计算 2 名男同学不相邻的排法,根据古典概型的概率计算
公式可得所求的概率.
【详解】设 2 名男同学为 ,A B ,一名女同学为 a ,
3 名同学排成一排,共有 6种排法,排法如下:
, , , , , , , , , , ,A B a A a B B A a B a A , , , , , ,a B A a A B ,
其中 2 名男同学不相邻的排法有: , , , , ,A a B B a A ,
故所求的概率为 2 1
6 3
,
故选:B.
【点睛】本题考查古典概型的概率的计算,关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的
个数的计算,计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数(个数较少时),也可以利用排列组合
的方法来计数(个数较大时).
5. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. 8 6
B. 8 3
C. 4 6
D. 4 3
【答案】A
【解析】
【分析】
- 4 -
根据三视图可知该几何体的直观图为一个正方体切掉 1
8
个球,然后按照公式计算即可.
【详解】根据三视图可知该几何体的直观图为一个正方体切掉 1
8
个球
正方体体积为 2 2 2=8 , 1
8
个球的体积为 31 4 1 =8 3 6
所以该几何体的体积为8 6
故选:A
【点睛】本题考查三视图的还原以及几何体的体积,考查空间想象能力,属基础题.
6. 德国著名天文学家开普勒说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另个是黄金分割.
如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”现将底与腰之比或腰与
底之比为 5 1
2
的等腰三角形称为黄金三角形,它是一个顶角为 36°或 108°的等腰三角形
如图, ABC , BCD , ADE 都是黄金三角形,若 2AB ,则 DE 的大小为( )
- 5 -
A. 5 1 B. 5 1
2
C. 2 D. 5 1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得 5 1
2
BC BC BD
AB DC DC
,可知 AD 然后根据 5 1
2
DE
AD
,计算即可.
【详解】由题可知: 5 1
2
BC BC BD
AB DC DC
,又 2AB
所以 2, 5 1 DC BD ,则 5 1 AD
又 5 1
2
DE
AD
,所以 2DE
故选:C
【点睛】本题考查新定义的理解,审清题意,细心计算属基础题.
7. 将函数 ( ) 2sin 6f x x
的图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再将
所得图象向左平移
3
个单位长度,得到函数 ( )y g x 的图象,则( )
A. 1( ) 2sin 2g x x B. 1( ) 2sin 2 3g x x
C. ( ) 2sin 2 6g x x
D. 5( ) 2sin 2 6g x x
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出将函数 ( ) 2sin 6f x x
的图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),
得到的函数的解析式,再求将所得图象向左平移
3
个单位长度得到的函数 ( )y g x 的解析式.
【详解】将函数 ( ) 2sin 6f x x
的图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),
- 6 -
得 到 12sin 2 6y x
, 再 将 所 得 图 象 向 左 平 移
3
个 单 位 长 度 , 得 到 函 数
1 1( ) 2sin[ ( ) ] 2sin( )2 3 6 2 3y g x x x 的图象.
故选:B.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象的变换,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8. 在 ABC 中, D 为 BC 上一点,且 2BD D C , AE ED ,若 EB xAB yAC ,则
( )
A. 1
3x , 2
3y B. 5
6x , 1
3y
C. 5
6x , 1
3y D. 2
3x , 1
3y
【答案】C
【解析】
【分析】
利用 1
2
EB BA BD ,进一步用 ,AB AC
表示 BD
,然后简单计算判断即可.
【详解】由题可知: 2BD D C , AE ED ,
则 D 为在 BC 上靠近点C 的三等分点, E 为 AD 的中点
所以 1
2
EB BA BD ,又 2 2
3 3BD BC AC AB
所以 1 5 1
2 6 3
EB BA BD AB AC
所以 5
6x , 1
3y
故选:C
【点睛】本题考查向量的基地表示,运用三角形法则以及平行四边形法则,熟练向量的加法
法则、减法法则,属基础题.
9. 已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2 ,直线 1AC 平面 ,平面 截此正方体所
得截面中,正确的说法是( )
A. 截面形状可能为四边形 B. 截面形状可能为五边形
C. 截面面积最大值为 2 3 D. 截面面积最大值为 3 3
2
- 7 -
【答案】D
【解析】
【分析】
利用图形,该截面与平面 1A BD 平行,利用排除法可把 A,B 排除,当截面为正六边形时有面积
最大,计算即可.
【详解】如图
在正方体中 1AC 平面 1A BD ,所以平面 与平面 1A BD 平行
平面 与正方体的截面可以是三角形、六边形但不会是五边形和四边形
当截面为正六边形 EFNMGH 时,截面面积有最大,
由题可知:
2
2 1sin 45
NM
,则 1 3 36 1 1 sin 602 2
EFNMGHS
故选:D
【点睛】本题考查空间几何体的截面,考查空间想象能力,属基础题.
10. 已知函数 ( 2)f x 是定义域为 R 的偶函数, ( )f x 在 (2, ) 上单调递减,则不等式
(ln ) (1) 0f x f 的解集是( )
A. (0,1) (3, ) B. (1,3) C. 3(0, ) ( , )e e D. 3( , )e e
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 ( 2)f x 是定义域为 R 的偶函数可得 f x 的图象关于直线 2x 对称,再根据 ( )f x 在
- 8 -
(2, ) 上单调递减可得 ln x 满足不等式,从而可得正确的选项.
【详解】因为 ( 2)f x 的图象是由 f x 的图象向左平移 2 个单位,
而 2f x 的图象关于 y 轴对称,故 f x 的图象关于直线 2x 对称.
由 ( )f x 在 (2, ) 上单调递减可得 ( )f x 在 ( ,2) 上单调递增,
故 (ln ) (1) 0f x f 即为 (ln ) (1)f x f ,
也就是 ln 2 2 1 1x ,所以 ln 1x 或 ln 3x ,
解得 0 x e 或 3x e ,
故选:C.
【点睛】本题考查函数不等式的解法,此类问题一般先根据函数单调性和图象的对称性去掉
对应法则,解对数不等式时注意真数为正,本题属于中档题.
11. 已知正项等比数列 na 中, 2 1a , 4
1
4a , nS 表示数列 1n na a 的前 n 项和,则 nS 的
取值范围是( )
A. 82, 3
B. 82, 3
C. 82, 3
D. 82, 3
【答案】A
【解析】
【分析】
先计算出数列 na 的通项公式,再计算 1n na a 的前 n 项和 nS ,并求 nS 的取值范围.
【详解】因为 2 1a , 4
1
4a ,且 0na ,
所以公比 2 1
4q , 1
2q ,则 1 2a ,
21
2
n
na
,
2 1 2 3
1
1 1 1
2 2 2
n n n
n na a
,
所以 1n na a 是以 2 为首项,公比为 1
4
的等比数列,
- 9 -
则 1n na a 的前 n 项和
12 1 8 14 11 3 41 4
n
n nS
当 1n 时, nS 有最小值 2 ,又 8 1 813 4 3n nS ,
所以 nS 的范围是 82, 3
.
故选:A.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前 n 项和,较简单,只需要根据等比数列中的基本公
式求解即可.
12. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
,过左焦点 ( 2,0)F 倾斜角
为
3
的直线交椭圆上半部分于点 A ,以 FA , FO 为邻边作平行四边形OFAB ,若点 B 在椭
圆上,则椭圆的标准方程为( )
A.
2
2 15
x y B.
2 2
1
4 3 3
x y
C.
2 2
16 2
x y D.
2 2
1
4 2 3 2 3
x y
【答案】D
【解析】
【分析】
分别设出 A , B 的坐标,由题意可得 1 2y y , 2 1x x ,再由 A , B 在椭圆上,把 A , B 的
坐标代入椭圆方程,联立可得关于 a ,b 的方程,结合隐含条件即可求得 a ,b 的值.
【详解】依题意, 2c ,设 1(A x , 1)y , 2(B x , 2 )y ,
四边形OFAB 为平行四边形, 1 2y y ,
又
2 2
1 1
2 2 1x y
a b
,
2 2
2 2
2 2 1x y
a b
, 2 1x x ,
- 10 -
又 / /FA OB ,且直线 FA 的倾斜角为
3
, 1 2
1 2
32
y y
x x
.
1 2y y , 2 1x x , 1 1x , 2 1x , 1 2 3y y .
得 ( 1, 3)A ,将 A 的坐标代入椭圆方程,可得 2 2
1 3 1a b
,①
又 2 2 4a b ,②
联立①②解得: 2 4 2 3a , 2 2 3b .
故椭圆方程为:
2 2
1
4 2 3 2 3
x y
故选:D
【点睛】本题考查椭圆方程的求解,考查分析能力以及计算能力,属中档题.
二、填空题
13. 等差数列 na 中,公差 3d , 13na , 35nS ,则 n ________.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式和前 n 项和公式,化简可得 352
2 1n
n
a nS d n ,由此即可
求出结果.
【详解】由题意可知, 1 =352
n
n
a a nS
,
又 1 1na a n d ,所以 1 1na a n d
所以 352
1 2 1
2
nn
n
na n d aa dn nS n
所以 1 513
2
3 32 n n ,化简可得 23 29 70 0n n ,
所以 5n .
故答案为:5.
- 11 -
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式的应用,属于基础题.
14. 已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的一条渐近线与直线 3 4 1 0x y 垂直,则该双曲线
的离心率为________.
【答案】 5
3
【解析】
【分析】
先求出渐近线的方程,再根据渐近线与已知直线垂直可求 ,a b 的关系,从而可求离心率.
【详解】双曲线的渐近线方程为 0bx ay ,因为其中一条与直线3 4 1 0x y 垂直,
故3 4 0b a ,即 2 2 29 16c a a ,
故 5
3
c
a
即 5
3e .
【点睛】本题考查双曲线的离心率的计算,此类问题只要找到 , ,a b c 一组关系式即可,本题属
于容易题.
15. 口罩是一种重要的医疗物资,为确保口罩供应,某工厂口罩生产线高速运转.设该工厂连
续 6 天生产的口罩数量依次为 1x , 2x , 3x , 4x , 5x , 6x ,(单位:万只)若 1x , 2x , 3x , 4x ,
5x , 6x ,的方差为 1,且 2
1x , 2
2x , 2
3x , 2
4x , 2
5x , 2
6x 的平均数为 5,则该工厂这 6 天平均
每天生产口罩________万只.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据 22 2 2 2
1 2
1
nS x x x xn
可求平均每天生产口罩只数.
【详解】设方差为 2S ,则 22 2 2 2
1 2 6
1
6S x x x x ,其中 x 为 6 天平均每天生产口罩
只数,
由题设有 2 2 2 2
1 2 6
11, 56S x x x ,
故 2
5 1 4x ,所以 2x ,
故答案为:2.
- 12 -
【点睛】本题考查样本方差和样本均值的关系,两者常见的关系为 22
1
1 n
i
i
S x xn
,该公
式可转化为 22 2
1
1 n
i
i
S x xn
,注意公式的合理使用.
16. 已知函数 f x x xsinx ,则 f x 在点 0, 0f 处的切线方程为________;若
g x f x x a 在 0, 上有唯一零点 0x ,则 0
01 2
acosx
cos x 的值为 ________.
【答案】 (1). y x (2). 1
2
【解析】
【分析】
(1)利用导数的几何意义和直线的点斜式方程求得切线方程;(2)当 π0, 2x
时,易得
0g x . 当 π π2x
, ,利用导数研究 g x 的单调性,结合零点存在定理得到存在唯
一的实数 π π2t
, ,使得 0g t ,且在 t2
, 上 0g x ,在 ,πt 上 0g x ,,
从而得到区间 0,t 内 g x 单调递减,在区间 ,t g x 内 单调递增,结合端点值分析,可得
g x f x x a 在 0, 上有唯一零点 0x t , 0 0g x ,且 0 0g x ,两式结合,
并利用二倍角的余弦公式化简即可求得 0
01 2
acosx
cos x 的值.
【详解】(1) 0 0, 1 , 0 1,f f x sinx xcosx f
所以 f x 在点 0, 0f 处的切线方程为 y x ;
(2) g x f x x a xsinx a , g x sinx xcosx ,
当 π0, 2x
时, 0g x ,
当 π π2x
, 时, '
2 0g x cosx cosx xsinx cosx xsinx ,
- 13 -
∴ g x 是单调递增函数,
又因为 π 12g
, g ,
所以存在唯一的实数 π π2t
, ,使得 0g t ,
且在
2 t
, 上 0g x ,在 ,πt 上 0g x ,
综上所述,在区间 0,t 内 0g x ,在区间 ,t 上 0g x ,
即区间 0,t 内 g x 单调递减,在区间 ,t g x 内 单调递增,
又∵ 0g g a ,
g x f x x a 在 0, 上有唯一零点 0x t ,
0 0g x ,且 0 0 0 0g x x sinx a ,
即 0 0 0 0sinx x cosx ,且 0 0a x sinx ,
所以 0 0 0 0
2
0 01 2 2
acosx x sinx cosx
cos x sin x
0 0 0 0 0
2 2
0 0
1
2 2 2
x cosx sinx sinx sinx
sin x sin x
,
故答案为: y x ; 1
2
.
【点睛】本题考查利用导数的几何意义研究函数的切线问题,利用导数研究函数的单调性,
进而研究零点问题,涉及到二倍角公式,难点是对于 g x 再利用导数进行研究,以及分段讨
论思想.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 7~21 题为必考题,每个试题考生
都必须做答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求做答.
(一)必考题:
17. 在 ABC 中,角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c , ABC 的面积为 S ,且
2 2 23
4S a b c .
- 14 -
(1)求角C ;
(2)若3 2a b ,求 sin A .
【答案】(1)
3C ;(2) 21sin 7A .
【解析】
【分析】
(1)由题得 2 2 23 1( ) sin4 2a b c ab C ,再利用余弦定理化简得 tan 3C ,即得解;
(2)设 =2 , 3 0)a t b t t ( ,先利用余弦定理求出 7c t ,再利用正弦定理求解.
【详解】(1)因为 2 2 23 1( ) sin4 2S a b c ab C ,
所以
2 2 23( ) 3 2 cossin 3cos2 2
a b c ab CC Cab ab
,
解得 tan 3C ,
又 (0, )C ,故
3C .
(2)设 =2 , 3 0)a t b t t (
则 2 2 2 cos 7c a b ab C t
所以 sin 2 3 21sin 2 77
a C tA c t
.
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,考查三角形面积公式的应用,意在考查
学生对这些知识的理解掌握水平.
18. 如图,四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是菱形, 60BAD ,PA 平面 ABCD ,E
为 AD 的中点.
(1)证明: BE 平面 PAD ;
- 15 -
(2)若 2PA AB ,求四棱锥 P ABCD 的侧面积.
【答案】(1)证明见解析;(2) 4 2 7 .
【解析】
【分析】
(1)连接 BD ,由题意可知 ABD△ 是正三角形,可证 BE AD ,由 PA 平面 ABCD ,
可证 BE PA ,由线面垂直的判定定理即可证明结果;
(2)连接 AC ,有勾股定理可证 PA AC ,在 PBC 中,由余弦定理得 cos PBC ,可得
sin PBC ,即可求出 PCBS ,再根据对称性知: PAD PABS S , PCD PCBS S ,所以四棱
锥 P ABCD 的侧面积为 2 2PAD PCBS S S V V ,即可求出结果.
【详解】(1)如图,连接 BD ,∵底面 ABCD 是菱形, 60BAD ,
∴ ABD△ 是正三角形.
∵ E 为 AD 的中点,∴ BE AD .①
又∵ PA 平面 ABCD , BE 平面 ABCD ,∴ BE PA ②
又∵ AD PA A ,③
由①②③知: BE 平面 PAD .
(2)连接 AC ,易得 2 3AC ,
在 Rt PAB 中, 2 2PB
∵ 2PA , 2 3AC , PA AC 4PC
在 PBC 中,由余弦定理得 2cos 4PBC ,∴ 14sin 4PBC
从而 1 1 14sin 2 2 2 72 2 4PCBS PB BC PBC
,
又∵ 1 1 2 2 22 2PADS PA AD ,
- 16 -
由对称性知: PAD PABS S , PCD PCBS S
四棱锥 P ABCD 的侧面积
2 2 4 2 7PAD PCBS S S .
【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用,以及锥体侧面积的求法,属于基础题.
19. 某科研单位研究人员对某种细菌的繁殖情况进行了研究,发现该细菌繁殖的个数 y (单
位:个)随时间 x (单位:天)的变化情况如表 l:
x 1 2 3 4 5 6
y
5 10 26 50 96 195
表 1
令 lnw y , w 与 y 对应关系如表 2:
y 5 10 26 50 96 195
w
1.61 2.30 3.26 3.91 4.56 5.27
表 2
根据表 1 绘制散点图如下:
(1)根据散点图判断, y bx a 与 dxy ce ,哪一个更适合作为细菌的繁殖数量 y 关于时
- 17 -
间 x 的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程(系数精确到 0.01);
(3)若要使细菌的繁殖数量不超过 4030 个,请根据(2)的结果预测细菌繁殖的天数不超过
多少天?
参考公式:对于一组数据 1 1,u v , 2 2,u v ,…, ,n nu v ,其回归直线 v u 的斜率和
截距的最小二乘估计分别为
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
u u v v
u u
, v u .
参考数据: 3.50x , 63.67y , 3.49w ,
6 2
1
1
17.50
i
x x
,
6 2
1
1
9.49
i
w w
,
6
1
12.87i i
i
w w x x
,
6
1
519.01i i
i
x x y y
,ln 4030 8.30 ,ln1640 7.40
【答案】(1) dxy ce 更适合;(2) 0.74 0.90xy e ;(3)细菌繁殖的天数不超过 10 天.
【解析】
【分析】
(1)根据散点图的形状可直接得到结果.
(2)利用还原法,将非线性的转化为线性的 lnw c dx ,然后根据线性回归系数计算公式
计算即可.
(3)根据(2)的结论,计算 0.74 0.90 4030xy e 即可.
【详解】(1)根据散点图判断, dxy ce 更适合作为细菌的繁殖数量 y 关于时间 x 的回归方程
类型
(2)设 lnw y ,
变换后可得 lnw c dx ,设 lnp c ,建立 w 关于 x 的回归方程
w p dx ,
6
1
6 2
1
12.87 0.7417.50
i i
i
i
i
w w x x
d
x x
,
3.49 0.74 3.50 0.90p w d x
所以 w 关于 x 的回归方程为 0.74 0.90w x ,
- 18 -
所以 0.74 0.90xy e
(3)当 0.74 0.90 4030xy e 时,即 0.74 0.90 ln 4030 8.30x
所以 0.74 8.30 0.90 7.4x ,所以 10x
故细菌繁殖的天数不超过 10 天
【点睛】本题考查非线性回归方程的应用,熟练使用等价转化的思想将非线性的转化为线性
的,考查计算能力,属中档题.
20. 已知动圆 M 过点(2,0),被 y 轴截得的弦长为 4.
(1)求圆心 M 的轨迹方程;
(2)若 ABC 的顶点在 M 的轨迹上,且 A ,C 关于 x 轴对称,直线 BC 经过点 (1,0)F ,
求证:直线 AB 恒过定点.
【答案】(1) 2 4y x ;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)设动圆圆心 ( , )M x y ,由题意可得: 2 2 2 22 ( 2)x x y ,整理即可得到轨迹方
程;
(2)设直线 BC 的方程: 1,x ty ,联立
2 4
1
x y
x ty
,得 2 4 4 0y ty ,列出韦达定
理,再设直线 AB 的方程: ( 0)y kx m k ,与抛物线联立,列出韦达定理,结合已知条
件能证明直线 AB 恒过点 10- , .
【详解】解:(1)设动圆圆心 ( , )M x y ,由题意可得: 2 2 2 22 ( 2)x x y ,整理
得: 2 4y x ,所以,动圆圆心的轨迹 E 的方程: 2 4y x
(2)由题意,直线 BC 经过点 1,0F ,设 1 1,B x y , 2 2,C x y 直线 BC 的方程: 1,x ty
与抛物线方程联立: 2
1
4
x ty
y x
得到: 2 4 4 0y ty ,显然 0,
由根与系数关系: 1 2 4y y t , 1 2 4y y
- 19 -
再设直线 AB 的方程: ( 0)y kx m k ,与抛物线联立: 2 4
y kx m
y x
得到:
2 4 4 0ky y m ,由对称性知: 2 2,A x y ,又 1 1,B x y 由根与系数关系: 1 2
4my y k
所以: 44= m
k
,即 m k ,直线 AB 的方程: 0y kx k k ,
直线 AB 恒过定点 10- , .
【点睛】本题考查圆心的轨迹方程的求法,考查直线过定点的证明,解题时要认真审题,注
意抛物线定义、直线方程、韦达定理的合理运用,属于中档题.
21. 函数 ( ) xf x e , ( ) 1 g x ax ,其中 a R , e 是自然对数的底数.
(1)若 a e ,求函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x 的最小值;
(2)若 0x 时, ( ) ( ) 1f x xg x 恒成立,求 a 的取值范围.
【答案】(1)1;(2) 1
2a .
【解析】
【分析】
(1)当 a e 时, ( ) ( ) ( )= 1xF x f x g x e ex ,对函数 ( )F x 求导,分析函数 ( )F x 的单
调性,可得 ( )F x 的最小值,
(2)令函数 2( ) ( )+ ( ) 1 1xh x f x xg x e ax x ( 0x ),对函数 h x 求导,分析其
导函数的正负,得出函数 h x 的单调性,可得出 a 的取值范围.
【详解】(1)当 a e 时, ( ) ( ) ( )= 1xF x f x g x e ex ,∴ ' ( ) xF x e e ,
①当 1x 时, ' ( ) 0F x , ( )F x 在 1, 上单调递减;
②当 1x 时, ' ( ) 0F x , ( )F x 在 1 +, 上单调递增.
∴ min( ) (1) 1F x F ;
(2)令 2( ) ( )+ ( ) 1 1xh x f x xg x e ax x ( 0x ),则 ' ( ) 2 1xh x e ax ,
∴ ' (0) 0h ,
令 '( ) ( ) 2 1xx h x e ax ,则 ' ( ) 2xx e a ,
- 20 -
①当 1
2a 时, ' ( ) 0x 恒成立,可得 ( )h x 在[0, ) 上单调递增,∴ ' '( ) (0)=0h x h ,
∴ ( ) (0)=0h x h 恒成立,∴ ( )+ ( ) 1f x xg x 恒成立.
②当 1
2a 时,当 [0,ln( 2 ))x a , ( ) 0x , ( )h x 在[0,ln( 2 ))a 上单减,
当 ln( 2 ) )x a [ , , ( ) 0x , ( )h x 在 ln( 2 ) )a [ , 上单增,
则当 [0,ln( 2 ))x a 时, ( ) (0) 0h x h ,
∴ 0 0x , 0(0, )x x 时, 0( ) (0) 0h x h .
∴ ( )+ ( ) 1f x xg x 不是恒成立的.
综上所述, a 的取值范围是 1
2a .
【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性和最值,构造新函数解决不等式恒成立问题,
属于较难题.
(二)选考题:
[选修 4-4:坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程为 2 cos 2 2 sin
2 2 2 cos sin
x
y
(其中
为参数).以原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程为
sin 4 a
.
(1)求曲线 1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程;
(2)若曲线 1C 上恰有三个点到曲线 2C 的距离为 1,求 a 的值.
【答案】(1) 2 2( 2) ( 2) 9x y , 2 0x y a ;(2) 2a .
【解析】
【分析】
(1)利用三角函数恒等变换,消参后得到曲线 1C 的普通方程,根据两角和的正弦公式展开,
再利用公式 cos x , sin y 转化为曲线 2C 的直角坐标方程;(2)由条件可知,圆心
到直线的距离等于 2,求参数 a 的值.
- 21 -
【详解】(1) 2 cos 2 2 sin
2 2 2 cos sin
x
y
(其中 为参数)
所以曲线 1C 的普通方程为: 2 2( 2) ( 2) 9x y ;
2 2sin cos2 2 a
,
即 2 2
2 2x y a ,整理为: 2 0x y a .
曲线 2C 的直角坐标方程为: 2 0x y a .
(2)由于圆 1C 的半径为 3,曲线 1C 上恰有三个点到曲线 2C 的距离为 1,圆心到直线
2 0x y a 的距离应为 2. 2
2
2
a
,得: 2a .
【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程,直角坐标方程的转化,以及直线与圆的位置关系,
重点考查转化与化归的能力,属于中档题型.
[选修 4-5:不等式选讲]
23. 已知 a ,b , c 为非负实数,函数 ( ) | 2 | | 2 |f x x a x b c .
(1)若 2a , 6b , 1c ,求不等式 ( ) 11f x 的解集;
(2)若函数 ( )f x 的最小值为 2,证明: 1 4 9 9a b b c a c
.
【答案】(1) 7{ | 2x x 或 3}2x ;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)当 2a , 6b , 1c 时,不等式化简得| 1| | 3| 5x x ,结果分类讨论用分段函
数表示即可;
(2)由绝对值三角不等式可得 ( ) | 2 | | 2 |f x x a x b c a b c a b c ,得到
2a b c ,接下来解法不唯一,可将原式先拼凑为
1 4 9 1 1 4 9= ( ) ( ) ( )4 a b b c a ca b b c a c a b b c a c
,借鉴柯西不等式
- 22 -
22 2 2 2 2 2a b c d e f ad be cf 进行放缩即可求解;也可直接在第一步的基础
上,借鉴基本不等式 2b a
a b
的形式进行化简,两两组合,再进一步放缩即可
【详解】(1)当 2a , 6b , 1c 时,不等式 ( ) 2 2 2 6 1 11f x x x ,
化简得:| 1| | 3| 5x x ,采用零点讨论法,设 ( ) 1 3g x x x ,
当 1x 时, 2 2g x x ;
当 3 1x 时, 4g x ;
当 1x 时, 2 2g x x ;
故
2 2( 1)
( ) 1 3 4( 3 1)
2 2( 1)
x x
g x x x x
x x
,
由 ( ) 5g x ,解得: 7
2x 或 3
2x ,
所以,不等式 ( ) 11f x 的解集为 7| 2x x
.或 3
2x
(2)因为 ( ) | 2 | | 2 | | |f x x a x b c a b c a b c ,
∵函数 ( )f x 的最小值为 2,∴ 2a b c .
证法一:根据柯西不等式可得:
1 4 9 1 1 4 9= ( ) ( ) ( )4 a b b c a ca b b c a c a b b c a c
21 1 2 3( )4 a b b c a c
a b b c a c
1= 36=94
当且仅当: 1 2 3= =a b b c a c
,即 2
3a , 0b , 4
3c 时等式成立.
综上, 1 4 9 9a b b c a c
证法二: 1 4 9 1 1 4 9= ( ) ( ) ( )4 a b b c a ca b b c a c a b b c a c
1 4( ) 9( ) 4( ) 9( )= 14+4
b c a b a c a b a c b c
a b b c a b a c b c a c
- 23 -
1 14+4+6+12 =94
( ) ,当且仅当 2
3a , 0b , 4
3c 等式成立.
综上, 1 4 9 9a b b c a c
【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式,绝对值三角不等式的应用,柯西不等式及基本
不等式的应用,其中柯西不等式的使用对于公式的理解和应用要求较高,基本不等式的使用
要注意几种常见形式,形如:
12 , , 2 , , 2 0b aa b ab a b R a a b R aba a b
,解题时还需注意检验等
号成立的条件
- 24 -
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