• 956.00 KB
  • 2021-06-10 发布

2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2

  • 39页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
2.2 基本不等式 第1课时 基本不等式 必备知识·自主学习 导思 1.基本不等式的应用条件是什么? 2.基本不等式有哪些基本用途? 1.重要不等式: 如果a,b∈R,那么__________(当且仅当a=b时,等号成立). 2.基本不等式 (1)公式: ①条件:a>0,b>0; ②结论: ; ③等号成立:当且仅当a=b时. (2)本质:基本不等式表明,两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平 均数 . a2+b2≥2ab 【思考】 (1)重要不等式与基本不等式成立的条件相同吗?基本不等式成立的条件能省略 吗? 提示:两个不等式成立的条件是不同的:前者要求a,b都是实数,而后者要求a ,b都是正数.基本不等式成立的条件“a>0,b>0”不能省略, 例如 是不成立的. (2)“当且仅当a=b时,等号成立”的含义是什么? 提示:一方面是当a=b时取等号,即a=b⇒ ;另一方面是仅当a=b时 取等号,即 ⇒a=b. 3.用基本不等式求最值的结论 已知x,y都是正数, (1)如果积xy等于定值P,那么当x=y= 时,和x+y有最___值为 (积定和最 小); (2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y= 时,积xy有最___值为 (和定积最大 ). (3)应用:求和式的最小值,乘积式的最大值. 小 大 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2 均成立. (  ) (2)若a≠0,则 =4. (  ) (3)若a>0,b>0,则ab≤ . (  ) 提示:(1)×.任意a,b∈R,有a2+b2≥2ab成立,当a,b都为正数时,不等式 a+b≥2 成立. (2)×.只有当a>0时,根据基本不等式,才有不等式 =4成立. (3)√.因为 ,所以ab≤ . 2.不等式(x-2y)+ ≥2成立的前提条件为 (  )                   A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y 【解析】选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正,所以x-2y>0,即x>2y. 3.(教材二次开发:例题改编)设x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最 大值为_______.  【解析】因为x,y都是正数,且x+y=40,所以xy≤ =400,当且仅当 x=y=20时取等号. 答案:400 关键能力·合作学习 类型一 利用基本不等式比较大小(逻辑推理) 【题组训练】 1.已知m=a-2+ (a>2),n=2-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是 (  )                   A.m>n B.m0且a≠1,又M= , 则M,N,P的大小关系是 _______.  【解析】1.选A.因为a>2,所以a-2>0. 又因为m=(a-2)+ ,所以m≥ =2,当且仅当a-2= ,即 a=3时取“=”. 由b≠0,得b2≠0,所以n=2-b2<2, 综上可知m>n. 2.选B.因为00且a≠1, 所以 ,所以 , 所以 ,所以 即P0,b>0,同时注意能否 取等号. 【补偿训练】 若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 (  ) A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 C. D. 【解析】选D.对于A项,当a=b时,应有a2+b2=2ab,所以A项错;对于B,C,条 件ab>0,只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B,C错误;对于D项,因为 ab>0,所以 所以 ,当且仅当a=b时取等号. 类型二 利用基本不等式求简单问题的最值(逻辑推理、数学运算) 【典例】1.当x>1时,(x-1)+ +2的最小值为_____.  2.若x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值是_____.  3.已知x<0,则3x+ 的最大值为_______.  【思路导引】1.利用基本不等式求“和的最小值”. 2.利用基本不等式求积的最大值. 3.当项为负数时,可以通过提取负号化为正数. 【解析】1.令t=(x-1)+ +2, 因为x-1>0,所以t≥ +2=8,当且仅当x-1= ,即x=4时,t的 最小值为8. 答案:8 2.由于x>0,y>0,则x+y≥2 ,所以xy≤ =81,当且仅当x=y=9时,xy 取到最大值81. 答案:81 3.因为x<0,所以-x>0. 则 当且仅当 =-3x,即x=-2时, 3x+ 取得最大值为-12. 答案:-12 【解题策略】 基本不等式的使用条件 (1)一正:a>0,b>0,即:所求最值的各项必须都是正值; (2)二定:ab或a+b为定值,即:含变量的各项的和或积必须是常数; (3)三相等:当且仅当a=b时取等号;即:等号能否取得. 在应用基本不等式求最值时,要逐一验证三个条件是否成立. 【跟踪训练】 1.式子 的最小值为 (  ) A.3 B.4 C.6 D.8 【解析】选B. =|x|+ ≥2 =4, 当且仅当x=±2时,等号成立. 2.已知m=x+ -2(x<0),则m有 (  ) A.最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为-4 D.最小值为-4 【解析】选C.因为x<0,所以m=- -2 ≤-2-2=-4,当且仅当-x= ,即x=-1时取等号. 类型三 拼凑法利用基本不等式求最值(逻辑推理、数学运算) 【典例】1.已知01时,不等式x+ ≥a恒成立,则实数a的最大值为_______.  【思路导引】通过凑项或凑系数的方法把“不定”问题进行转化,再用基本不 等式求解. 【解析】1.选B.因为00. 所以x(3-3x)=3x(1-x)≤ .当x=1-x,即x= 时取等号. 2.因为x< ,所以5-4x>0,令y=4x-2+ , 所以y=4x-2+ =- +3≤-2+3=1, 当且仅当5-4x= ,即x=1时,上式等号成立, 故当x=1时,ymax=1. 答案:1 3.因为x>1,所以x-1>0. 又x+ =x-1+ +1≥2+1=3,当且仅当x=2时等号成立,则a≤3,所以a的 最大值为3. 答案:3 【解题策略】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略  拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法 求解最值应注意以下几个方面的问题: (1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整, 做到等价变形. (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 【跟踪训练】1.若00,即x>1时,y= , 因为t+ =4(当且仅当t=2时取等号), 所以y= 即y的最大值为 (当t=2,即x=5时y取得最大值). 答案: 课堂检测·素养达标 1.已知ab=4,a>0,b>0,则a+b的最小值为 (  ) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】选C.因为a>0,b>0,所以a+b≥2 =4,当且仅当a=b=2时取等号, 故a+b的最小值为4. 2.若x2+y2=2,则xy的最大值是 (  ) A. B.1 C.2 D.4 【解析】选B.xy≤ =1,当且仅当x=y时取“=”. 3.设a>b>0,则下列不等式中一定成立的是 (  ) A.a-b<0 B.0< <1 C. D.ab>a+b 【解析】选C.因为a>b>0,由基本不等式知 一定成立. 4.若00, 故 = 当且仅当x= 时,上式等号成立. 所以0< ≤ . 答案:0< ≤ 5.(教材二次开发:练习改编)已知a,b是不相等的正数,x= , 则x,y的大小关系为_______.  【解析】因为a,b是不相等的正数, 所以 又x>0,y>0,所以x