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- 2021-06-10 发布
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2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
必备知识·自主学习
导思 1.基本不等式的应用条件是什么?
2.基本不等式有哪些基本用途?
1.重要不等式:
如果a,b∈R,那么__________(当且仅当a=b时,等号成立).
2.基本不等式
(1)公式:
①条件:a>0,b>0;
②结论: ;
③等号成立:当且仅当a=b时.
(2)本质:基本不等式表明,两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平
均数 .
a2+b2≥2ab
【思考】
(1)重要不等式与基本不等式成立的条件相同吗?基本不等式成立的条件能省略
吗?
提示:两个不等式成立的条件是不同的:前者要求a,b都是实数,而后者要求a
,b都是正数.基本不等式成立的条件“a>0,b>0”不能省略,
例如 是不成立的.
(2)“当且仅当a=b时,等号成立”的含义是什么?
提示:一方面是当a=b时取等号,即a=b⇒ ;另一方面是仅当a=b时
取等号,即 ⇒a=b.
3.用基本不等式求最值的结论
已知x,y都是正数,
(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y= 时,和x+y有最___值为 (积定和最
小);
(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y= 时,积xy有最___值为 (和定积最大
).
(3)应用:求和式的最小值,乘积式的最大值.
小
大
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2 均成立. ( )
(2)若a≠0,则 =4. ( )
(3)若a>0,b>0,则ab≤ . ( )
提示:(1)×.任意a,b∈R,有a2+b2≥2ab成立,当a,b都为正数时,不等式
a+b≥2 成立.
(2)×.只有当a>0时,根据基本不等式,才有不等式 =4成立.
(3)√.因为 ,所以ab≤ .
2.不等式(x-2y)+ ≥2成立的前提条件为 ( )
A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y
【解析】选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正,所以x-2y>0,即x>2y.
3.(教材二次开发:例题改编)设x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最
大值为_______.
【解析】因为x,y都是正数,且x+y=40,所以xy≤ =400,当且仅当
x=y=20时取等号.
答案:400
关键能力·合作学习
类型一 利用基本不等式比较大小(逻辑推理)
【题组训练】
1.已知m=a-2+ (a>2),n=2-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是 ( )
A.m>n B.m0且a≠1,又M= , 则M,N,P的大小关系是
_______.
【解析】1.选A.因为a>2,所以a-2>0.
又因为m=(a-2)+ ,所以m≥ =2,当且仅当a-2= ,即
a=3时取“=”.
由b≠0,得b2≠0,所以n=2-b2<2,
综上可知m>n.
2.选B.因为00且a≠1,
所以 ,所以 ,
所以 ,所以
即P0,b>0,同时注意能否
取等号.
【补偿训练】
若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 ( )
A.a2+b2>2ab B.a+b≥2
C. D.
【解析】选D.对于A项,当a=b时,应有a2+b2=2ab,所以A项错;对于B,C,条
件ab>0,只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B,C错误;对于D项,因为
ab>0,所以
所以 ,当且仅当a=b时取等号.
类型二 利用基本不等式求简单问题的最值(逻辑推理、数学运算)
【典例】1.当x>1时,(x-1)+ +2的最小值为_____.
2.若x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值是_____.
3.已知x<0,则3x+ 的最大值为_______.
【思路导引】1.利用基本不等式求“和的最小值”.
2.利用基本不等式求积的最大值.
3.当项为负数时,可以通过提取负号化为正数.
【解析】1.令t=(x-1)+ +2,
因为x-1>0,所以t≥ +2=8,当且仅当x-1= ,即x=4时,t的
最小值为8.
答案:8
2.由于x>0,y>0,则x+y≥2 ,所以xy≤ =81,当且仅当x=y=9时,xy
取到最大值81.
答案:81
3.因为x<0,所以-x>0.
则 当且仅当 =-3x,即x=-2时,
3x+ 取得最大值为-12.
答案:-12
【解题策略】
基本不等式的使用条件
(1)一正:a>0,b>0,即:所求最值的各项必须都是正值;
(2)二定:ab或a+b为定值,即:含变量的各项的和或积必须是常数;
(3)三相等:当且仅当a=b时取等号;即:等号能否取得.
在应用基本不等式求最值时,要逐一验证三个条件是否成立.
【跟踪训练】
1.式子 的最小值为 ( )
A.3 B.4 C.6 D.8
【解析】选B. =|x|+ ≥2 =4,
当且仅当x=±2时,等号成立.
2.已知m=x+ -2(x<0),则m有 ( )
A.最大值为0 B.最小值为0
C.最大值为-4 D.最小值为-4
【解析】选C.因为x<0,所以m=- -2
≤-2-2=-4,当且仅当-x= ,即x=-1时取等号.
类型三 拼凑法利用基本不等式求最值(逻辑推理、数学运算)
【典例】1.已知01时,不等式x+ ≥a恒成立,则实数a的最大值为_______.
【思路导引】通过凑项或凑系数的方法把“不定”问题进行转化,再用基本不
等式求解.
【解析】1.选B.因为00.
所以x(3-3x)=3x(1-x)≤ .当x=1-x,即x= 时取等号.
2.因为x< ,所以5-4x>0,令y=4x-2+ ,
所以y=4x-2+ =- +3≤-2+3=1,
当且仅当5-4x= ,即x=1时,上式等号成立,
故当x=1时,ymax=1.
答案:1
3.因为x>1,所以x-1>0.
又x+ =x-1+ +1≥2+1=3,当且仅当x=2时等号成立,则a≤3,所以a的
最大值为3.
答案:3
【解题策略】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法
求解最值应注意以下几个方面的问题:
(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,
做到等价变形.
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
【跟踪训练】1.若00,即x>1时,y= ,
因为t+ =4(当且仅当t=2时取等号),
所以y=
即y的最大值为 (当t=2,即x=5时y取得最大值).
答案:
课堂检测·素养达标
1.已知ab=4,a>0,b>0,则a+b的最小值为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】选C.因为a>0,b>0,所以a+b≥2 =4,当且仅当a=b=2时取等号,
故a+b的最小值为4.
2.若x2+y2=2,则xy的最大值是 ( )
A. B.1 C.2 D.4
【解析】选B.xy≤ =1,当且仅当x=y时取“=”.
3.设a>b>0,则下列不等式中一定成立的是 ( )
A.a-b<0 B.0< <1
C. D.ab>a+b
【解析】选C.因为a>b>0,由基本不等式知 一定成立.
4.若00,
故 =
当且仅当x= 时,上式等号成立.
所以0< ≤ .
答案:0< ≤
5.(教材二次开发:练习改编)已知a,b是不相等的正数,x= ,
则x,y的大小关系为_______.
【解析】因为a,b是不相等的正数,
所以
又x>0,y>0,所以x
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