2020_2021学年新教材高中数学第3章不等式3 9页

‎3.2.2　‎基本不等式的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．熟练掌握利用基本不等式求条件最值和多元最值．(重点)‎ ‎2．会利用基本不等式求参数的取值范围．(重点)‎ ‎3．会用基本不等式求解简单的实际应用题．(重点、难点)‎ ‎1．由基本不等式求最值，提升数学运算素养．‎ ‎2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．‎ 一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a、b的矩形牧场，现在已有材料能做成l km的栅栏，那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？‎ ‎1．利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路 ‎(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．‎ 常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．‎ ‎(2)条件变形，进行“‎1”‎的代换求目标函数最值．‎ ‎2．应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类)‎ ‎(1)合理选择自变量，建立函数关系；‎ ‎(2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)‎ ‎(3)解题注意点 ‎①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．‎ ‎②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．‎ ‎③在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解．‎ ‎1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)‎ - 9 -‎ A． B．4 ‎ C． D．5‎ C　[∵a＋b＝2，∴＝1．‎ ‎∴＋＝ ‎＝＋≥＋2＝ ‎(当且仅当＝，即b＝‎2a时，等号成立．)‎ 故y＝＋的最小值为．]‎ ‎2．若x>0，a>0 且a为正常数，且x＋的最小值为4，则a＝　　　　　　　　 ．‎ ‎4　[因为x>0，a>0所以x＋≥2＝2＝4，解得a＝4．]‎ ‎3．直角三角形ABC的斜边AB＝4，则△ABC的面积的最大值为　　　　　　　　．‎ ‎4　[设直角三角形ABC的另外两条直角边分别为a，b则a2＋b2＝42＝16，所以△ABC的面积S＝ab≤＝4当且仅当a＝b＝2时取等号．]‎ 利用基本不等式求条件最值或多元最值 ‎【例1】　(1)已知a＞0，b＞0,‎2a＋b＝1，则＋的最小值为(　　)‎ A．4　 B．‎6　　 ‎ C．8　　 D．9‎ ‎(2)设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是(　　)‎ A．1　　　　　B．‎2　　‎　 C．3　　 D．4‎ ‎(3)若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎(1)C　(2)D　(3)A　[(1)法一(“‎1”‎的代换)：因为 a＞0，b＞0,‎2a＋b＝1，‎ - 9 -‎ 所以＋＝(‎2a＋b)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，当且仅当b＝‎2a＝时取等号，故选C．‎ 法二 (消元法)：因为‎2a＋b＝1，所以b＝1－‎2a，又 a＞0，b＞0，所以 ‎ 所以＋＝＋＝＝＝≥＝8，‎ 当且仅当‎2a＝1－‎2a，即a＝，b＝时取等号． 故选C．‎ ‎(2)因为a>b>0，所以a－b>0，a2－ab>0，则a2＋＋＝(a2－ab)＋＋＋ab≥2 ＋2 ＝4，‎ 当且仅当a2－ab＝且＝ab，即a＝，b＝时取等号．故选D．‎ ‎(3)法一(消元法)：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0, 所以y＝． ‎ 由即解得0＜x＜1．‎ 所以x＋2y＝x＋＝＋≥2＝，‎ 当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．‎ 故x＋2y的最小值为． 故选A．‎ 法二(配凑法)：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0, ‎ 所以x(x＋6y)＝1，‎ 所以2x(x＋6y)＝2，因为x，y均为正数，所以3(x＋2y)＝2x＋(x＋6y)≥2＝2，‎ 当且仅当2x＝x＋6y＝，即x＝，y＝时取等号．‎ 故x＋2y的最小值为． 故选A．]‎ ‎1．基本不等式常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．‎ 常见形式有y＝ax＋(积定)型和y＝ax(b－ax)(和定)型．‎ ‎2．多元最值问题，可以通过消元，转化为一元最值问题来处理，注意消元 - 9 -‎ 后的变量的范围．‎ ‎3．两次同时应用或两次应用基本不等式求最值时，多个等号必须同时取到．‎ ‎1．已知00，‎ 则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×＝，‎ 当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．]‎ ‎2．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________．‎ ‎3　[由题意得y＝，‎ ‎∴2x＋y＝2x＋＝＝≥3，‎ 当且仅当x＝y＝1时，等号成立．]‎ ‎3．已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，求x＋2y的最小值．‎ ‎[解]　∵x＞0，y＞0，＋＝1，‎ ‎∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋ ‎≥10＋2＝18，‎ 当且仅当 即时，等号成立，‎ 故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18．‎ 利用基本不等式求参数取值范围 ‎【例2】　(1)已知函数y＝x＋＋2的值构成的集合为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(　　)‎ A． B． ‎ - 9 -‎ C．1 D．2‎ ‎(2)已知函数y＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，y≥3恒成立，则a的取值范围是　　　　　　　　．‎ ‎(1)C　 (2) 　[(1)由题意可得a＞0，‎ ‎①当x＞0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，‎ 当且仅当x＝时取等号；‎ ‎②当x＜0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，‎ 当且仅当x＝－时取等号，‎ 所以解得a＝1． 故选C．‎ ‎(2) 对任意x∈N*，y≥3，即≥3恒成立，‎ 即a≥－＋3．设z＝x＋，x∈N*，‎ 则z＝x＋≥4，当x＝2时等号成立，又x＝2时z＝6，又x＝3时z＝．‎ ‎∴a≥－，故a的取值范围是．]‎ 求解含参数不等式的求解策略 ‎(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．‎ ‎(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化.‎ ‎4．已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)‎ A．2 B．4 ‎ C．6 D．8‎ B　[对任意的正实数x，y，(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x，y，a＞0)，当且仅当y＝x时取等号，所以(x＋y)·的最小值为(＋1)2，于是(＋1)2≥9‎ - 9 -‎ 恒成立．所以a≥4，故选B．]‎ ‎5．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为__________．‎ ‎2　[依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2．又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值为2．]‎ 利用基本不等式解决实际问题 ‎【例3】　如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有‎36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？‎ ‎[解]　设每间虎笼长x m，宽y m，‎ 则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18．‎ 设每间虎笼面积为S，则S＝xy．‎ 法一：由于2x＋3y≥2＝2，‎ 所以2≤18，得xy≤，‎ 即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立．‎ 由 解得 故每间虎笼长为4．‎5 m，宽为‎3 m时，可使每间虎笼面积最大．‎ 法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y．‎ ‎∵x>0，∴00．∴S≤＝．‎ 当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4．5．‎ 故每间虎笼长为4．‎5 m，宽为‎3 m时，可使每间虎笼面积最大．‎ 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：‎ - 9 -‎ ‎(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；‎ ‎(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；‎ ‎(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；‎ ‎(4)正确写出答案．‎ ‎6．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)‎ ‎[解]　设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝．‎ ‎∴每平方米的平均综合费用 y＝560＋48x＋＝560＋48．‎ 当x＋取最小值时，y有最小值．‎ ‎∵x>0，∴x＋≥2＝30．‎ 当且仅当x＝，‎ 即x＝15时，上式等号成立．‎ ‎∴当x＝15时，y有最小值2 000元．‎ 因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．‎ ‎1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过1的代换、配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．‎ ‎2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到，若取不到，必须利用函数值随着自变量变化的规律性求函数的最值．‎ - 9 -‎ ‎1．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)‎ A． B．2 ‎ C．2 D．4‎ C　[因为＋＝，所以a＞0，b＞0，‎ 由＝＋≥2 ＝2 ，‎ 得ab≥2(当且仅当b＝‎2a时取等号)，‎ 所以ab的最小值为2．应选C．]‎ ‎2．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)‎ A．9 B．12 ‎ C．18 D．24‎ B　[因为a＞0，b＞0，由＋≥，‎ 得m≤(a＋3b)＝＋＋6．‎ 又＋＋6≥2＋6＝12，‎ 当且仅当＝，即a＝3b时等号成立，‎ ‎∴m≤12，∴m的最大值为12．应选B．]‎ ‎3．把长为‎12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(　　)‎ A． cm2 B．‎4 cm2‎ C．‎3 cm2 D．‎2 cm2‎ D　[设两段长分别为x cm，(12－x)cm，则S＝×＋×＝≥×＝2，当且仅当x＝12－x，即x＝6时取等号．故两个正三角形面积之和的最小值为‎2 cm2．]‎ ‎4．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：‎ ‎(1)xy的最小值；‎ ‎(2)x＋y的最小值．‎ ‎[解]　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，‎ - 9 -‎ 又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，‎ 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64．‎ ‎(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，‎ 则x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2 ＝18．‎ 当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，‎ 所以x＋y的最小值为18．‎ - 9 -‎