高中数学第二章数列2-4等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式达标检测含解析新人教A版必修5 6页

等比数列的概念与通项公式 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．下列数列为等比数列的是(　　)‎ A．0，0，0，0，…‎ B．22，42，62，82，…‎ C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…‎ D．，，，，…‎ 解析：A选项中，由于等比数列中的各项都不为0，所以该数列不是等比数列；B选项中，≠，所以该数列不是等比数列；C选项中，当q＝1时，数列为0，0，0，…，不是等比数列；D选项中的数列是首项为，公比为的等比数列，故选D.‎ 答案：D ‎2．(多选)已知等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝－2，则(　　)‎ A．数列{2an＋an＋1}是等比数列 B．数列{an＋1－an}是等比数列 C．数列{anan＋1}是等比数列 D．数列{log2|an|}是递减数列 解析：因为{an}是等比数列，所以an＋1＝－2an，2an＋an＋1＝0，故A项错．‎ an＝a1·qn－1＝(－1)n－1·2n－1，an＋1＝(－1)n·2n，于是an＋1－an＝‎ ‎(－1)n·2n－(－1)n－1·2n－1＝3(－2)n－1，故{an＋1－an}是等比数列，故B项正确．‎ anan＋1＝(－1)n－1·2n－1·(－1)n·2n＝(－2)2n－1，故C项正确．‎ log2|an|＝log22n－1＝n－1，是递增数列，故D项错．‎ 答案：BC ‎3．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，‎ 则an＝(　　)‎ A．4× B．4× C．4× D．4× - 6 -‎ 解析：由题意得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，‎ 故a1＝4，a2＝6，所以q＝，an＝4×.‎ 答案：B ‎4．在数列{an}中，对任意n∈N*，都有an＋1－2an＝0，则的值为(　　)‎ A. B. C. D.1‎ 解析：a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，a4＝8a1，‎ 所以＝＝.‎ 答案：A ‎5．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是(　　)‎ A．－5 B．－ C．5 D． 解析：因为log3an＋1＝log3an＋1，所以an＋1＝3an，‎ 又an≠0.‎ 所以数列{an}是以3为公比的等比数列．‎ 所以a2＋a4＋a6＝a2(1＋q2＋q4)＝9.‎ 所以a5＋a7＋a9＝a5(1＋q2＋q4)＝a2q3·(1＋q2＋q4)＝35.‎ 所以log35＝－5.‎ 答案：A 二、填空题 ‎6．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝4，则数列{lg an}的通项公式为____________．‎ 解析：因为a5＝a4q，所以q＝2，所以a1＝＝，‎ 所以an＝·2n－1＝2n－3，所以lg an＝(n－3)lg 2.‎ 答案：lg an＝(n－3)lg 2‎ ‎7．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．‎ 解析：因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，q2＝－1(舍去)，所以a6＝‎ - 6 -‎ a2q4＝1×22＝4.‎ 答案：4‎ ‎8．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值为________．‎ 解析：因为－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，‎ 则a2－a1＝d＝[(－4)－(－1)]＝－1，‎ 因为－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，‎ 所以b＝(－1)×(－4)＝4，‎ 所以b2＝±2.‎ 若设公比为q，则b2＝(－1)q2，‎ 所以b2＜0，所以b2＝－2，‎ 所以＝＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎9．在等比数列{an}中．‎ ‎(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；‎ ‎(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.‎ 解：(1)由等比数列的通项公式得，‎ a6＝3×(－2)6－1＝－96.‎ ‎(2)设等比数列的公比为q，‎ 那么 解得 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.‎ ‎10．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝.‎ ‎(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项．‎ ‎(2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．‎ ‎(1)证明：因为2an＝3an＋1，‎ 所以＝.‎ - 6 -‎ 又因为数列{an}的各项均为负数，‎ 所以a1≠0，‎ 所以数列{an}是以为公比的等比数列．‎ 所以an＝a1·qn－1＝a1·.‎ 所以a2＝a1·＝a1，‎ a5＝a1·＝a1，‎ 又因为a2·a5＝a1·a1＝，‎ 所以a＝.‎ 又因为a1<0，所以a1＝－.‎ 所以an＝×＝－(n∈N*)．‎ ‎(2)解：令an＝－＝－，‎ 则n－2＝4，n＝6∈N*，‎ 所以－是这个等比数列中的项，且是第6项．‎ B级　能力提升 ‎1．(多选)已知数列{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，则以下一定是等比数列的是(　　)‎ A．{2an} B．{a}‎ C．{an＋1·an} D．{an＋1＋an}‎ 解析：因为数列{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，则＝q，‎ 对于A项，＝2an＋1－an，因为an＋1－an不是常数，故A项错误．‎ 对于B项，＝＝q2，因为q2为常数，故B项正确．‎ 对于C项，＝·＝q2，因为q2为常数，故C项正确．‎ 对于D项，若an＋1＋an＝0，即q＝－1时，该数列不是等比数列，故D项错误．‎ 答案：BC ‎2．已知等比数列{an}为递增数列，a1＝－2，且3(an＋an＋2)＝‎ ‎10an＋1，则公比q＝________．‎ - 6 -‎ 解析：因为等比数列{an}为递增数列，且a1＝－2<0，‎ 所以0