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- 2021-06-10 发布
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模块综合测试卷
班级____ 姓名____ 考号____ 分数____
本试卷满分 150分,考试时间 120分钟.
一、选择题:本大题共 12题,每题 5分,共 60分.在下列各题的四个选项中,只有一
个选项是符合题目要求的.
1.-3290°角是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案:D
解析:-3290°=-360°×10+310°
∵310°是第四象限角
∴-3290°是第四象限角
2.在单位圆中,一条弦 AB的长度为 3,则该弦 AB所对的弧长 l为( )
A.2
3
π B.3
4
π
C.5
6
π D.π
答案:A
解析:设该弦 AB所对的圆心角为α,由已知 R=1,
∴sinα
2
=
AB
2
R
=
3
2
,∴
α
2
=
π
3
,∴α=2
3
π,∴l=αR=2
3
π.
3.下列函数中周期为
π
2
的偶函数是( )
A.y=sin4x
B.y=cos22x-sin22x
C.y=tan2x
D.y=cos2x
答案:B
解析:A中函数的周期 T=2π
4
=
π
2
,是奇函数.B可化为 y=cos4x,其周期为 T=2π
4
=
π
2
,
是偶函数.C中 T=π
2
,是奇函数,D中 T=2π
2
=π,是偶函数.故选 B.
4.已知向量 a,b 不共线,实数 x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)·b=6a+3b,则 x-y的
值为( )
A.3 B.-3
C.0 D.2
答案:A
解析:由原式可得
3x-4y=6,
2x-3y=3,
解得
x=6,
y=3.
∴x-y=3.
5.在四边形 ABCD中,AB→=a+2b,BC→=-4a-b,CD→=-5a-3b,则四边形 ABCD
是( )
A.长方形 B.平行四边形
C.菱形 D.梯形
答案:D
解析:AD→=AB→+BC→+CD→=-8a-2b=2BC→,
且|AD→ |≠|BC→ |
∴四边形 ABCD是梯形.
6.已知向量 a=(1,0),b=(cosθ,sinθ),θ∈
-
π
2
,
π
2 ,则|a+b|的取值范围是( )
A.[0, 2] B.[0,2]
C.[1,2] D.[ 2,2]
答案:D
解析:|a+b|2=a2+b2+2a·b=2+2cosθ,因为θ∈
-
π
2
,
π
2 ,所以 2+2cosθ∈[2,4],所
以|a+b|的取值范围是[ 2,2].
7.已知 cosα=-
4
5
,且α∈
π
2
,π
,则 tan
π
4
-α
=( )
A.-
1
7
B.7
C.1
7
D.-7
答案:B
解析:∵α∈
π
2
,π
,cosα=-
4
5
,∴sinα=3
5
,tanα=-
3
4
,
tan
π
4
-α
=
1-
-
3
4
1+
-
3
4
=7.
8.函数 f(x)=2sin |x-
π
2|的部分图象是( )
答案:C
解析:∵f(x)=2sin|x-
π
2|,
∴f(π-x)=2sin|π-x-π
2|=2sin|
π
2
-x|
=f(x),
∴f(x)的图象关于直线 x=π
2
对称.排除 A、B、D.
9.y=2cos
π
4
-2x
的单调减区间是( )
A.
kπ+π
8
,kπ+5
8
π
(k∈Z)
B.
-
3
8
π+kπ,π
8
+kπ
(k∈Z)
C.
π
8
+2kπ,5
8
π+2kπ
(k∈Z)
D.
-
3
8
π+2kπ,π
8
+2kπ
(k∈Z)
答案:A
解析:y=2cos
π
4
-2x
=2cos
2x-π
4 .由 2kπ≤2x-π
4
≤π+2kπ,(k∈Z)
得
π
8
+kπ≤x≤5
8
π+kπ(k∈Z)时,y=2cos
2x-π
4 单调递减.故选 A.
10.已知ω>0,0<φ<π,直线 x=π
4
和 x=5π
4
是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称
轴,则φ的值为( )
A.π
4
B.π
3
C.π
2
D.3π
4
答案:A
解析:因为直线 x=π
4
和 x=5π
4
是函数图象中相邻的两条对称轴,所以
5π
4
-
π
4
=
T
2
,即
T
2
=π,
T=2π.又 T=2π
ω
=2π,所以ω=1,所以 f(x)=sin(x+φ).因为直线 x=π
4
是函数图象的对称轴,
所以
π
4
+φ=π
2
+kπ,k∈Z,所以φ=π
4
+kπ,k∈Z.因为 0<φ<π,所以φ=π
4
,检验知,此时直线
x=5π
4
也为对称轴.故选 A.
11.若向量 a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a+b|的最小值为( )
A. 2-1 B.2- 2
C. 2 D.2
答案:C
解析:|a+b|= 2x2+2x+2≥ 2.
12.若 0<α<π
2
,-
π
2
<β<0,cos
π
4
+α
=
1
3
,cos
π
4
-
β
2 =
3
3
,则 cos
α+β
2 =( )
A. 3
3
B.-
3
3
C.5 3
9
D.-
6
9
答案:C
解析:∵α+β
2
=
α+π
4 -
π
4
-
β
2 ,
∴cos
α+β
2 =cos
α+π
4 -
π
4
-
β
2 =cos
α+π
4 cos
π
4
-
β
2 +sin
α+π
4 sin
π
4
+
β
2 =
1
3
×
3
3
+
2 2
3
×
6
3
=
3+4 3
9
=
5 3
9
.
二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分.把答案填在题中横线上.
13.已知|a|=4,a 与 b 的夹角为
π
6
,则 a 在 b 方向上的投影为__________.
答案:2 3
解析:由投影公式计算:|a|cosπ
6
=2 3.
14.函数 y=2sinxcosx-1,x∈R 的值域是______.
答案:[-2,0]
解析:y=2sinxcosx-1=sin2x-1,∵x∈R,
∴sin2x∈[-1,1],∴y∈[-2,0].
15.已知函数 f(x)=3sin
ωx-π
6 (ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完全相
同.若 x∈
0,π
2 ,则 f(x)的取值范围是________.
答案:
-
3
2
,3
解析:由 f(x)与 g(x)的图像的对称轴完全相同,易知:ω=2,因为 x∈
0,π
2 ,所以 2x
-
π
6
∈
-
π
6
,
5π
6 ,则 f(x)的最小值为 3sin
-
π
6 =-
3
2
,最大值为 3sinπ
2
=3,
所以 f(x)的取值范围是
-
3
2
,3
.
16.下列判断正确的是________.(填写所有正确判断序号)
①若 sinx+siny=1
3
,则 siny-cos2x的最大值是
4
3
②函数 y=sin
π
4
+2x
的单调增区间是
kπ-π
8
,kπ+3π
8 (k∈Z)
③函数 f(x)=
1+sinx-cosx
1+sinx+cosx
是奇函数
④函数 y=tanx
2
-
1
sinx
的最小正周期是π
答案:①④
解析:①siny-cos2x=sin2x-sinx-2
3
,∴sinx=-1时,最大值为
4
3
.
②2kπ-π
2
≤2x+π
4
≤2kπ+π
2
,∴kπ-3π
8
≤x≤kπ+π
8
.
③定义域不关于原点对称.
④y=tanx
2
-
1
sinx
=-
1
tanx
,∴T=π.
三、解答题:本大题共 6小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知角α终边上一点 P(-4,3),求
cos
π
2
+α
sin-π-α
cos
11π
2
-α
sin
9π
2
+α
的值.
解:∵tanα=y
x
=-
3
4
∴
cos
π
2
+α
sin-π-α
cos
11π
2
-α
sin
9π
2
+α
=
-sinα·sinα
-sinα·cosα
=tanα=-
3
4
.
18.(12分)已知向量 m=(sinA,cosA),n=(1,-2),且 m·n=0.
(1)求 tanA的值;
(2)求函数 f(x)=cos2x+tanA·sinx(x∈R)的值域.
解:(1)∵m·n=0,
∴sinA-2cosA=0.
∴tanA=sinA
cosA
=2.
(2)f(x)=cos2x+tanAsinx=cos2x+2sinx
=1-2sin2x+2sinx=-2
sinx-1
2 2+
3
2
.
∵-1≤sinx≤1
∴sinx=1
2
时,f(x)取最大值
3
2
,
sinx=-1时,f(x)取最小值-3,
∴f(x)的值域为
-3,3
2 .
19.(12分)已知 a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2).
(1)若|c|=2 5,且 c∥a,求 c 的坐标;
(2)若|b|= 5
2
,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角θ.
解:(1)设 c=(x,y).
∵|c|=2 5,∴ x2+y2=2 5,即 x2+y2=20.①
∵c∥a,a=(1,2)
∵2x-y=0,即 y=2x,②
联立①②得
x=2
y=4
或
x=-2
y=-4,
∴c=(2,4)或(-2,-4).
(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),
∴(a+2b)·(2a-b)=0,
∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0.
∵|a|2=5,|b|2=5
4
,代入上式得 a·b=-
5
2
,
∴cosθ= a·b
|a|·|b|
=
-
5
2
5× 5
2
=-1.
又∵θ∈[0,π],
∴θ=π.
20.(12分)已知函数 f(x)=cos2
x-π
6 -sin2x.
(1)求 f
π
12 的值;
(2)若对于任意的 x∈
0,π
2 ,都有 f(x)≤c,求实数 c的取值范围.
解:(1)f
π
12 =cos2
-
π
12 -sin2 π
12
=cosπ
6
=
3
2
.
(2)f(x)=1
2
1+cos
2x-π
3 -
1
2
(1-cos2x)
=
1
2
cos
2x-π
3 +cos2x
=
1
2
3
2
sin2x+3
2
cos2x
=
3
2
sin
2x+π
3 .
因为 x∈
0,π
2 ,所以 2x+π
3
∈
π
3
,
4π
3 ,
所以当 2x+π
3
=
π
2
,即 x= π
12
时,f(x)取得最大值
3
2
.
所以对任意 x∈
0,π
2 ,f(x)≤c等价于
3
2
≤c.
故当对任意 x∈
0,π
2 ,f(x)≤c时,c的取值范围是
3
2
,+∞
.
21.(12分)已知 sinα+cosα=3 5
5
,α∈
0,π
4 ,sin
β-π
4 =
3
5
,β∈
π
4
,
π
2 .
(1)求 sin2α和 tan2α的值;
(2)求 cos(α+2β)的值.
解:(1)由题意得(sinα+cosα)2=9
5
,即 1+sin2α=9
5
,∴sin2α=4
5
.
又 2α∈
0,π
2 ,∴cos2α= 1-sin22α=3
5
,
∴tan2α=sin2α
cos2α
=
4
3
.
(2)∵β∈
π
4
,
π
2 ,β-π
4
∈
0,π
4 ,
∴cos
β-π
4 =
4
5
,
于是 sin2
β-π
4 =2sin
β-π
4 cos
β-π
4 =
24
25
.
又 sin2
β-π
4 =-cos2β,∴cos2β=-
24
25
.
又 2β∈
π
2
,π
,∴sin2β= 7
25
,又 cos2α=1+cos2α
2
=
4
5
,
∴cosα= 2
5
,∴sinα= 1
5
α∈
0,π
4 .
∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=2 5
5
×
-
24
25 -
5
5
×
7
25
=-
11 5
25
.
22.(12分)如图,点 P
0,A
2 是函数 y=Asin
2π
3
x+φ
(其中 A>0,φ∈[0,π))的图象与 y
轴的交点,点 Q,点 R是它与 x轴的两个交点.
(1)求φ的值;
(2)若 PQ⊥PR,求 A的值.
解:(1)∵函数经过点 P
0,A
2 ,∴sinφ=1
2
,
又∵φ∈[0,π),且点 P在递增区间上,∴φ=π
6
.
(2)由(1)可知 y=Asin
2π
3
+
π
6 .
令 y=0,得 sin
2π
3
x+π
6 =0,
∴
2π
3
x+π
6
=kπ,(k∈Z),∴可得 x=-
1
4
,
5
4
,
∴Q
-
1
4
,0
,R
5
4
,0
.
又∵P
0,A
2 ,∴PQ→=
-
1
4
,-
A
2 ,PR→=
5
4
,-
A
2 .
∵PQ⊥PR,∴PQ→ ·PR→=-
5
16
+
1
4
A2=0,解得 A= 5
2
.
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