高中数学必修2教案6_示范教案（2_2_3 直线与平面平行的性质） 9页

‎2.2.3 直线与平面平行的性质 整体设计 教学分析 ‎ 上节课已学习了直线与平面平行的判定定理,这节课将通过例题让学生体会应用线面平行的性质定理的难度，进而明确告诉学生：线面平行的性质定理是高考考查的重点，也是最难应用的两个定理之一.本节重点是直线与平面平行的性质定理的应用.‎ 三维目标 ‎1.探究直线与平面平行的性质定理.‎ ‎2.体会直线与平面平行的性质定理的应用.‎ ‎3.通过线线平行与线面平行转化,培养学生的学习兴趣.‎ 重点难点 教学重点：直线与平面平行的性质定理.‎ 教学难点：直线与平面平行的性质定理的应用.‎ 课时安排 ‎1课时 教学过程 复习 ‎ 回忆直线与平面平行的判定定理：‎ ‎（1）文字语言：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.‎ ‎（2）符号语言为：‎ ‎（3）图形语言为：如图1.‎ 图1‎ 导入新课 思路1.(情境导入)‎ ‎ 教室内日光灯管所在的直线与地面平行，是不是地面内的所有直线都与日光灯管所在的直线平行？‎ 思路2.(事例导入)‎ ‎ 观察长方体（图2），可以发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面平行，你能在侧面C′D′DC所在平面内作一条直线与A′B平行吗？‎ 图2‎ 推进新课 新知探究 提出问题 ‎①回忆空间两直线的位置关系.‎ ‎②若一条直线与一个平面平行，探究这条直线与平面内直线的位置关系.‎ ‎③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.‎ ‎④试证明直线与平面平行的性质定理.‎ ‎⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么？‎ ‎⑥总结应用线面平行性质定理的要诀.‎ 活动:问题①引导学生回忆两直线的位置关系.‎ 问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.‎ 问题③引导学生进行语言转换.‎ 问题④引导学生用排除法.‎ 问题⑤引导学生找出应用的难点.‎ 问题⑥鼓励学生总结，教师归纳.‎ 讨论结果：①空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面.‎ ‎②若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交（可用反证法证明）,所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种，即平行或异面.‎ ‎ 怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢（排除异面的情况）？经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.‎ ‎③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：‎ ‎ 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.‎ ‎ 这个定理用符号语言可表示为：‎ 这个定理用图形语言可表示为：如图3.‎ 图3‎ ‎④已知a∥α，aβ，α∩β=b.求证：a∥b.‎ 证明：‎ ‎⑤应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面.‎ ‎⑥应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”.‎ 应用示例 思路1‎ 例1 如图4所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.‎ 图4‎ ‎(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？‎ ‎(2)所画的线与面AC是什么位置关系？‎ 活动:先让学生思考、讨论再回答，然后教师加以引导.‎ 分析：经过木料表面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC及BC外一点P作截面,也就是找出平面与平面的交线.我们可以由线面平行的性质定理和公理4、公理2作出.‎ 解：（1）如图5，在平面A′C′内，过点P作直线EF,使EF∥B′C′，‎ 图5‎ 并分别交棱A′B′、C′D′于点E、F.连接BE、CF.‎ 则EF、BE、CF就是应画的线.‎ ‎(2)因为棱BC平行于面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′.‎ 由（1）知，EF∥B′C′，‎ 所以EF∥BC.因此 BE、CF显然都与平面AC相交.‎ 变式训练 ‎ 如图6，a∥α,A是α另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交α于E、F、G点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.‎ 图6‎ 解：Aa，∴A、a确定一个平面，设为β.‎ ‎∵B∈a，∴B∈β.‎ 又A∈β，∴ABβ.‎ 同理ACβ，ADβ.‎ ‎∵点A与直线a在α的异侧,‎ ‎∴β与α相交.‎ ‎∴面ABD与面α相交，交线为EG.‎ ‎∵BD∥α，BD面BAD，面BAD∩α=EG,‎ ‎∴BD∥EG.‎ ‎∴△AEG∽△ABD.‎ ‎∴.(相似三角形对应线段成比例)‎ ‎∴EG=.‎ 点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，直线与交线平行，如果再需要过已知点，这个平面是确定的.‎ 例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.如图7.‎ 图7‎ 已知直线a,b,平面α,且a∥b,a∥α,a,b都在平面α外.‎ 求证：b∥α.‎ 证明：过a作平面β,使它与平面α相交,交线为c.‎ ‎∵a∥α,aβ,α∩β=c,‎ ‎∴a∥c.‎ ‎∵a∥b,∴b∥c.‎ ‎∵cα,bα,∴b∥α.‎ 变式训练 ‎ 如图8,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD于F、G.求证：EH∥FG.‎ 图8‎ 证明：连接EH.‎ ‎∵E、H分别是AB、AD的中点,‎ ‎∴EH∥BD.‎ 又BD面BCD，EH面BCD,‎ ‎∴EH∥面BCD.‎ 又EHα、α∩面BCD=FG,‎ ‎∴EH∥FG.‎ 点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，则直线与交线平行.‎ 思路2‎ 例1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.如图9.‎ 图9‎ 已知a∥b,aα，bβ，α∩β=c.‎ 求证：c∥a∥b.‎ 证明：‎ 变式训练 ‎ 求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.‎ 图10‎ 已知：如图10,a∥α,a∥β,α∩β=b，‎ 求证：a∥b.‎ 证明：如图10，过a作平面γ、δ，使得γ∩α=c，δ∩β=d，那么有 点评：本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路.‎ 例2 如图11，平行四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH.‎ 图11‎ 证明：∵EFGH是平行四边形 变式训练 ‎ 如图12，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB.‎ 图12‎ ‎（1）求证：EFGH是矩形；‎ ‎（2）设DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面积.‎ ‎(1)证明：∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD=EF,‎ ‎∴CD∥EF.同理HG∥CD,∴EF∥HG.‎ 同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形.‎ 由CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为CD和AB所成的角.‎ 又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.‎ ‎∴四边形EFGH为矩形.‎ ‎（2）解：由（1）可知在△BCD中EF∥CD，DE=m，EB=n,‎ ‎∴.又CD=a,∴EF=.‎ 由HE∥AB,∴.‎ 又∵AB=b,∴HE=.‎ 又∵四边形EFGH为矩形,‎ ‎∴S矩形EFGH=HE·EF=.‎ 点评：线面平行问题是平行问题的重点，有着广泛应用.‎ 知能训练 求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.‎ 已知：a、b是异面直线.‎ 求证：过b有且只有一个平面与a平行.‎ 证明：(1)存在性.如图13，‎ 图13‎ 在直线b上任取一点A，显然Aa.‎ 过A与a作平面β,‎ 在平面β内过点A作直线a′∥a,‎ 则a′与b是相交直线，它们确定一个平面，设为α,‎ ‎∵bα，a与b异面，∴aα.‎ 又∵a∥a′，a′α，∴a∥α.‎ ‎∴过b有一个平面α与a平行.‎ ‎(2)唯一性.‎ 假设平面γ是过b且与a平行的另一个平面,‎ 则bγ.∵A∈b，∴A∈γ.‎ 又∵A∈β，∴γ与β相交，设交线为a″，则A∈a″.‎ ‎∵a∥γ，aβ，γ∩β=a″,∴a∥a″.又a∥a′，∴a′∥a″.‎ 这与a′∩a″=A矛盾.‎ ‎∴假设错误，故过b且与a平行的平面只有一个.‎ 综上所述，过b有且只有一个平面与a平行.‎ 变式训练 ‎ 已知：a∥α，A∈α，A∈b，且b∥a.求证：bα.‎ 证明：假设bα，如图14，‎ 图14‎ 设经过点A和直线a的平面为β，α∩β=b′, ∵a∥α，∴a∥b′(线面平行则线线平行).‎ 又∵a∥b，∴b∥b′,这与b∩b′=A矛盾.‎ ‎∴假设错误.故bα.‎ 拓展提升 ‎ 已知：a,b为异面直线,aα,bβ,a∥β,b∥α,求证:α∥β.‎ 证明：如图15，在b上任取一点P，由点P和直线a确定的平面γ与平面β交于直线c，则c与b相交于点P.‎ 图15‎ 变式训练 ‎ 已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作平面α∥AB.‎ ‎（1）求证：CD∥α;‎ ‎（2）若AB=4，EF=，CD=2，求AB与CD所成角的大小.‎ ‎（1）证明：如图16，连接AD交α于G，连接GF,‎ 图16‎ ‎∵AB∥α，面ADB∩α=GFAB∥GF.‎ 又∵F为BD中点,‎ ‎∴G为AD中点.‎ 又∵AC、AD相交，确定的平面ACD∩α=EG,E为AC中点，G为AD中点,∴EG∥CD.‎ ‎（2）解：由（1）证明可知：‎ ‎∵AB=4,GF=2,CD=2,∴EG=1,EF=.‎ 在△EGF中，由勾股定理,得∠EGF=90°,即AB与CD所成角的大小为90°.‎ 课堂小结 ‎ 知识总结:利用线面平行的性质定理将直线与平面平行转化为直线与直线平行.‎ ‎ 方法总结:应用直线与平面平行的性质定理需要过已知直线作一个平面,是最难应用的定理之一;应让学生熟记:“过直线作平面，把线面平行转化为线线平行”.‎ 作业 ‎ 课本习题2.2 A组5、6.‎ 设计感想 ‎ ‎ 线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，线面平行的判定是高考考查的重点.本节的难点是应用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行，本节在选题时始终围绕这个中心展开，针对性强，因此这节课目的突出，是一个精彩课例.另外，本节总结了应用线面平行性质定理的口诀，对学生的学习一定有很大帮助.‎