2020届四川泸县一中高三下学期第一次在线月考数学（文）试题（解析版） 19页

‎2020年春四川省泸县第一中学高三第一学月考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（　　）‎ A. {0，1} B. {﹣1，0} C. {﹣1，0，1} D. {0，1，2}‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合B，进而求交集即可.‎ ‎【详解】由B中不等式解得：-1＜x＜2，即B={x|-1＜x＜2}， ‎ ‎∵A={-1，0，1，2}， ∴A∩B={0，1}， ‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查交集的概念与运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.若，均为实数，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由复数的乘法运算，化简得，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 因此，则.‎ 故选C ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.‎ ‎3.已知四边形是平行四边形，点为边的中点，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面向量的加法法则运算即可.‎ ‎【详解】如图，过E作 由向量加法的平行四边形法则可知 ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的加法法则，属基础题.‎ ‎4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4，a4=2，则S6=（　　）‎ A. 0 B. 10 C. 15 D. 30‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质，根据，求出a1，d，代入等差数列的前n项和公式即可．‎ ‎【详解】数列{an}是等差数列，a2=4=a1+d，a4=2=a1+3d，‎ 所以a1=5，d=-1，则S6=6a1+=15．‎ 故选C．‎ 点睛】本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题．‎ ‎5.函数图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于轴对称，排除；根据时，，排除，从而得到正确选项.‎ ‎【详解】定义域为，且 为偶函数，关于轴对称，排除；‎ 当时，，，可知，排除.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除.‎ ‎6.已知向量，满足，，且，则向量与的夹角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平方运算可求得，利用求得结果.‎ ‎【详解】由题意可知：，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.‎ ‎7.已知角的终边经过点，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出点P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．‎ ‎【详解】角的终边经过点p（﹣1，），其到原点的距离r2‎ 故cos，sin ‎∴sin cos.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】模拟程序的运行，可得 s＝3，i=1‎ 满足条件i，执行循环体s＝3+，i=2‎ 满足条件i，执行循环体s＝3++，i=3，‎ 满足条件i，执行循环体，s＝3++，i=4，‎ 不满足条件i退出循环，输出s的值为s＝．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎9.2019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注，还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人，其中关注此次大阅兵的有5位，若从这6位外国人中任意选取2位做一次采访，则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设这6位外国人分别记为,,,,,,其中未关注此次大阅兵,列举出从这6位外国人中任意选取2位基本事件总数,再选出2位都关注大阅兵的基本事件数,代入古典概型公式即可求得概率.‎ ‎【详解】解：这6位外国人分别记为,,,,,,‎ 其中未关注此次大阅兵,‎ 则基本事件有,,,,,‎ ‎,,,,,,‎ ‎,,,,共15个,‎ 其中被采访者都关注了此次大阅兵的基本事件有10个,‎ 故所求概率为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查古典概型,考查运算求解能力.‎ ‎10.将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为，则函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，然后利用正弦函数的单调性即可得到单调区间．‎ ‎【详解】由题意知，故向右平移个周期，即向右平移 个单位，所以，‎ 令 ，‎ 所以 ，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的平移变换，求正弦型函数的单调区间，属基础题．‎ ‎11.若直线是曲线的一条切线，则实数( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，进行比较建立方程关系进行求解即可．‎ ‎【详解】数的定义域为（0，+∞），设切点为（m，2lnm+1）， 则函数的导数 ，则切线斜率， 则对应的切线方程为 ‎ 即 ‎ ‎ 且， 即 ，则 ， 则， 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的导数的几何意义的应用，求函数的导数，建立方程关系是解决本题的关键．‎ ‎12.已知函数是定义在上的函数，且满足，其中为的导数，设，，，则、、的大小关系是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，根据的单调性得出结论．‎ ‎【详解】解：令，则，‎ 在上单调递增，‎ 又，‎ ‎，‎ 即，即 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了导数与函数的单调性，考查函数单调性的应用，属于中档题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知实数满足条件，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ 如图，过点时，‎ ‎14.已知向量，的夹角为，且，，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量的数量积求出，进而可得所求结果．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】数量积为解决平面中的垂直问题、长度问题和夹角问题提供了工具，解题的关键是正确求出向量的数量积，考查计算能力和数量积的应用，属于基础题．‎ ‎15.已知矩形 ABCD，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且 过 C, D 两点的双曲线的离心率为____________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据为焦点，得；又求得，从而得到离心率.‎ ‎【详解】为焦点 ‎ 在双曲线上，则 又 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.‎ ‎16.三棱锥中，底面是边长为的等边三角形， 面， ,则三棱锥外接球的表面积是_____________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意可知三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球 ‎∵是边长为的正三角形 ‎∴的外接圆半径， ‎ 设球的半径为，因为面， ,‎ 所以，‎ ‎∴外接球的表面积为，‎ 故答案为 点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）试估计该产品收益率的中位数；‎ ‎（2）若该产品的售价（元）与销量（万份）之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组与的对应数据：‎ 售价（元）‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎38‎ ‎45‎ ‎52‎ 销量（万份）‎ ‎7.5‎ ‎7.1‎ ‎6.0‎ ‎5.6‎ ‎4.8‎ 根据表中数据算出关于的线性回归方程为，求的值；‎ ‎【答案】（1）0.28（2）0.1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图线分析中位数[0.2,0.3]之间，设中位数为，，求得中位数；（2）先求出值，代入回归直线方程中，即可求得 ‎【详解】（1）依题意，设中位数为，，解得.‎ ‎（2），，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】考核利用分率分布直方图求中位数的方法以及利用中心点（）在回归直线上求相应的值 ‎18.在中，角所对的边分别是满足：，且成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求角的大小；‎ ‎(Ⅱ)若,判断三角形的形状.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）三角形是等边三角形 ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)根据诱导公式以及两角和的余弦公式化简，可得，再由结合正弦定理，求得，根据不是最大边，可得为锐角，从而求得的值；(Ⅱ)由条件可得，，结合，可求得，从而得三角形为等边三角形.‎ 试题解析：(Ⅰ),‎ 因为 ‎,‎ 又,‎ 而成等比数列，所以不是最大，‎ 故为锐角，所以.‎ ‎(Ⅱ)由,则,‎ 利用正弦定理可得,‎ 又因为,所以,‎ 所以三角形是等边三角形.‎ ‎19.在四棱柱中，底面为平行四边形，平面．，‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若直线与底面所成角为， ，，分别为，，的中点，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出D1D⊥平面ABCD，D1D⊥BC，AD⊥BD，由AD∥BC，得BC⊥BD，从而BC⊥平面D1BD，由此能证明平面D1BC⊥平面D1BD．‎ ‎（2）由平面得，可以计算出，再利用锥体体积公式求得，根据等体积法即为.‎ ‎【详解】（1）∵平面，平面，‎ ‎∴.‎ 又，，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴.‎ 又∵，‎ ‎∴.‎ 又∵，平面，平面，‎ ‎∴平面，而平面，‎ ‎∴平面平面；‎ ‎（2）∵平面，‎ ‎∴即为直线与底面所成的角，即，‎ 而，∴‎ 又，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的定义及求法，考查了三棱锥体积的常用求法，涉及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎20.已知椭圆：的离心率为，焦距为．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），为坐标原点，证明：直线，，的斜率依次成等比数列．‎ ‎【答案】(1) .(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中条件，得到，再由，求解，即可得出结果；‎ ‎（2）先设直线的方程为，，,联立直线与椭圆方程，结合判别式、韦达定理等，表示出，只需和相等，即可证明结论成立.‎ ‎【详解】（1）由题意可得 ，解得，‎ 又，‎ 所以椭圆方程为.‎ ‎（2）证明：设直线的方程为，，,‎ 由，消去，得 ‎ 则，且， ‎ 故 ‎ ‎ ‎ 即直线，，的斜率依次成等比数列.‎ ‎【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.‎ ‎21.设函数，‎ ‎(1)当时，求函数的单调区间；‎ ‎(2)若在内有极值点，当，，求证：.‎ ‎【答案】(1)增区间为：，.(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求出 的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间即可； （2）求出f（x）的导数，令 ，根据函数的单调性得到： ，作差得到新函数 ‎ ‎，根据函数的单调性求出其最小值即可证明结论成立． ‎ 试题解析：(1)函数的定义域为，当时，，‎ 令：，得：或，所以函数单调增区间为：，.‎ ‎(2)证明：，‎ 令：，‎ 所以：，，若在内有极值点，‎ 不妨设，则，且，‎ 由得：或，‎ 由得：或，‎ 所以在递增，递减；递减，递增，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 所以：‎ ‎，.‎ 设：，，则.‎ 所以：是增函数，所以.‎ 又：，‎ 所以：.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程与曲线的的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与交于两点，点的极坐标为，求的值.‎ ‎【答案】（1）曲线普通方程为曲线的直角坐标方程为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将曲线的参数方程中的t消掉得到曲线的普通方程，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，能求出C2的直角坐标方程．‎ ‎（2）将代入，得，利用直线参数的几何意义结合韦达定理，能求出．‎ ‎【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），两式相加消去t可得普通方程为；又由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，‎ 曲线的极坐标方程为转化为直角坐标方程为 ‎（2）把曲线的参数方程为（为参数），代入得，‎ 设，是对应的参数，则，‎ 所以 ‎ ‎【点睛】本题考查了普通方程与参数方程、极坐标方程的相互转化，考查直线参数方程中参数的几何意义及应用，是中档题．‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设函数的最小值为m，当a，b，，且时，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据x的不同范围，去掉绝对值，然后求解不等式 ‎（2）利用基本不等式的合理利用求最大值 ‎【详解】（1）①当时， ‎ ‎②当时， ‎ ‎③当时， ‎ 综上：的解集为 ‎（2）法一：由（1）可知 即 又且 则，设 ‎ ‎ 同理：，‎ ‎，即 当且仅当时取得最大值 法二：由（1）可知 即 又且 当且仅当时取得最大值 法三：由（1）可知 即 ‎ ‎ 由柯西不等式可知：‎ 即：‎ 当且仅当即时，取得最大值 ‎【点睛】考核绝对值不等式的解法，以及基本不等式的运用