高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数课时分层作业24幂函数含解析苏教版必修第一册 5页

课时分层作业(二十四)　幂函数 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能是一条直线；③n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn，当n>0时是增函数；⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小；⑥幂函数的图象不可能在第四象限．其中正确的有(　　)‎ A．①③ B．②④ ‎ C．⑤⑥ D．③⑥‎ C　[幂函数y＝xn，只有当n>0时，其图象才都经过点(1,1)和点(0,0)，故①错误；幂函数y＝xn，当n＝1时，则其图象就是一条直线，故②错误；幂函数y＝xn，当n＝0时，则其图象是y＝1这条直线上去除(0,1)点后的剩余部分，故③错误；幂函数y＝x2，当x∈(0，＋∞)时，是增函数，当x∈(－∞，0)时，是减函数，故④错误；根据幂函数的性质可知，只有⑤⑥是正确的．]‎ ‎2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值的个数为(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ B　[使函数y＝xα的定义域为R的有1,2,3，其中为奇函数的有1,3．]‎ ‎3．已知幂函数f(x)＝(m2－3)x－m在(0，＋∞)为单调增函数，则实数m的值为(　　)‎ A． B．±2 ‎ C．2 D．－2‎ D　[因为函数f(x)＝(m2－3)x－m为幂函数，所以m2－3＝1，所以m＝±2，因为函数f(x)在(0，＋∞)为单调增函数，所以－m>0，因此m＝－2，选D．]‎ ‎4．若f(x)是幂函数，且满足＝2，则f＝(　　)‎ A．16 B．4 ‎ C． D． D　[因为函数f(x)是幂函数，设f(x)＝xα，由题设＝2⇒3α＝2，‎ 所以f＝＝＝．]‎ - 5 -‎ ‎5．不论α取何值，函数y＝(x－1)α＋2的图象恒过点A，则点A的坐标为(　　)‎ A．(1,3) B．(2,3)‎ C．(2,1) D．(0,3)‎ B　[∵幂函数y＝xα的图象恒过点(1,1)，‎ ‎∴y＝(x－1)α的图象恒过点(2,1)，‎ ‎∴y＝(x－1)α＋2的图象恒过点(2,3)．]‎ 二、填空题 ‎6．若幂函数y＝x (m，n∈N*且m，n互质)的图象如图所示，则下列说法中正确的是　　　　．‎ ‎①m，n是奇数且<1；②m是偶数，n是奇数，且>1；③m是偶数，n是奇数，且<1；④m，n是偶数，且>1．‎ ‎③　[由题图知，函数y＝x为偶函数，m为偶数，n为奇数，又在第一象限向上“凸”，所以<1，选③．]‎ ‎7．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x (n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为　　　　．‎ ‎1　[由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，‎ 解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意．]‎ ‎8．如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为　　　　．‎ ‎2，，－，－2　[函数y＝x－2，y＝x2，y＝x，y＝x中令x＝4得到的函数值依次为，16，，2，函数值由大到小对应的解析式为y＝x2，y＝x，y＝x，y＝x－2，因此相应于曲线C1，C2‎ - 5 -‎ ‎，C3，C4的n值依次为2，，－，－2．]‎ 三、解答题 ‎9．比较下列各组数的大小：‎ ‎(1)3和3．1；‎ ‎(2)8和(－9) ；‎ ‎(3)，和．‎ ‎[解]　(1)构造函数f(x)＝x，此函数在[0，＋∞)上是增函数．∵3<3.1，‎ ‎∴3<3.1．‎ ‎(2)构造f(x)＝x，函数是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，‎ 所以(－9) ＝9．‎ ‎∵8<9，∴8>9，∴ 8>(－9) ．‎ ‎(3)构造函数y＝x，此函数为偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，则＝>＝>0．‎ 函数y＝x，此函数在R上是增函数，‎ 则<0<0，‎ 故<<．‎ ‎10．已知幂函数y＝xm－2(m∈N)的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称．求m的值，并画出它的图象．‎ ‎[解]　∵图象与x，y轴都无交点，‎ ‎∴m－2≤0，即m≤2．‎ 又m∈N，∴m＝0,1,2．‎ ‎∵幂函数图象关于y轴对称，∴m＝0，或m＝2．‎ 当m＝0时，函数为y＝x－2，图象如图(1)；‎ 当m＝2时，函数为y＝x0＝1(x≠0)，图象如图(2)．‎ - 5 -‎ ‎1．函数y＝x的图象是(　　)‎ A　　　　B　　　　C　　　　　D C　[∵函数y＝x是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又>1，故选C．]‎ ‎2．函数y＝x在[－1,1]上是(　　)‎ A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 A　[由幂函数的性质可知，当α>0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝x在(0,1]上是增函数．令y＝f(x)＝x，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x) ＝－x＝－f(x)，所以f(x)＝x是奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以当x∈[－1,0)时，y＝x也是增函数．当x＝0时，y＝0，又当x<0时，y＝x<0，当x>0时，y＝x>0，所以y＝x在[－1,1]上是增函数．故y＝x在[－1,1]上是增函数且是奇函数．]‎ ‎3．若(a＋1) <(3－‎2a) ，则a的取值范围是　　　　．‎ 　[(a＋1)－<(3－‎2a) ⇔<，函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数，‎ 所以解得0．‎ ‎[解]　(1)设f(x)＝xα，由题意，‎ 得f(2)＝2α＝⇒α＝－3，‎ 故函数解析式为f(x)＝x－3．‎ ‎(2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．‎ f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数．‎ 其单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．‎ - 5 -‎ ‎(3)由(2)得f(3x＋2)>－f(2x－4)＝f(4－2x)．‎ 即 或 或 解得－2，‎ 故原不等式的解集为 - 5 -‎