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  • 2021-06-10 发布

高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数课时分层作业24幂函数含解析苏教版必修第一册

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课时分层作业(二十四) 幂函数 ‎(建议用时:40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.下列命题:①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0);②幂函数的图象不可能是一条直线;③n=0时,函数y=xn的图象是一条直线;④幂函数y=xn,当n>0时是增函数;⑤幂函数y=xn,当n<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小;⑥幂函数的图象不可能在第四象限.其中正确的有(  )‎ A.①③ B.②④ ‎ C.⑤⑥ D.③⑥‎ C [幂函数y=xn,只有当n>0时,其图象才都经过点(1,1)和点(0,0),故①错误;幂函数y=xn,当n=1时,则其图象就是一条直线,故②错误;幂函数y=xn,当n=0时,则其图象是y=1这条直线上去除(0,1)点后的剩余部分,故③错误;幂函数y=x2,当x∈(0,+∞)时,是增函数,当x∈(-∞,0)时,是减函数,故④错误;根据幂函数的性质可知,只有⑤⑥是正确的.]‎ ‎2.设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值的个数为(  )‎ A.1 B.2 ‎ C.3 D.4‎ B [使函数y=xα的定义域为R的有1,2,3,其中为奇函数的有1,3.]‎ ‎3.已知幂函数f(x)=(m2-3)x-m在(0,+∞)为单调增函数,则实数m的值为(  )‎ A. B.±2 ‎ C.2 D.-2‎ D [因为函数f(x)=(m2-3)x-m为幂函数,所以m2-3=1,所以m=±2,因为函数f(x)在(0,+∞)为单调增函数,所以-m>0,因此m=-2,选D.]‎ ‎4.若f(x)是幂函数,且满足=2,则f=(  )‎ A.16 B.4 ‎ C. D. D [因为函数f(x)是幂函数,设f(x)=xα,由题设=2⇒3α=2,‎ 所以f===.]‎ - 5 -‎ ‎5.不论α取何值,函数y=(x-1)α+2的图象恒过点A,则点A的坐标为(  )‎ A.(1,3) B.(2,3)‎ C.(2,1) D.(0,3)‎ B [∵幂函数y=xα的图象恒过点(1,1),‎ ‎∴y=(x-1)α的图象恒过点(2,1),‎ ‎∴y=(x-1)α+2的图象恒过点(2,3).]‎ 二、填空题 ‎6.若幂函数y=x (m,n∈N*且m,n互质)的图象如图所示,则下列说法中正确的是    .‎ ‎①m,n是奇数且<1;②m是偶数,n是奇数,且>1;③m是偶数,n是奇数,且<1;④m,n是偶数,且>1.‎ ‎③ [由题图知,函数y=x为偶函数,m为偶数,n为奇数,又在第一象限向上“凸”,所以<1,选③.]‎ ‎7.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)x (n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为    .‎ ‎1 [由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,‎ 解得n=1或n=-3,经检验只有n=1适合题意.]‎ ‎8.如图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的n值依次为    .‎ ‎2,,-,-2 [函数y=x-2,y=x2,y=x,y=x中令x=4得到的函数值依次为,16,,2,函数值由大到小对应的解析式为y=x2,y=x,y=x,y=x-2,因此相应于曲线C1,C2‎ - 5 -‎ ‎,C3,C4的n值依次为2,,-,-2.]‎ 三、解答题 ‎9.比较下列各组数的大小:‎ ‎(1)3和3.1;‎ ‎(2)8和(-9) ;‎ ‎(3),和.‎ ‎[解] (1)构造函数f(x)=x,此函数在[0,+∞)上是增函数.∵3<3.1,‎ ‎∴3<3.1.‎ ‎(2)构造f(x)=x,函数是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,‎ 所以(-9) =9.‎ ‎∵8<9,∴8>9,∴ 8>(-9) .‎ ‎(3)构造函数y=x,此函数为偶函数,在[0,+∞)上是增函数,则=>=>0.‎ 函数y=x,此函数在R上是增函数,‎ 则<0<0,‎ 故<<.‎ ‎10.已知幂函数y=xm-2(m∈N)的图象与x,y轴都无交点,且关于y轴对称.求m的值,并画出它的图象.‎ ‎[解] ∵图象与x,y轴都无交点,‎ ‎∴m-2≤0,即m≤2.‎ 又m∈N,∴m=0,1,2.‎ ‎∵幂函数图象关于y轴对称,∴m=0,或m=2.‎ 当m=0时,函数为y=x-2,图象如图(1);‎ 当m=2时,函数为y=x0=1(x≠0),图象如图(2).‎ - 5 -‎ ‎1.函数y=x的图象是(  )‎ A    B    C     D C [∵函数y=x是非奇非偶函数,故排除A、B选项.又>1,故选C.]‎ ‎2.函数y=x在[-1,1]上是(  )‎ A.增函数且是奇函数 B.增函数且是偶函数 C.减函数且是奇函数 D.减函数且是偶函数 A [由幂函数的性质可知,当α>0时,y=xα在第一象限内是增函数,所以y=x在(0,1]上是增函数.令y=f(x)=x,x∈[-1,1],则f(-x)=(-x) =-x=-f(x),所以f(x)=x是奇函数.因为奇函数的图象关于原点对称,所以当x∈[-1,0)时,y=x也是增函数.当x=0时,y=0,又当x<0时,y=x<0,当x>0时,y=x>0,所以y=x在[-1,1]上是增函数.故y=x在[-1,1]上是增函数且是奇函数.]‎ ‎3.若(a+1) <(3-‎2a) ,则a的取值范围是    .‎  [(a+1)-<(3-‎2a) ⇔<,函数y=x在[0,+∞)上是增函数,‎ 所以解得0.‎ ‎[解] (1)设f(x)=xα,由题意,‎ 得f(2)=2α=⇒α=-3,‎ 故函数解析式为f(x)=x-3.‎ ‎(2)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.‎ f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),故该幂函数为奇函数.‎ 其单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞).‎ - 5 -‎ ‎(3)由(2)得f(3x+2)>-f(2x-4)=f(4-2x).‎ 即 或 或 解得-2,‎ 故原不等式的解集为 - 5 -‎