2020_2021学年新教材高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数6 9页

‎6.2　指数函数 第1课时　指数函数的概念、图象与性质 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．理解指数函数的概念．(重点)‎ ‎2．掌握指数函数的图象和性质．(重点)‎ ‎3．能够利用指数函数的图象和性质解题．(重点、难点)‎ ‎4．掌握函数图象的平移变换和对称变换．‎ 通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理和直观想象的数学核心素养．‎ 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂1次(1个分裂成2个)，那么经过3 h，这种细菌由1个可分裂为几个？经过x h，这种细菌由1个可分裂为几个？‎ ‎1．指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R．‎ ‎2．指数函数的图象和性质 a>1‎ ‎00时，y>1；x<0时，00时，01‎ 单调性 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝3·2x是指数函数． (　　)‎ ‎(2)指数函数的图象与x轴永不相交． (　　)‎ - 9 -‎ ‎(3)函数y＝2－x在R上为增函数． (　　)‎ ‎(4)当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1． (　　)‎ ‎[提示]　(1)y＝3·2x的系数为3，故y＝3·2x不是指数函数．‎ ‎(2)指数函数的值域为(0，＋∞)，故它与x轴不相交．‎ ‎(3)y＝2－x＝是减函数．‎ ‎(4)a>1时，若x<0，则ax<1．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2．下列函数中，是指数函数的为　　　　．(填序号)‎ ‎(1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx；‎ ‎(5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)．‎ ‎(4)(6)　[只有(4)(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b＝a－1，则y＝bx，b>0且b≠1，所以是．]‎ ‎3．若函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的图象过点(2,9)，则f(x)＝　　　　．‎ ‎3x　[由于a2＝9，∴a＝±3．∵a＞0，∴a＝3，‎ ‎∴f(x)＝3x．]‎ 指数函数的概念 ‎【例1】　(1)下列函数中，是指数函数的个数是(　　)‎ ‎①y＝(－8)x；②y＝2；③y＝ax；④y＝2·3x．‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．0‎ ‎(2)已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝　　　　．‎ ‎(1)D　(2)　[(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；‎ ‎②中指数不是自变量x，而是x的函数，‎ 所以不是指数函数；‎ ‎③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；‎ ‎④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D．‎ - 9 -‎ ‎(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f＝得a＝，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝．]‎ 指数函数具有以下特征：①底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；②指数位置是自变量x，且x的系数是1；③ax的系数是1.‎ ‎1．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为(　　)‎ A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2x C．f(x)＝ D．f(x)＝x B　[设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得 a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故选B．]‎ ‎2．已知y＝(‎2a－1)x是指数函数，则a的取值范围是　　　　．‎ 　[要使y＝(‎2a－1)x是指数函数，则‎2a－1>0且‎2a－1≠1，‎ ‎∴a>且a≠1．]‎ 利用单调性比较大小 ‎【例2】　比较下列各组数的大小：‎ ‎(1)与；(2)与1；(3)0.6－2与；(4)与3－0.2；(5)‎0.20.6‎与0.30.4；‎ ‎(6) ， ，．‎ ‎[思路点拨]　观察底数是否相同(或能化成底数相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．‎ ‎[解]　(1)∵0<<1，y＝在定义域R内是减函数，‎ ‎－1.8>－2.6，‎ ‎∴<．‎ - 9 -‎ 在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下三类：‎ (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决.‎ (2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决.‎ (3)底数不同、指数也不同：采用介值法.以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数.比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象.‎ ‎3．比较下列各组数的大小：‎ ‎(1)1．9－π与1．9－3；‎ ‎(2)0．60．4与0．40．6；‎ - 9 -‎ ‎(3)，2，，．‎ ‎[解]　(1)由于指数函数y＝1．9x在R上单调递增，而－π<－3，‎ ‎∴1.9－π<1．9－3．‎ ‎(2)∵y＝0．6x在R上递减，‎ ‎∴0.60.4>0.60.6．‎ 又在y轴右侧，函数y＝0．6x的图象在y＝0．4x图象的上方，‎ ‎∴0.60.6>0．40.6，∴0.60.4>‎0.40.6‎．‎ ‎(3)∵<0，>1,2>1,0<<1，‎ 又在y轴右侧，函数y＝的图象在y＝4x的下方，‎ ‎∴<4＝2，‎ ‎∴<<<2．‎ 利用单调性解指数不等式 ‎【例3】　(1)已知4≥2x＋1>2，求x的取值范围；‎ ‎(2)已知0．3x>，求x＋y的符号；‎ ‎(3)解不等式ax>3(a>0且a≠1)．‎ ‎[思路点拨]　化为同底，利用指数函数的单调性求解．‎ ‎[解]　(1)∵4＝22，∴原式化为22≥2x＋1>2．‎ ‎∵y＝2x是单调递增的，∴2≥x＋1>，‎ ‎∴－＝＝0.3－y．‎ ‎∵y＝0.3x是减函数，∴x<－y，∴x＋y<0．‎ ‎(3)由ax>3得ax>a 当a>1时，x>loga3‎ 当01时，原不等式的解集为(loga3，＋∞)，当0ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．‎ ‎2．形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．‎ ‎4．解关于x的不等式a3x－2≤ax＋2，(a＞0且a≠1)．‎ ‎[解]　①当a>1时，3x－2≤x＋2，∴x≤2．‎ ‎②当01时，不等式的解集为{x|x≤2}，‎ 当00)的图象经过的定点是什么？‎ ‎[提示]　‎ 结论：y＝2x－1，y＝3x－1，y＝－1都过定点(0,0)，且y＝ax－1也总过定点(0,0)．y＝2x＋1－1，y＝3x＋1－1，y＝－1都过定点(－1,0)，且y＝ax＋1－1也总过定点(－1,0)．综上得y＝ax＋m＋n的图象经过定点(－m,1＋n)．‎ ‎3．除去用图象变换的方法外，还有无其它方式寻找定点．如y＝‎4a2x－4＋3是否过定点？‎ ‎[提示]　还可以整体代换．‎ 将y＝‎4a2x－4＋3变形为＝a2x－4．‎ 令⇒即y＝‎4a2x－4＋3过定点(2,7)．‎ ‎【例4】　(1)函数y＝3－x的图象是　　　　．(填序号)‎ ‎(2)已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过第　　　　象限．‎ ‎(3)函数f(x)＝2ax＋1－3(a＞0且a≠1)的图象恒过定点　　　　．‎ ‎[思路点拨]　题(1)中可将y＝3－x转化为y＝．‎ 题(2)中，函数y＝ax＋b的图象过点(0,1＋b)，‎ 因为b＜－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上．‎ 题(3)应该根据指数函数经过定点求解．‎ ‎(1)②　(2)一　(3)(－1，－1)　[(1)y＝3－x＝为单调递减的指数函数，其图象为②．‎ ‎(2)函数y＝ax(0＜a＜1)在R上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y＝ax＋b的图象在R上单调递减，且过点(0,1＋b)．因为b＜－1，所以点(0,1＋b)在y - 9 -‎ 轴负半轴上，故图象不经过第一象限．‎ ‎(3)令x＋1＝0，得x＝－1，此时y＝‎2a0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．]‎ ‎1．处理函数图象问题的策略 ‎(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．‎ ‎(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．‎ ‎(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．‎ ‎2．指数型函数图象过定点问题的处理方法 求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．‎ ‎5．(一题两空)函数y＝f(x)＝ax＋2－(a>1)的图象必过定点　　，其图象必不过第　　　象限．‎ 　四　[y＝ax(a>1)在R上单调递增，必过(0,1)点，故求f(x)所过的定点时可以令⇒即定点坐标为．结合图象(图略)可知，f(x)的图象必不在第四象限．]‎ ‎1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1．‎ ‎2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的性质分底数a>1,0ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论．‎ ‎(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，即b＝a，再借助y＝ax的单调性求解．‎ ‎5．在y轴右侧，底数a越大，图象越靠近y轴．‎ - 9 -‎ ‎1．下列所给函数中为指数函数的是(　　)‎ ‎①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝(－4)x；⑤y＝4x2；⑥y＝x2；⑦y＝(‎2a－1)x．‎ A．①③ B．②④⑥‎ C．①⑦ D．①④⑦‎ C　[形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数为指数函数，故①⑦是指数函数．]‎ ‎2．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是　　　　．‎ ‎(1,2)　[由题意可知，0<2－a<1，即10且a≠1)．‎ ‎[解]　(1)由指数函数性质得，1．70．2>1．70＝1,0．92．1<0．90＝1，‎ 所以1．70．2>0．92．1．‎ ‎(2)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1．1>a0．3；‎ 当0