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- 2021-06-10 发布
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第2课时 一元二次不等式的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握一元二次不等式的实际应用.(重点)
2.理解三个“二次”之间的关系.
3.会解一元二次不等式中的恒成立问题.(难点)
1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习,培养数学运算素养.
2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养.
汽车在行驶中,由于惯性,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止,一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.
在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查,测得甲车的刹车距离略超过6 m,乙车的刹车距离略超过10 m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速v km/h之间的关系分别是什么?试判断甲、乙两车有无超速现象.
1.分式不等式的解法
主导思想:化分式不等式为整式不等式
类型
同解不等式
>0(<0) (其中a,b,c,d为常数)
法一:或
法二:
(ax+b)(cx+d)>0(<0)
≥0(≤0)
法一:
或
法二:
>k
先移项通分转化为上述两种形式
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(其中k为非零实数)
思考1:>0与(x-3)(x+2)>0等价吗?将>0变形为(x-3)(x+2)>0,有什么好处?
[提示] 等价;好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式.
2.(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c<0
a=0
b=0,c>0
b=0,c<0
a≠0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数y=ax2+bx+c
若ax2+bx+c≤k恒成立⇔y最大值≤k
若ax2+bx+c≥k恒成立⇔y最小值≥k
思考2:x-1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么?区间[2,3]与不等式x-1>0的解集有什么关系?
[提示] x-1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y=x-1在区间[2,3]上的图象恒在x轴上方.区间[2,3]内的元素一定是不等式x-1>0的解,反之不一定成立,故区间[2,3]是不等式x-1>0的解集的子集.
3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤
(1)阅读理解,认真审题,分析题目中有哪些已知量和未知量,找准不等关系.
(2)设出起关键作用的未知量,用不等式表示不等关系(或表示成函数关系).
(3)解不等式(或求函数最值).
(4)回扣实际问题.
思考3:解一元二次不等式应用题的关键是什么?
[提示] 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,选择其中起关键作用的未知量为x,用x来表示其他未知量,根据题意,列出不等关系再求解.
1.若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B=,则A∩B等于( )
A.{x|-1≤x<0} B.{x|00在R上恒成立,则实数a的取值范围是 .
(0,8) [因为x2-ax+2a>0在R上恒成立,
所以Δ=a2-4×2a<0,所以00,y>0,x<40,y<40,xy≥300,整理得y+x=40,将y=40-x代入xy≥300,整理得x2-40x+300≤0,解得10≤x≤30.]
分式不等式的解法
【例1】 解下列不等式:
(1)<0;
(2)≤1.
[解] (1)<0⇔(x-3)(x+2)<0⇔-23.
即知原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}.
(2)不等式<3可改写为-3<0,
即<0.
可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,
解得-10恒成立,如何求实数a的取值范围?
[提示] 若a=0,显然ax2+2x+2>0不能对一切x∈R都成立,所以a≠0,此时只有二次函数y=ax2+2x+2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时,才满足题意,则解得a>.
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2.若函数y=x2-ax-3对x∈[-3,-1]上恒有x2-ax-3<0成立,如何求a的范围?
[提示] 要使x2-ax-3<0在[-3,-1]上恒成立,则必使函数y=x2-ax-3在[-3,-1]上的图象在x轴的下方,由函数y=x2-ax-3的图象可知,此时a应满足
即
解得a<-2.
故当a∈(-∞,-2)时,有x2-ax-3<0在x∈[-3,-1]时恒成立.
3.若函数y=x2+2(a-2)x+4对任意a∈[-3,1]时,y<0恒成立,如何求x的取值范围?
[提示] 由于本题中已知a的取值范围求x,所以我们可以把函数y=f(x)转化为关于自变量是a的函数,求参数x的取值问题,则令y=g(a)=2x·a+x2-4x+4.
要使对任意a∈[-3,1],y<0恒成立,只需满足即
因为x2-2x+4<0的解集是空集,
所以不存在实数x,使函数y=x2+2(a-2)x+4对任意a∈[-3,1],y<0恒成立.
【例3】 已知y=x2+ax+3-a,若x∈[-2,2],y≥0恒成立,求a的取值范围.
[思路点拨] 对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于零的问题,可以利用函数的图象与性质求解.
[解] 设函数y=x2+ax+3-a在x∈[-2,2]时的最小值为m,则
(1)当对称轴x=-<-2,即a>4时,m=7-3a≥0,解得a≤,与a>4矛盾,不符合题意.
(2)当-∈[-2,2],即-4≤a≤4时,m=3-a-≥0,解得-6≤a≤2,此时-4≤a≤2.
(3)当->2,即a<-4时,m=7+a≥0,解得a≥-7,此时-7≤a<-4.
综上,a的取值范围为-7≤a≤2.
1.(变结论)本例条件不变,若y≥2恒成立,求a的取值范围.
[解] 若x∈[-2,2],y≥2恒成立可转化为:当x∈[-2,2]时,函数的最小值m≥2⇔
或或
解得a的取值范围为[-5,-2+2].
2.(变条件)将例题中的条件“y=x2+ax+3-a,x∈[-2,2],y≥0恒成立”变为“不等式x2+2x+a2-3>0的解集为R”,求a的取值范围.
[解] 法一:∵不等式x2+2x+a2-3>0的解集为R,
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∴函数y=x2+2x+a2-3的图象应在x轴上方,
∴Δ=4-4(a2-3)<0,解得a>2或a<-2.
法二:令y=x2+2x+a2-3,要使x2+2x+a2-3>0的解集为R,则a满足函数的最小值m=a2-4>0,解得a>2或a<-2.
法三:由x2+2x+a2-3>0,得a2>-x2-2x+3,即a2>-(x+1)2+4,要使该不等式在R上恒成立,必须使a2大于-(x+1)2+4的最大值,即a2>4,故a>2或a<-2.
1.不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是:当a=0时,b=0,c>0;
当a≠0时,
2.不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是:当a=0时,b=0,c<0;
当a≠0时,
3.y≤a恒成立⇔a≥M(函数的最大值为M),
y≥a恒成立⇔a≤m(函数的最小值为m).
1.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有分母时,分母不为零.
2.对于某些恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然,这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时,经常要用到以下简单结论:
(1)若关于x的函数有最大值M,则a>y恒成立⇔a>M;(2)若关于x的函数有最小值m,则a1的解集为x<1. ( )
(2)求解m>x2+mx恒成立时,可转化为求解函数y=x2+mx的最大值,从而求出m的范围. ( )
[提示] (1)>1⇒-1>0⇒<0⇒{x|0400,解得15≤x<20.
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入,应当制定这批台灯的销售价格为x∈[15,20).
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