高考文科数学复习备课课件：第一节　不等关系与不等式 22页

文数 课标 版 第一节　不等关系与不等式 教材研读   1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法( a , b ∈R):   (2)作商法( a ∈R, b ∈R + ):   2.不等式的基本性质 性质 性质内容 注意 对称性 a > b ⇔ ⑦      b < a      ⇔ 传递性 a > b , b > c ⇒ ⑧      a > c      ⇒ 可加性 a > b ⇔ ⑨      a + c > b + c      ⇔ 可乘性   ⇒        ac > bc      c 的符号   ⇒        ac < bc      同向可加性   ⇒        a + c > b + d      ⇒ 同向同正可乘性   ⇒        ac > bd      ⇒ 可乘方性 a > b >0 ⇒        a n > b n      ( n ∈N, n ≥ 1) 同正 可开方性 a > b >0 ⇒   >   ( n ∈N, n ≥ 2) 3.不等式的一些常用性质 (1)倒数性质 (i) a > b , ab >0 ⇒     　<       . (ii) a <0< b ⇒     　<       . (iii) a > b >0,0< c < d ⇒     　>       . (iv)0< a < x < b 或 a < x < b <0 ⇒     　<         　<       . (2)有关分式的性质 若 a > b >0, m >0,则 (i)   <   ;   >   ( b - m >0). (ii)   >   ;   <   ( b - m >0). 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1) a > b ⇔ ac 2 > bc 2 .   ( × ) (2)   >   ⇔ a < b ( ab ≠ 0).   ( × ) (3) a > b , c > d ⇒ ac > bd .   ( × ) (4)若   <   <0,则| a |>| b |.   ( × ) (5)若 a > b ,则 a 2 > b 2 .   ( × )   1.已知 a > b , c > d ,且 c , d 不为0,那么下列不等式成立的是   (　　) A. ad > bc 　    B. ac > bd C. a - c > b - d 　    D. a + c > b + d 答案     D　由不等式的性质知, a > b , c > d ⇒ a + c > b + d . 2.已知 a , b , c ∈R,则“ a > b ”是“ ac 2 > bc 2 ”的   (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案     B     ac 2 > bc 2 ⇒ a > b ,但当 c =0时, a > b ⇒ / ac 2 > bc 2 . 故“ a > b ”是“ ac 2 > bc 2 ”的必要不充分条件. 3.如果 a < b <0,那么下列不等式成立的是   (　　) A.   <   　    B. ab < b 2 C.- ab <- a 2 　    D.-   <-   答案     D　解法一(性质判断):由 a < b <0,得 b - a >0, ab >0,故   -   =   >0,   >   ,故A项错误;由 a < b <0,得 b ( a - b )>0, ab > b 2 ,故B项错误;由 a < b <0,得 a ( a - b )>0, a 2 > ab ,即- ab >- a 2 ,故C项错误;由 a < b <0,得 a - b <0, ab >0,故-   -   =   <0,-   <-   成立,故选D. 解法二(特殊值法):令 a =-2, b =-1,则   =-   >   =-1, ab =2> b 2 =1,- ab =-2>- a 2 =-4, -   =   <-   =1.故A、B、C项错误,D项正确. 4.设 a , b ∈[0,+ ∞ ), A =   +   , B =   ,则 A , B 的大小关系是   (　　) A. A ≤ B 　    B. A ≥ B 　    C. A < B 　    D. A > B 答案     B　由题意得, B 2 - A 2 =-2   ≤ 0,且 A ≥ 0, B ≥ 0,可得 A ≥ B . 5.已知-2< a <-1,-3< b <-2,则 a - b 的取值范围是 　　　     , a 2 + b 2 的取值范围 是 　　　     . 答案 　(0,2);(5,13) 解析 　∵-2< a <-1,-3< b <-2, ∴2<- b <3,1< a 2 <4,4< b 2 <9. ∴0< a - b <2,5< a 2 + b 2 <13. 考点一　比较两个数(式)的大小 典例1 　(1)已知 a 1 , a 2 ∈(0,1).记 M = a 1 a 2 , N = a 1 + a 2 -1,则 M 与 N 的大小关系是   (　　) A. M < N 　    B. M > N C. M = N 　    D.不确定 (2)若 a =   , b =   ,则 a 　　　     b (填“>”或“<”). 答案　 (1)B　(2)< 考点突破 解析 　(1) M - N = a 1 a 2 -( a 1 + a 2 -1)=( a 1 -1)( a 2 -1), ∵ a 1 , a 2 ∈(0,1),∴( a 1 -1)( a 2 -1)>0,∴ M > N .故选B. (2)易知 a , b 都是正数,   =   =log 8 9>1,所以 b > a . 方法技巧 比较两数(式)大小的三种常用方法 (1)作差法: 一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配 方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个 式子都为正时,有时也可以先平方再作差. (2)作商法: 一般步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论. (3)特值法: 若是选择题、填空题,可以用特值法比较大小;若是解答题,可先用特值 探究思路,再用作差或作商法判断. 1-1 　当 x ≥ -1时,设 A =   , B =1+   ,则 A 、 B 的大小关系为   (　　) A. A ≥ B 　    B. A > B 　    C. A ≤ B 　    D. A < B 答案     C　∵ x ≥ -1,∴   ≥ 0,1+   >0. ∴ A 2 - B 2 =(   ) 2 -   =1+ x -   =-   ≤ 0. ∴ A 2 ≤ B 2 ,由于 A ≥ 0, B ≥ 0,∴ A ≤ B .故选C. 1-2 　若 a 1 < a 2 , b 1 < b 2 ,则 a 1 b 1 + a 2 b 2 与 a 1 b 2 + a 2 b 1 的大小关系是 　　　　　　     　     . 答案      a 1 b 1 + a 2 b 2 > a 1 b 2 + a 2 b 1 解析 　作差可得( a 1 b 1 + a 2 b 2 )-( a 1 b 2 + a 2 b 1 )=( a 1 - a 2 )·( b 1 - b 2 ). ∵ a 1 < a 2 , b 1 < b 2 ,∴( a 1 - a 2 )( b 1 - b 2 )>0, 即 a 1 b 1 + a 2 b 2 > a 1 b 2 + a 2 b 1 . 考点二　不等式的性质及应用 典例2 　(1)(2016湖南衡阳八中月考)若 a < b <0,则下列不等式中不成立的 是   (　　) A.| a |>| b |　    B.   >   　    C.   >   　    D. a 2 > b 2 (2)对于实数 a , b , c ,有以下命题:①若 a > b ,则 ac < bc ;②若 ac 2 > bc 2 ,则 a > b ;③若 a < b <0,则 a 2 > ab > b 2 ;④若 c > a > b >0,则   >   ;⑤若 a > b ,   >   ,则 a >0, b <0. 其中真命题的个数是   (　　) A.2　    B.3　    C.4　    D.5 答案　 (1)B　(2)C 解析　 (1)由不等式的性质可得| a |>| b |, a 2 > b 2 ,   >   成立.假设   >   成立, 由 a < b <0得 a - b <0,∴ a ( a - b )>0, 由   >   ⇒ a ( a - b )·   >   · a ( a - b ) ⇒ a > a - b ⇒ b >0,与已知矛盾,故选B. (2)①中, c 的符号不确定,故 ac , bc 的大小关系也不能确定,故为假命题. ②中,由 ac 2 > bc 2 知 c ≠ 0,∴ c 2 >0,∴ a > b ,故为真命题. ③中,由   可得 ab > b 2 , 由   可得 a 2 > ab ,∴ a 2 > ab > b 2 ,故为真命题. ④中,由 a > b 得- a <- b ,∴ c - a < c - b , 又 c > a ,∴0< c - a < c - b ,∴   >   >0. 又 a > b >0,∴   >   ,故为真命题. ⑤中,由 a > b 得 a - b >0, 由   >   得   >0, 又 b - a <0,∴ ab <0, 而 a > b ,∴ a >0, b <0,故为真命题. 综上可得,真命题有4个. 规律总结 1.判断不等式是否成立,需要给出推理判断或举出反例(判定不等式不 成立).进行推理判断常需要利用不等式的性质. 2.在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性 质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当 然判断的同时还可能用到其他知识,比如对数函数的性质,指数函数的 性质等. 2-1     (2017贵州遵义模拟)已知   <   <0,给出下列四个结论: ① a < b ;② a + b < ab ;③| a |>| b |;④ ab < b 2 . 其中正确结论的序号是   (　　) A.①②　    B.②③　    C.②④　    D.③④ 答案     C　∵   <   <0, ∴ b < a <0, ∴| a |<| b |, ab < b 2 , a + b <0, ab >0, ∴ a + b < ab , ∴②④正确,①③错误.故选C. 2-2　 若 a >0> b >- a , c < d <0,则下列结论:① ad > bc ;②   +   <0;③ a - c > b - d ;④ a ( d - c )> b ( d - c )成立的个数是   (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.4 答案     C　∵ a >0> b , c < d <0,∴ ad <0, bc >0, ∴ ad < bc ,故①错误. ∵0> b >- a ,∴ a >- b >0, ∵ c < d <0,∴- c >- d >0, cd >0, ∴ a (- c )>(- b )(- d ), ∴ ac + bd <0,∴   +   =   <0, 故②正确. ∵ c < d ,∴- c >- d , 又∵ a > b ,∴ a +(- c )> b +(- d ), 即 a - c > b - d ,故③正确. ∵ a > b , d - c >0,∴ a ( d - c )> b ( d - c ), 故④正确,故选C. 考点三　与不等式有关的求范围问题 典例3 　已知实数 x , y 满足条件-1< x + y <4且2< x - y <3,则 z =2 x -3 y 的取值范 围是 　　　     . 答案　 (3,8) 解析　 设 z =2 x -3 y = a ( x + y )+ b ( x - y )=( a + b ) x +( a - b ) y , ∴ a + b =2, a - b =-3,解得 a =-   , b =   . 由-1< x + y <4,2< x - y <3,可得-2<-   ( x + y )<   ,5<   ( x - y )<   ,∴3<-   ( x + y )+   ( x - y )<8, 即 z =2 x -3 y ∈(3,8). 规律总结 由 a < f ( x , y )< b , c < g ( x , y )< d 求 F ( x , y )的取值范围,可利用待定系数法解决,设 F ( x , y )= mf ( x , y )+ ng ( x , y ),用恒等变形求得 m , n ,再利用不等式的性质求得 F ( x , y )的取值范围. 3-1 　设 f ( x )= ax 2 + bx ,且1 ≤ f (-1) ≤ 2,2 ≤ f (1) ≤ 4,则 f (-2)的取值范围是 　     　     .(答案用区间表示) 答案 　[5,10] 解析      f (-1)= a - b , f (1)= a + b , f (-2)=4 a -2 b . 设 f (-2)= mf (-1)+ nf (1)( m 、 n 为待定系数), 则4 a -2 b = m ( a - b )+ n ( a + b ),即4 a -2 b =( m + n ) a -( m - n ) b , ∴   解得   ∴ f (-2)=3 f (-1)+ f (1). ∵1 ≤ f (-1) ≤ 2,2 ≤ f (1) ≤ 4, ∴5 ≤ 3 f (-1)+ f (1) ≤ 10,即5 ≤ f (-2) ≤ 10. 故 f (-2)的取值范围是[5,10].