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- 2021-06-10 发布
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商河一中2020年高三期中检测数学试题
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.若复数(i为虚数单位) ,则复数z在复平面上对应的点所在的象限为
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知全集U=R,集合,集合,则
3.已知函数,则函数的定义域为
A. B.
C. D.
4.若直线 .p:a=0,q:l1与l2平行,则下列选项中正确的
A. p是q的必要非充分条件 B. q是p的充分非必要条件
C.p是q的充分非必要条件 D. q是p的非充分也非必要条化
5.在△ABC中,如果,那么△ABC的形状为
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形
6.函数的图象大致为
7.设,则的大小关系是
A. B.
C. D.
8.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若a,b,E为BF的中点,则
A. a+b B.a+b C.a+b D.a+b
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多页符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。
9.将函数的图象向右平移 个单位长度得到函数y=g(x)的图象,若函数g(x)在区间上是单调增函数,则实数ω可能的取值为
A. В. 1 C. D. 2
10.在悠久灿烂的中国古代文化中,数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩。《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一,大约创作于公元五世纪。书中有如下问题: “今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈,问日益几何? ”。其大意为: “有一女子擅长织布,织布的速度一天比一天快,从第二天起,每天比前一天多织相同数量的布,第一天织5尺,一个月共织了九匹三丈,问从第二天起,每天比前一天多织多少尺布?”。已知1匹=4丈, 1丈=10尺,若这一个月有30天,记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为,对于数列,下列选项中正确的为
A. B.是等比数列
C. D
11.已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线,且切点的横坐标都大于零,则实数a可能的取值
12.已知函数的定义域为导函数为且,则
在处取得极大值
在单调递增
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若函数__________.
14.在三棱锥中,侧棱底面ABC,,且,则该三棱锥的外接球的体积为_________.
15.已知则________,________.
16.已知函数.若,使得,则实数的最大值为__________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知中,三个内角,,所对的边分别是,,.
(1)证明:;
(2)在①,②,③这三个条件中任选一个补充在下面问题中,并解答
若,,________,求的周长.
18.设等差数列的前项和为,等比数列的前项和为.已知,,,,.
(1)求,的通项公式;
(2)是否存在正整数,使得且?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
19.如图,三棱维中,平面平面,,,是棱的中点,点在棱上,点是的重心.
(1)若是的中点,证明面;
(2)是否存在点,使二面角的大小为,若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
20、已知圆,直线.
(1).若直线与圆交于不同的两点,当时,求的值;
(2).若,是直线上的动点,过作圆的两条切线切点为,问:直线是否过定点?若过定点,则求出定点坐标;若不过定点,请说明理由;
21、已知函数.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)已知时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
22.已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)当时,证明:;
(2)设函数,当时,证明:;
(3)若数列满足:,,.证明:.
期中考试数学答案
一、 单选BADC AAAA
二、 多选9.ABC 10.BD 11.AC 12.ACD
三、填空13. 1 14. 15.;. 16.2
四、简答
17.已知中,三个内角,,所对的边分别是,,.
(1)证明:;
(2)在①,②c,③这三个条件中任选一个补充在下面问题中,并解答
若,,________,求的周长.
【详解】(1)根据余弦定理:
,所以.
(2)选①:因为,所以,
所以由(1)中所证结论可知,,即,
因为,所以;
选②:因为,所以,
由(1)中证明过程同理可得,,
所以,即,因为,所以;
选③:因,所以,
由(1)中的证明过程同理可得,,
所以,即,因为,所以.
在中,由余弦定理知,,
即,解得或(舍),所以,
即的周长为20.
18.设等差数列的前项和为,等比数列的前项和为.已知,,,,.
(1)求,的通项公式;
(2)是否存在正整数,使得且?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【详解】解:(1)设数列的为,在数列中,
又因为,所以
从而,所以
由得:
因为,设数列的公比为
所以,所以
(2)由(1)知:
所以,整理得,解得
又因为
所以,即,解得
所以
19.如图,三棱维中,平面平面,,,
是棱的中点,点在棱上点是的重心.
(1)若是的中点,证明面;
(2)是否存在点,使二面角的大小为,若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
【详解】(1)延长交于点,连接,因为点是的重心,故为的中点,
因为,分别是棱,的中点,所以,,
又因为,所以平面平面,又平面,
所以平面.
(2)连接,因为,所以,又是的中点,
所以,
因为平面平面,而平面平面,平面,
所以平面,
如图,以为原点,垂直于的直线为轴,,所在直线分别为轴,轴建空间直角坐标系,
设,则,,
所以,,,,,
假设存在点,设,,
则,
所以,又,
设平面的法向量为,则,
令,解得,
又平面,平面的法向量,
而二面角的大小为,所以,
即,解得,
所以存在点,使二面角的大小为,此时.
20.已知圆,直线.
(1).若直线与圆交于不同的两点,当时,求的值;
(2).若,是直线上的动点,过作圆的两条切线切点为,问:直线是否过定点?若过定点,则求出定点坐标;若不过定点,请说明理由;
答案:1.设圆的半径为,∵,∴点到直线的距离,∴,解得.
2.由题意可知四点在以为直径的圆上,设,则该圆的方程为,即.
∵在圆上,
∴直线的方程为,即.
由,得,
∴直线过定点.
21.已知函数.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)已知时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
22.已知函数
(1)求函数的最大值;
(2)令,若既有极大值,又有极小值,求实数
的范围;
(3)求证:当时,
22. 证明:(1),在上,,函数单调递增,在上,,函数 单调递减,当时,。--------------------------3分
(2)
--------------------------------------4分
既有极大值,又有极小值等价于在区间上有两个不相等的实数根。---5分
即解得,求实数a的范围------------------8分
(3)由(1)得,当,,即,可得,---------9分
于是,,…,。于是。
-----------------------------------------------------------------------------12分
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