2014年山东省高考数学试卷（理科） 26页

‎2014年山东省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（　　）‎ A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i ‎2．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（　　）‎ A．[0，2] B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）‎ ‎3．（5分）函数f（x）=的定义域为（　　）‎ A．（0，） B．（2，+∞） C．（0，）∪（2，+∞） D．（0，]∪[2，+∞）‎ ‎4．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（　　）‎ A．方程x3+ax+b=0没有实根 B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 ‎5．（5分）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（　　）‎ A．＞ B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）‎ C．sinx＞siny D．x3＞y3‎ ‎6．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（　　）‎ A．2 B．4 C．2 D．4‎ ‎7．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]‎ ‎，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（　　）‎ A．6 B．8 C．12 D．18‎ ‎8．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，+∞）‎ ‎9．（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（　　）‎ A．5 B．4 C． D．2‎ ‎10．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（　　）‎ A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11．（5分）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为　　．‎ ‎12．（5分）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为　　．‎ ‎13．（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=　　．‎ ‎14．（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为　　．‎ ‎15．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．‎ ‎（Ⅰ）求m，n的值；‎ ‎（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜‎ π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．‎ ‎17．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；‎ ‎（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．‎ ‎18．（12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：‎ ‎（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；‎ ‎（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．‎ ‎19．（12分）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令bn=（﹣1）n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎20．（13分）设函数f（x）=﹣k（+‎ lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．‎ ‎21．（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，‎ ‎（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；‎ ‎（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2014年山东省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）（2014•山东）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（　　）‎ A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i ‎【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．‎ ‎【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，‎ ‎∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2014•山东）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（　　）‎ A．[0，2] B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）‎ ‎【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．‎ ‎【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，‎ B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，‎ 则A∩B={x丨1≤y＜3}，‎ 故选：C ‎　‎ ‎3．（5分）（2014•山东）函数f（x）=的定义域为（　　）‎ A．（0，） B．（2，+∞） C．（0，）∪（2，+∞） D．（0，]∪[2，+∞）‎ ‎【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域．‎ ‎【解答】解：要使函数有意义，则，‎ 即log2x＞1或log2x＜﹣1，‎ 解得x＞2或0＜x＜，‎ 即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），‎ 故选：C ‎　‎ ‎4．（5分）（2014•山东）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（　　）‎ A．方程x3+ax+b=0没有实根 B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 ‎【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．‎ ‎【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，‎ ‎∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2014•山东）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（　　）‎ A．＞ B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）‎ C．sinx＞siny D．x3＞y3‎ ‎【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．‎ ‎【解答】解：∵实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），∴x＞y，‎ A．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但==，故＞不成立．‎ B．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但ln（x2+1）=ln（y2+1）=ln2，故ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立．‎ C．当x=π，y=0时，满足x＞y，此时sinx=sinπ=0，siny=sin0=0，有sinx＞siny，但sinx＞siny不成立．‎ D．∵函数y=x3为增函数，故当x＞y时，x3＞y3，恒成立，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2014•山东）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（　　）‎ A．2 B．4 C．2 D．4‎ ‎【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．‎ ‎【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，‎ 曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，‎ 而∫（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|=8﹣4=4，‎ ‎∴曲边梯形的面积是4，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2014•山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（　　）‎ A．6 B．8 C．12 D．18‎ ‎【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；‎ ‎【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，‎ 第三组中没有疗效的有6人，‎ 第三组中有疗效的有12人．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2014•山东）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，+∞）‎ ‎【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．‎ ‎【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）‎ 和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，‎ 如图所示：KOA=，‎ 数形结合可得 ＜k＜1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2014•山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（　　）‎ A．5 B．4 C． D．2‎ ‎【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0．a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作可行域如图，‎ 联立，解得：A（2，1）．‎ 化目标函数为直线方程得：（b＞0）．‎ 由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．‎ ‎∴2a+b=2．‎ 即2a+b﹣2=0．‎ 则a2+b2的最小值为．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2014•山东）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（　　）‎ A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0‎ ‎【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，‎ 双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，‎ ‎∵C1与C2的离心率之积为，‎ ‎∴，‎ ‎∴=，=，‎ C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11．（5分）（2014•山东）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为　3　．‎ ‎【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．‎ ‎【解答】解：循环前输入的x的值为1，‎ 第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，‎ 满足判断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，‎ 满足判断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0‎ 满足判断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，‎ 输出n：3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2014•山东）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为　　．‎ ‎【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得AB•AC=，再根据△ABC的面积为 AB•AC•sinA，计算求得结果．‎ ‎【解答】解：△ABC中，∵•=AB•AC•cosA=tanA，‎ ‎∴当A=时，有 AB•AC•=，解得AB•AC=，‎ ‎△ABC的面积为 AB•AC•sinA=××=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2014•山东）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=　　．‎ ‎【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．‎ ‎【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，‎ 三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，‎ ‎∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，‎ ‎∴==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2014•山东）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为　2　．‎ ‎【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．‎ ‎【解答】解：（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，‎ 所以Tr+1==，‎ 令12﹣3r=3，∴r=3，，‎ ‎∴ab=1，‎ a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号．‎ a2+b2的最小值为：2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2014•山东）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是　（2，+∞）　．‎ ‎【分析】根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：根据“对称函数”的定义可知，，‎ 即h（x）=6x+2b﹣，‎ 若h（x）＞g（x）恒成立，‎ 则等价为6x+2b﹣＞，‎ 即3x+b＞恒成立，‎ 设y1=3x+b，y2=，‎ 作出两个函数对应的图象如图，‎ 当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=，‎ 即|b|=2，‎ ‎∴b=2或﹣2，（舍去），‎ 即要使h（x）＞g（x）恒成立，‎ 则b＞2，‎ 即实数b的取值范围是（2，+∞），‎ 故答案为：（2，+∞）‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16．（12分）（2014•山东）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．‎ ‎（Ⅰ）求m，n的值；‎ ‎（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可得 函数f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），解方程组求得m、n的值．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（2x+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2sin（2x+2φ+）的图象，再由函数g（x）的一个最高点在y轴上，求得φ=，可得g（x）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x的范围，可得g（x）的增区间．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可得 函数f（x）=•=msin2x+ncos2x，‎ 再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），可得 ．‎ 解得 m=，n=1．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）．‎ 将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，‎ 得到函数g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，显然函数g（x）最高点的纵坐标为2．‎ y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，‎ 故函数g（x）的一个最高点在y轴上，‎ ‎∴2φ+=2kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=，‎ 故g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．‎ 令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得 kπ﹣≤x≤kπ，‎ 故y=g（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ]，k∈Z．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2014•山东）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；‎ ‎（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接AD1，易证AMC1D1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得C1M∥平面A1ADD1；‎ ‎（Ⅱ）作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，易求C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），=（1，1，0），=（，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），可求得=（0，2，1），而平面ABCD的法向量=（1，0，0），从而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）连接AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，∴CDC1D1，‎ 又M为AB的中点，∴AM=1．‎ ‎∴CD∥AM，CD=AM，‎ ‎∴AMC1D1，‎ ‎∴AMC1D1为平行四边形，∴AD1∥MC1，又MC1⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，‎ ‎∴C1M∥平面A1ADD1；‎ ‎（Ⅱ）解法一：∵AB∥A1B1，A1B1∥C1D1，‎ ‎∴面D1C1M与ABC1D1共面，‎ 作CN⊥AB，连接D1N，则∠D1NC即为所求二面角，‎ 在ABCD中，DC=1，AB=2，∠DAB=60°，‎ ‎∴CN=，‎ 在Rt△D1CN中，CD1=，CN=，‎ ‎∴D1N=‎ ‎∴cos∠D1CN===‎ 解法二：作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系 则C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），‎ ‎∴=（1，0，0），=（，，﹣），‎ 设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），‎ 则，∴=（0，2，1）．‎ 显然平面ABCD的法向量=（0，0，1），‎ cos＜，＞|===，‎ 显然二面角为锐角，‎ ‎∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2014•山东）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：‎ ‎（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；‎ ‎（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．‎ ‎【分析】（Ⅰ）分别求出回球前落点在A上和B上时，回球落点在乙上的概率，进而根据分类分布原理，可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；‎ ‎（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六种情况，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）小明回球前落点在A上，回球落点在乙上的概率为+=，‎ 回球前落点在B上，回球落点在乙上的概率为+=，‎ 故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P=×（1﹣）+（1﹣）×=+=．‎ ‎（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6‎ 其中P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）=；‎ P（ξ=1）=×（1﹣）+（1﹣）×=；‎ P（ξ=2）=×=；‎ P（ξ=3）=×（1﹣）+（1﹣）×=；‎ P（ξ=4）=×+×=；‎ P（ξ=6）=×=；‎ 故ξ的分布列为：‎ ‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 6‎ ‎ P 故ξ的数学期望为E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×+6×=．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2014•山东）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令bn=（﹣1）n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=．对n分类讨论“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，‎ ‎∴Sn==n2﹣n+na1，‎ ‎∵S1，S2，S4成等比数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴，化为，解得a1=1．‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=（﹣1）n﹣1==．‎ ‎∴Tn=﹣++…+．‎ 当n为偶数时，Tn=﹣++…+﹣‎ ‎=1﹣=．‎ 当n为奇数时，Tn=﹣++…﹣+=1+=．‎ ‎∴Tn=．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2014•山东）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），‎ ‎∴f′（x）=﹣k（﹣）‎ ‎=（x＞0），‎ 当k≤0时，kx≤0，‎ ‎∴ex﹣kx＞0，‎ 令f′（x）=0，则x=2，‎ ‎∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；‎ 当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，‎ ‎∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，‎ 故f（x）在（0，2）内不存在极值点；‎ 当k＞0时，设函数g（x）=ex﹣kx，x∈（0，+∞）．‎ ‎∵g′（x）=ex﹣k=ex﹣elnk，‎ 当0＜k≤1时，‎ 当x∈（0，2）时，g′（x）=ex﹣k＞0，y=g（x）单调递增，‎ 故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；‎ 当k＞1时，‎ 得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，‎ x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，‎ ‎∴函数y=g（x）的最小值为g（lnk）=k（1﹣lnk）‎ 函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点 当且仅当 解得：e 综上所述，‎ 函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e，）‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，‎ ‎（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；‎ ‎（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；‎ ‎（2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l1∥l，且l1‎ 和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；‎ ‎（ⅱ） 利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值．‎ ‎【解答】解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，‎ A（3，），F（，0），，‎ ‎∴．‎ ‎∵△ADF为正三角形，‎ ‎∴．‎ ‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴p=2．‎ ‎∴C的方程为y2=4x．‎ 当D在焦点F的左侧时，．‎ 又|FD|=2|FG|=2（﹣3）=p﹣6，‎ ‎∵△ADF为正三角形，‎ ‎∴3+=p﹣6，解得p=18，‎ ‎∴C的方程为y2=36x．此时点D在x轴负半轴，不成立，舍．‎ ‎∴C的方程为y2=4x．‎ ‎ （2）（ⅰ）设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，‎ ‎∴D（x1+2，0），‎ ‎∴kAD=﹣．‎ 由直线l1∥l可设直线l1方程为，‎ 联立方程，消去x得①‎ 由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=﹣2，‎ 这时方程①的解为，代入得x=m2，∴E（m2，2m）．‎ 点A的坐标可化为，直线AE方程为y﹣2m=（x﹣m2），‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线AE过定点（1，0）；‎ ‎（ⅱ）直线AB的方程为，即．‎ 联立方程，消去x得，‎ ‎∴，‎ ‎∴=，‎ 由（ⅰ）点E的坐标为，点E到直线AB的距离为：‎ ‎=，‎ ‎∴△ABE的面积=，‎ 当且仅当y1=±2时等号成立，‎ ‎∴△ABE的面积最小值为16．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；maths；qiss；sxs123；刘长柏；wfy814；豫汝王世崇；沂蒙松；静定禅心；minqi5（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日