2007年辽宁省高考数学试卷（文科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 6页

‎2007年辽宁省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 若集合A={1, 3}‎，B={2, 3, 4}‎，则A∩B=(‎ ‎‎)‎ A.‎{1}‎ B.‎{2}‎ C.‎{3}‎ D.‎‎{1, 2, 3, 4}‎ ‎2. 若函数y=f(x)‎的反函数图象过点‎(1, 5)‎，则函数y=f(x)‎的图象必过点（ ）‎ A.‎(1, 1)‎ B.‎(1, 5)‎ C.‎(5, 1)‎ D.‎‎(5, 5)‎ ‎3. 双曲线x‎2‎‎16‎‎-y‎2‎‎9‎=1‎的焦点坐标为（ ）‎ A.‎(-‎7‎，0)‎，‎(‎7‎，0)‎ B.‎(0,-‎7‎)‎，‎‎(0,‎7‎)‎ C.‎(-5, 0)‎，‎(5, 0)‎ D.‎(0, -5)‎，‎‎(0, 5)‎ ‎4. 若向量a‎→‎与b‎→‎不共线，a‎→‎‎⋅b‎→‎≠0‎，且c‎→‎‎=a‎→‎-(a‎→‎‎⋅‎b‎→‎‎˙‎)‎b‎→‎，则向量a‎→‎与c‎→‎的夹角为（ ）‎ A.‎0‎ B.π‎6‎ C.π‎3‎ D.‎π‎2‎ ‎5. 设等差数列‎{an}‎的前n项和为Sn，若S‎3‎‎=9‎，S‎6‎‎=36‎，则a‎7‎‎+a‎8‎+a‎9‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎63‎ B.‎45‎ C.‎36‎ D.‎‎27‎ ‎6. 若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B.若α∩γ=m，β∩γ=n，m // n，则α // β C.若α⊥γ，α⊥β，则β // γ D.若m⊥β，m // α，则α⊥β ‎7. 若函数y=f(x)‎的图象按向量a‎→‎平移后，得到函数y=f(x+1)-2‎的图象，则向量a‎→‎‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎(-1, -2)‎ B.‎(1, -2)‎ C.‎(-1, 2)‎ D.‎‎(1, 2)‎ ‎8. 已知变量x，y满足约束条件x-y+2≤0‎x≥1‎x+y-7≤0‎‎ ‎，则yx的取值范围是（ ）‎ A.‎[‎9‎‎5‎,6]‎ B.‎‎(-∞,‎9‎‎5‎]∪[6,+∞)‎ C.‎(-∞, 3]∪[6, +∞)‎ D.‎‎[3, 6]‎ ‎9. 函数y=log‎1‎‎2‎(x‎2‎-5x+6)‎的单调增区间为（ ）‎ A.‎(‎5‎‎2‎，+∞)‎ B.‎(3, +∞)‎ C.‎(-∞,‎5‎‎2‎)‎ D.‎‎(-∞, 2)‎ ‎10. 一个坛子里有编号为‎1‎，‎2‎，‎⋯‎，‎12‎的‎12‎个大小相同的球，其中‎1‎到‎6‎号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有‎1‎个球的号码是偶数的概率是(        )‎ A.‎1‎‎22‎ B.‎1‎‎11‎ C.‎3‎‎22‎ D.‎‎2‎‎11‎ ‎11. 设p，q是两个命题：p：log‎1‎‎2‎(|x|-3)>0，q：x‎2‎-‎5‎‎6‎x+‎1‎‎6‎>0‎，则p是q的（ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎12. 将数字‎1‎，‎2‎，‎3‎，‎4‎，‎5‎，‎6‎拼成一列，记第i个数为ai‎(i=1, 2‎,…,‎6)‎，若a‎1‎‎≠1‎，a‎3‎‎≠3‎，a‎5‎‎≠5‎，a‎1‎‎0‎）‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎求函数f(x)‎的值域；‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎若函数y＝f(x)‎的图象与直线y＝‎-1‎的两个相邻交点间的距离为π‎2‎，求函数y＝f(x)‎的单调增区间．‎ ‎ 6 / 6‎ ‎20. 已知数列‎{an}‎，‎{bn}‎满足a‎1‎‎=2‎，b‎1‎‎=1‎，且an‎=‎3‎‎4‎an-1‎+‎1‎‎4‎bn-1‎+1‎bn‎=‎1‎‎4‎an-1‎+‎3‎‎4‎bn-1‎+1‎‎(n≥2)‎ ‎（1）令cn‎=an+‎bn，求数列‎{cn}‎的通项公式；‎ ‎（2）求数列‎{an}‎的通项公式及前n项和公式Sn．‎ ‎21. 已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y‎2‎‎=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）设圆M的方程为‎(x-4-7cosθ‎)‎‎2‎+(y-7sinθ‎)‎‎2‎=1‎，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求CE‎→‎‎⋅‎CF‎→‎的最大值和最小值．‎ ‎22. 已知函数f(x)=x‎3‎-9x‎2‎cosα+48xcosβ+18sin‎2‎α，g(x)=f‎'‎(x)‎，且对任意的实数t均有g(1+cost)≥0‎，g(3+sint)≤0‎．‎ ‎(I)‎求函数f(x)‎的解析式；‎ ‎(II)‎若对任意的m∈[-26, 6]‎，恒有f(x)≥x‎2‎-mx-11‎，求x的取值范围．‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年辽宁省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.C ‎2.C ‎3.C ‎4.D ‎5.B ‎6.D ‎7.A ‎8.A ‎9.D ‎10.D ‎11.A ‎12.B 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13.‎‎1‎ ‎14.‎‎72‎ ‎15.‎‎4‎3‎π ‎16.‎‎2‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17.解：‎‎(I)‎ 分组 ‎[500, 900)‎ ‎[900, 1100)‎ ‎[1100, 1300)‎ ‎[1300, 1500)‎ ‎[1500, 1700)‎ ‎[1700, 1900)‎ ‎[1900, +∞)‎ 频数 ‎48‎ ‎121‎ ‎208‎ ‎223‎ ‎193‎ ‎165‎ ‎42‎ 频率 ‎0.048‎ ‎0.121‎ ‎0.208‎ ‎0.223‎ ‎0.193‎ ‎0.165‎ ‎0.042‎ ‎(II)‎由‎(I)‎可得‎0.048+0.121+0.208+0.223=0.6‎，‎ 所以灯管使用寿命不足‎1500‎小时的频率为‎0.6‎．‎ ‎(III)‎由‎(II)‎知，‎1‎支灯管使用寿命不足‎1500‎小时的概率P‎1‎‎=0.6‎，‎ 另一支灯管使用寿命超过‎1500‎小时的概率P‎2‎‎=1-P‎1‎=1-0.6=0.4‎，‎ 则这两支灯管中恰有‎1‎支灯管的使用寿命不足‎1500‎小时的概率是P‎1‎P‎2‎‎+P‎2‎P‎1‎=2×0.6×0.4=0.48‎．‎ 所以有‎2‎支灯管的使用寿命不足‎1500‎小时的概率是‎0.48‎．‎ ‎18.解：（1）证明：连接CD，‎ 三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎是直三棱柱，∴ CC‎1‎⊥‎平面ABC，∴ CD为C‎1‎D在平面ABC内的射影．∵ ‎△ABC中，AC=BC，D为AB中点，∴ AB⊥CD，∴ AB⊥C‎1‎D∵ A‎1‎B‎1‎‎ // AB，∴ ‎A‎1‎B‎1‎‎⊥C‎1‎D ‎（2）解：过点A作CE的平行线，‎ 交ED的延长线于F，连接MF∵ D，E分别为AB，BC的中点，∴ ‎DE // AC 又∵ AF // CE，CE⊥AC∴ AF⊥DE∵ MA⊥‎平面ABC，∴ AF为MF在平面ABC内的射影∴ MF⊥DE∴ ‎∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，‎‎∠MFA=‎‎30‎‎∘‎ 在Rt△MAF中，AF=‎1‎‎2‎BC=‎a‎2‎，‎∠MFA=‎‎30‎‎∘‎，∴ ‎AM=‎3‎‎6‎a 作AG⊥MF，垂足为G，∵ MF⊥DE，AF⊥DE，∴ DE⊥‎平面AMF，∵ 平面MDE⊥‎平面AMF，∴ AG⊥‎平面MDE ‎ 6 / 6‎ 在Rt△GAF中，‎∠GFA=‎‎30‎‎∘‎，AF=‎a‎2‎，∴ AG=‎a‎4‎，即A到平面MDE的距离为a‎4‎∵ CA // DE，∴ CA // ‎平面MDE，∴ C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为a‎4‎．‎ ‎19.‎‎(I)f(x)=‎3‎‎2‎sinωx+‎1‎‎2‎cosωx+‎3‎‎2‎sinωx-‎1‎‎2‎cosωx-(cosωx+1)‎ ‎=2(‎3‎‎2‎sinωx-‎1‎‎2‎cosωx)-1‎ ‎=2sin(ωx-π‎6‎)-1‎‎．‎ 由‎-1≤sin(ωx-π‎6‎)≤1‎，得‎-3≤2sin(ωx-π‎6‎)-1≤1‎，‎ 可知函数f(x)‎的值域为‎[-3, 1]‎．‎ ‎(II)‎由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)‎的周期为π，‎ 又由ω>0‎，得‎2πω‎=π，即得ω＝‎2‎．‎ 于是有f(x)=2sin(2x-π‎6‎)-1‎，‎ 再由‎2kπ-π‎2‎≤2x-π‎6‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z)‎，‎ 解得kπ-π‎6‎≤x≤kπ+π‎3‎(k∈Z)‎ 所以y＝f(x)‎的单调增区间为‎[kπ-π‎6‎,kπ+π‎3‎](k∈Z)‎ ‎20.解：（1）由题设得an‎+bn=(an-1‎+bn-1‎)+2(n≥2)‎，即cn‎=cn-1‎+2(n≥2)‎ 易知‎{cn}‎是首项为a‎1‎‎+b‎1‎=3‎，公差为‎2‎的等差数列，通项公式为cn‎=2n+1‎ ‎（2）解：由题设得an‎-bn=‎1‎‎2‎(an-1‎-bn-1‎)(n≥2)‎，令dn‎=an-‎bn，则dn‎=‎1‎‎2‎dn-1‎(n≥2)‎、‎ 易知‎{dn}‎是首项为a‎1‎‎-b‎1‎=1‎，公比为‎1‎‎2‎的等比数列，通项公式为dn‎=‎‎1‎‎2‎n-1‎ 由an‎+bn=2n+1‎an‎-bn=‎‎1‎‎2‎n-1‎解得an‎=‎1‎‎2‎n+n+‎‎1‎‎2‎，‎ 求和得Sn‎=-‎1‎‎2‎n+n‎2‎‎2‎+n+1‎ ‎21.解：（1）解法一：设A，B两点坐标分别为‎(y‎1‎‎2‎‎2‎，y‎1‎)‎，‎(y‎2‎‎2‎‎2‎，y‎2‎)‎，‎ 由题设知‎(y‎1‎‎2‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎y‎2‎‎2‎‎=‎(y‎1‎‎2‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎y‎2‎‎2‎=‎‎(y‎1‎‎2‎‎2‎-y‎2‎‎2‎‎2‎‎)‎‎2‎+(y‎1‎-‎y‎2‎‎)‎‎2‎ 解得y‎1‎‎2‎‎=y‎2‎‎2‎=12‎，‎ 所以A(6,2‎3‎)‎，B(6,-2‎3‎)‎或A(6,-2‎3‎)‎，B(6,2‎3‎)‎．‎ 设圆心C的坐标为‎(r, 0)‎，则r=‎2‎‎3‎×6=4‎，‎ 所以圆C的方程为‎(x-4‎)‎‎2‎+y‎2‎=16‎．‎ 解法二：设A，B两点坐标分别为‎(x‎1‎, y‎1‎)‎，‎(x‎2‎, y‎2‎)‎，由题设知x‎1‎‎2‎‎+y‎1‎‎2‎=x‎2‎‎2‎+‎y‎2‎‎2‎ 又因为y‎1‎‎2‎‎=2‎x‎1‎，y‎2‎‎2‎‎=2‎x‎2‎，可得x‎1‎‎2‎‎+2x‎1‎=x‎2‎‎2‎+2‎x‎2‎．即‎(x‎1‎-x‎2‎)(x‎1‎+x‎2‎+2)=0‎ 由x‎1‎‎>0‎，x‎2‎‎>0‎，可知x‎1‎‎=‎x‎2‎，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上 设C点的坐标为‎(r, 0)‎，则A点坐标为‎(‎3‎‎4‎r，‎3‎‎2‎r)‎，于是有‎(‎3‎‎2‎r‎)‎‎2‎=2×‎3‎‎2‎r，‎ 解得r=4‎，‎ 所以圆C的方程为‎(x-4‎)‎‎2‎+y‎2‎=16‎．‎ ‎（2）解：设‎∠ECF=2α，则CE‎→‎‎⋅CF‎→‎=|CE‎→‎|⋅|CF‎→‎|⋅cos2α=16cos2α=32cos‎2‎α-16‎．‎ 在Rt△PCE中，cosα=x‎|PC|‎=‎‎4‎‎|PC|‎，由圆的几何性质得‎|PC|≤|MC|+1=7+1=8‎，‎|PC|≥|MC|-1=7-1=6‎，‎ 所以‎1‎‎2‎‎≤cosα≤‎‎2‎‎3‎，由此可得‎-8≤CE‎→‎⋅CF‎→‎≤-‎‎16‎‎9‎．‎ 则CE‎→‎‎⋅‎CF‎→‎的最大值为‎-‎‎16‎‎9‎，最小值为‎-8‎．‎ ‎22.解：‎‎(1)g(x)=f‎'‎(x)=3x‎2‎-18xcosα+48cosβ 对任意的实数t，‎1+cost∈[0, 2]‎，‎3+sint∈[2, 4]‎．‎ 对任意的实数t有g(1+cost)≥0‎，‎g(3+sint)≤0‎ 即对任意的实数x∈[0, 2]‎有g(x)≥0‎，x∈[2, 4]‎时有g(x)≤0‎ ‎∴ g(0)>0‎g(2)=0‎g(4)≤0‎即‎3cosα-4cosβ=1‎cosβ>0‎‎4-6cosα+4cosβ≤0‎，解得cosα=1‎cosβ=‎‎1‎‎2‎ ‎ 6 / 6‎ 所以f(x)=x‎3‎-9x‎2‎+24x ‎(2)‎令g(m)=f(x)-x‎2‎+mx+11=xm+x‎3‎-10x‎2‎+24x+11‎ 由题意只要g(-26)≥0‎g(6)≥0‎即x‎3‎‎-10x‎2‎-2x+11≥0‎x‎3‎‎-10x‎2‎+30x+11≥0‎，解得‎-‎1‎‎3‎≤x≤1‎或x≥‎‎9+5‎‎5‎‎2‎．‎ ‎ 6 / 6‎