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  • 2021-06-10 发布

2007年辽宁省高考数学试卷(文科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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‎2007年辽宁省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1. 若集合A={1, 3}‎,B={2, 3, 4}‎,则A∩B=(‎ ‎‎)‎ A.‎{1}‎ B.‎{2}‎ C.‎{3}‎ D.‎‎{1, 2, 3, 4}‎ ‎2. 若函数y=f(x)‎的反函数图象过点‎(1, 5)‎,则函数y=f(x)‎的图象必过点( )‎ A.‎(1, 1)‎ B.‎(1, 5)‎ C.‎(5, 1)‎ D.‎‎(5, 5)‎ ‎3. 双曲线x‎2‎‎16‎‎-y‎2‎‎9‎=1‎的焦点坐标为( )‎ A.‎(-‎7‎,0)‎,‎(‎7‎,0)‎ B.‎(0,-‎7‎)‎,‎‎(0,‎7‎)‎ C.‎(-5, 0)‎,‎(5, 0)‎ D.‎(0, -5)‎,‎‎(0, 5)‎ ‎4. 若向量a‎→‎与b‎→‎不共线,a‎→‎‎⋅b‎→‎≠0‎,且c‎→‎‎=a‎→‎-(a‎→‎‎⋅‎b‎→‎‎˙‎)‎b‎→‎,则向量a‎→‎与c‎→‎的夹角为( )‎ A.‎0‎ B.π‎6‎ C.π‎3‎ D.‎π‎2‎ ‎5. 设等差数列‎{an}‎的前n项和为Sn,若S‎3‎‎=9‎,S‎6‎‎=36‎,则a‎7‎‎+a‎8‎+a‎9‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎63‎ B.‎45‎ C.‎36‎ D.‎‎27‎ ‎6. 若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中为真命题的是( )‎ A.若m⊂β,α⊥β,则m⊥α B.若α∩γ=m,β∩γ=n,m // n,则α // β C.若α⊥γ,α⊥β,则β // γ D.若m⊥β,m // α,则α⊥β ‎7. 若函数y=f(x)‎的图象按向量a‎→‎平移后,得到函数y=f(x+1)-2‎的图象,则向量a‎→‎‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎(-1, -2)‎ B.‎(1, -2)‎ C.‎(-1, 2)‎ D.‎‎(1, 2)‎ ‎8. 已知变量x,y满足约束条件x-y+2≤0‎x≥1‎x+y-7≤0‎‎ ‎,则yx的取值范围是( )‎ A.‎[‎9‎‎5‎,6]‎ B.‎‎(-∞,‎9‎‎5‎]∪[6,+∞)‎ C.‎(-∞, 3]∪[6, +∞)‎ D.‎‎[3, 6]‎ ‎9. 函数y=log‎1‎‎2‎(x‎2‎-5x+6)‎的单调增区间为( )‎ A.‎(‎5‎‎2‎,+∞)‎ B.‎(3, +∞)‎ C.‎(-∞,‎5‎‎2‎)‎ D.‎‎(-∞, 2)‎ ‎10. 一个坛子里有编号为‎1‎,‎2‎,‎⋯‎,‎12‎的‎12‎个大小相同的球,其中‎1‎到‎6‎号球是红球,其余的是黑球,若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有‎1‎个球的号码是偶数的概率是(        )‎ A.‎1‎‎22‎ B.‎1‎‎11‎ C.‎3‎‎22‎ D.‎‎2‎‎11‎ ‎11. 设p,q是两个命题:p:log‎1‎‎2‎(|x|-3)>0,q:x‎2‎-‎5‎‎6‎x+‎1‎‎6‎>0‎,则p是q的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎12. 将数字‎1‎,‎2‎,‎3‎,‎4‎,‎5‎,‎6‎拼成一列,记第i个数为ai‎(i=1, 2‎,…,‎6)‎,若a‎1‎‎≠1‎,a‎3‎‎≠3‎,a‎5‎‎≠5‎,a‎1‎‎0‎)‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎求函数f(x)‎的值域;‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎若函数y=f(x)‎的图象与直线y=‎-1‎的两个相邻交点间的距离为π‎2‎,求函数y=f(x)‎的单调增区间.‎ ‎ 6 / 6‎ ‎20. 已知数列‎{an}‎,‎{bn}‎满足a‎1‎‎=2‎,b‎1‎‎=1‎,且an‎=‎3‎‎4‎an-1‎+‎1‎‎4‎bn-1‎+1‎bn‎=‎1‎‎4‎an-1‎+‎3‎‎4‎bn-1‎+1‎‎(n≥2)‎ ‎(1)令cn‎=an+‎bn,求数列‎{cn}‎的通项公式;‎ ‎(2)求数列‎{an}‎的通项公式及前n项和公式Sn.‎ ‎21. 已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y‎2‎‎=2x上,其中O为坐标原点,设圆C是OAB的内接圆(点C为圆心)‎ ‎(1)求圆C的方程;‎ ‎(2)设圆M的方程为‎(x-4-7cosθ‎)‎‎2‎+(y-7sinθ‎)‎‎2‎=1‎,过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE,PF,切点为E,F,求CE‎→‎‎⋅‎CF‎→‎的最大值和最小值.‎ ‎22. 已知函数f(x)=x‎3‎-9x‎2‎cosα+48xcosβ+18sin‎2‎α,g(x)=f‎'‎(x)‎,且对任意的实数t均有g(1+cost)≥0‎,g(3+sint)≤0‎.‎ ‎(I)‎求函数f(x)‎的解析式;‎ ‎(II)‎若对任意的m∈[-26, 6]‎,恒有f(x)≥x‎2‎-mx-11‎,求x的取值范围.‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年辽宁省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.C ‎2.C ‎3.C ‎4.D ‎5.B ‎6.D ‎7.A ‎8.A ‎9.D ‎10.D ‎11.A ‎12.B 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)‎ ‎13.‎‎1‎ ‎14.‎‎72‎ ‎15.‎‎4‎3‎π ‎16.‎‎2‎ 三、解答题(共6小题,满分74分)‎ ‎17.解:‎‎(I)‎ 分组 ‎[500, 900)‎ ‎[900, 1100)‎ ‎[1100, 1300)‎ ‎[1300, 1500)‎ ‎[1500, 1700)‎ ‎[1700, 1900)‎ ‎[1900, +∞)‎ 频数 ‎48‎ ‎121‎ ‎208‎ ‎223‎ ‎193‎ ‎165‎ ‎42‎ 频率 ‎0.048‎ ‎0.121‎ ‎0.208‎ ‎0.223‎ ‎0.193‎ ‎0.165‎ ‎0.042‎ ‎(II)‎由‎(I)‎可得‎0.048+0.121+0.208+0.223=0.6‎,‎ 所以灯管使用寿命不足‎1500‎小时的频率为‎0.6‎.‎ ‎(III)‎由‎(II)‎知,‎1‎支灯管使用寿命不足‎1500‎小时的概率P‎1‎‎=0.6‎,‎ 另一支灯管使用寿命超过‎1500‎小时的概率P‎2‎‎=1-P‎1‎=1-0.6=0.4‎,‎ 则这两支灯管中恰有‎1‎支灯管的使用寿命不足‎1500‎小时的概率是P‎1‎P‎2‎‎+P‎2‎P‎1‎=2×0.6×0.4=0.48‎.‎ 所以有‎2‎支灯管的使用寿命不足‎1500‎小时的概率是‎0.48‎.‎ ‎18.解:(1)证明:连接CD,‎ 三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎是直三棱柱,∴ CC‎1‎⊥‎平面ABC,∴ CD为C‎1‎D在平面ABC内的射影.∵ ‎△ABC中,AC=BC,D为AB中点,∴ AB⊥CD,∴ AB⊥C‎1‎D∵ A‎1‎B‎1‎‎ // AB,∴ ‎A‎1‎B‎1‎‎⊥C‎1‎D ‎(2)解:过点A作CE的平行线,‎ 交ED的延长线于F,连接MF∵ D,E分别为AB,BC的中点,∴ ‎DE // AC 又∵ AF // CE,CE⊥AC∴ AF⊥DE∵ MA⊥‎平面ABC,∴ AF为MF在平面ABC内的射影∴ MF⊥DE∴ ‎∠MFA为二面角M-DE-A的平面角,‎‎∠MFA=‎‎30‎‎∘‎ 在Rt△MAF中,AF=‎1‎‎2‎BC=‎a‎2‎,‎∠MFA=‎‎30‎‎∘‎,∴ ‎AM=‎3‎‎6‎a 作AG⊥MF,垂足为G,∵ MF⊥DE,AF⊥DE,∴ DE⊥‎平面AMF,∵ 平面MDE⊥‎平面AMF,∴ AG⊥‎平面MDE ‎ 6 / 6‎ 在Rt△GAF中,‎∠GFA=‎‎30‎‎∘‎,AF=‎a‎2‎,∴ AG=‎a‎4‎,即A到平面MDE的距离为a‎4‎∵ CA // DE,∴ CA // ‎平面MDE,∴ C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等,为a‎4‎.‎ ‎19.‎‎(I)f(x)=‎3‎‎2‎sinωx+‎1‎‎2‎cosωx+‎3‎‎2‎sinωx-‎1‎‎2‎cosωx-(cosωx+1)‎ ‎=2(‎3‎‎2‎sinωx-‎1‎‎2‎cosωx)-1‎ ‎=2sin(ωx-π‎6‎)-1‎‎.‎ 由‎-1≤sin(ωx-π‎6‎)≤1‎,得‎-3≤2sin(ωx-π‎6‎)-1≤1‎,‎ 可知函数f(x)‎的值域为‎[-3, 1]‎.‎ ‎(II)‎由题设条件及三角函数图象和性质可知,y=f(x)‎的周期为π,‎ 又由ω>0‎,得‎2πω‎=π,即得ω=‎2‎.‎ 于是有f(x)=2sin(2x-π‎6‎)-1‎,‎ 再由‎2kπ-π‎2‎≤2x-π‎6‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z)‎,‎ 解得kπ-π‎6‎≤x≤kπ+π‎3‎(k∈Z)‎ 所以y=f(x)‎的单调增区间为‎[kπ-π‎6‎,kπ+π‎3‎](k∈Z)‎ ‎20.解:(1)由题设得an‎+bn=(an-1‎+bn-1‎)+2(n≥2)‎,即cn‎=cn-1‎+2(n≥2)‎ 易知‎{cn}‎是首项为a‎1‎‎+b‎1‎=3‎,公差为‎2‎的等差数列,通项公式为cn‎=2n+1‎ ‎(2)解:由题设得an‎-bn=‎1‎‎2‎(an-1‎-bn-1‎)(n≥2)‎,令dn‎=an-‎bn,则dn‎=‎1‎‎2‎dn-1‎(n≥2)‎、‎ 易知‎{dn}‎是首项为a‎1‎‎-b‎1‎=1‎,公比为‎1‎‎2‎的等比数列,通项公式为dn‎=‎‎1‎‎2‎n-1‎ 由an‎+bn=2n+1‎an‎-bn=‎‎1‎‎2‎n-1‎解得an‎=‎1‎‎2‎n+n+‎‎1‎‎2‎,‎ 求和得Sn‎=-‎1‎‎2‎n+n‎2‎‎2‎+n+1‎ ‎21.解:(1)解法一:设A,B两点坐标分别为‎(y‎1‎‎2‎‎2‎,y‎1‎)‎,‎(y‎2‎‎2‎‎2‎,y‎2‎)‎,‎ 由题设知‎(y‎1‎‎2‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎y‎2‎‎2‎‎=‎(y‎1‎‎2‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎y‎2‎‎2‎=‎‎(y‎1‎‎2‎‎2‎-y‎2‎‎2‎‎2‎‎)‎‎2‎+(y‎1‎-‎y‎2‎‎)‎‎2‎ 解得y‎1‎‎2‎‎=y‎2‎‎2‎=12‎,‎ 所以A(6,2‎3‎)‎,B(6,-2‎3‎)‎或A(6,-2‎3‎)‎,B(6,2‎3‎)‎.‎ 设圆心C的坐标为‎(r, 0)‎,则r=‎2‎‎3‎×6=4‎,‎ 所以圆C的方程为‎(x-4‎)‎‎2‎+y‎2‎=16‎.‎ 解法二:设A,B两点坐标分别为‎(x‎1‎, y‎1‎)‎,‎(x‎2‎, y‎2‎)‎,由题设知x‎1‎‎2‎‎+y‎1‎‎2‎=x‎2‎‎2‎+‎y‎2‎‎2‎ 又因为y‎1‎‎2‎‎=2‎x‎1‎,y‎2‎‎2‎‎=2‎x‎2‎,可得x‎1‎‎2‎‎+2x‎1‎=x‎2‎‎2‎+2‎x‎2‎.即‎(x‎1‎-x‎2‎)(x‎1‎+x‎2‎+2)=0‎ 由x‎1‎‎>0‎,x‎2‎‎>0‎,可知x‎1‎‎=‎x‎2‎,故A,B两点关于x轴对称,所以圆心C在x轴上 设C点的坐标为‎(r, 0)‎,则A点坐标为‎(‎3‎‎4‎r,‎3‎‎2‎r)‎,于是有‎(‎3‎‎2‎r‎)‎‎2‎=2×‎3‎‎2‎r,‎ 解得r=4‎,‎ 所以圆C的方程为‎(x-4‎)‎‎2‎+y‎2‎=16‎.‎ ‎(2)解:设‎∠ECF=2α,则CE‎→‎‎⋅CF‎→‎=|CE‎→‎|⋅|CF‎→‎|⋅cos2α=16cos2α=32cos‎2‎α-16‎.‎ 在Rt△PCE中,cosα=x‎|PC|‎=‎‎4‎‎|PC|‎,由圆的几何性质得‎|PC|≤|MC|+1=7+1=8‎,‎|PC|≥|MC|-1=7-1=6‎,‎ 所以‎1‎‎2‎‎≤cosα≤‎‎2‎‎3‎,由此可得‎-8≤CE‎→‎⋅CF‎→‎≤-‎‎16‎‎9‎.‎ 则CE‎→‎‎⋅‎CF‎→‎的最大值为‎-‎‎16‎‎9‎,最小值为‎-8‎.‎ ‎22.解:‎‎(1)g(x)=f‎'‎(x)=3x‎2‎-18xcosα+48cosβ 对任意的实数t,‎1+cost∈[0, 2]‎,‎3+sint∈[2, 4]‎.‎ 对任意的实数t有g(1+cost)≥0‎,‎g(3+sint)≤0‎ 即对任意的实数x∈[0, 2]‎有g(x)≥0‎,x∈[2, 4]‎时有g(x)≤0‎ ‎∴ g(0)>0‎g(2)=0‎g(4)≤0‎即‎3cosα-4cosβ=1‎cosβ>0‎‎4-6cosα+4cosβ≤0‎,解得cosα=1‎cosβ=‎‎1‎‎2‎ ‎ 6 / 6‎ 所以f(x)=x‎3‎-9x‎2‎+24x ‎(2)‎令g(m)=f(x)-x‎2‎+mx+11=xm+x‎3‎-10x‎2‎+24x+11‎ 由题意只要g(-26)≥0‎g(6)≥0‎即x‎3‎‎-10x‎2‎-2x+11≥0‎x‎3‎‎-10x‎2‎+30x+11≥0‎,解得‎-‎1‎‎3‎≤x≤1‎或x≥‎‎9+5‎‎5‎‎2‎.‎ ‎ 6 / 6‎