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- 2021-06-10 发布
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2012年重庆市高考数学试卷(文科)
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.(5分)命题“若p则q”的逆命题是( )
A.若q则p B.若¬p则¬q C.若¬q则¬p D.若p则¬q
2.(5分)不等式<0的解集为( )
A.(1,+∞) B.(﹣∞,﹣2) C.(﹣2,1) D.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)
3.(5分)设A,B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点,则|AB|=( )
A.1 B. C. D.2
4.(5分)(1﹣3x)5的展开式中x3的系数为( )
A.﹣270 B.﹣90 C.90 D.270
5.(5分)=( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
6.(5分)设x∈R,向量=(x,1),=(1,﹣2),且⊥,则|+|=( )
A. B. C.2 D.10
7.(5分)已知a=log23+log2,b=log29﹣log2,c=log32,则a,b,c的大小关系是( )
A.a=b<c B.a=b>c C.a<b<c D.a>b>c
8.(5分)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=﹣2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.(5分)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是( )
A.(0,) B.(0,) C.(1,) D.(1,)
10.(5分)设函数f(x)=x2﹣4x+3,g(x)=3x﹣2,集合M={x∈R|f(g(x))>0},N={x∈R|g(x)<2},则M∩N为( )
A.(1,﹢∞) B.(0,1) C.(﹣1,1) D.(﹣∞,1)
二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)
11.(5分)首项为1,公比为2的等比数列的前4项和S4= .
12.(5分)若f(x)=(x+a)(x﹣4)为偶函数,则实数a= .
13.(5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cosC=,则sinB= .
14.(5分)设P为直线y=x与双曲线﹣=1(a>0,b>0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e= .
15.(5分)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 (用数字作答)
三、解答题(共6小题,满分75分)
16.(13分)已知{an}为等差数列,且a1+a3=8,a2+a4=12.
(Ⅰ)求{an}的通项公式
(Ⅱ)记{an}的前n项和为Sn,若a1,ak,Sk+2成等比数列,求正整数k的值.
17.(13分)已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若f(x)有极大值28,求f(x)在[﹣3,3]上的最小值.
18.(13分)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球三次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.
(Ⅰ)求乙获胜的概率;
(Ⅱ)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.
19.(12分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,﹣π<φ≤π)在x=处取得最大值2,其图象与x轴的相邻两个交点的距离为.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数g(x)=的值域.
20.(12分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点.
(Ⅰ)求异面直线CC1和AB的距离;
(Ⅱ)若AB1⊥A1C,求二面角A1﹣CD﹣B1的平面角的余弦值.
21.(12分)如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.
(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;
(Ⅱ)过B1作直线交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面积.
2012年重庆市高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.(5分)(2012•重庆)命题“若p则q”的逆命题是( )
A.若q则p B.若¬p则¬q C.若¬q则¬p D.若p则¬q
【分析】将原命题的条件与结论互换,可得逆命题,从而可得
【解答】解:将原命题的条件与结论互换,可得逆命题,
则命题“若p则q”的逆命题是若q则p.
故选A.
2.(5分)(2012•重庆)不等式<0的解集为( )
A.(1,+∞) B.(﹣∞,﹣2) C.(﹣2,1) D.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)
【分析】直接转化分式不等式为二次不等式求解即可.
【解答】解:不等式<0等价于(x﹣1)(x+2)<0,所以表达式的解集为:{x|﹣2<x<1}.
故选C.
3.(5分)(2012•重庆)设A,B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点,则|AB|=( )
A.1 B. C. D.2
【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r,根据圆心在直线y=x上,得到AB为圆的直径,根据直径等于半径的2倍,可得出|AB|的长.
【解答】解:由圆x2+y2=1,得到圆心坐标为(0,0),半径r=1,
∵圆心(0,0)在直线y=x上,
∴弦AB为圆O的直径,
则|AB|=2r=2.
故选D
4.(5分)(2012•重庆)(1﹣3x)5的展开式中x3的系数为( )
A.﹣270 B.﹣90 C.90 D.270
【分析】由(1﹣3x)5的展开式的通项公式Tr+1=•(﹣3x)r,令r=3即可求得x3的系数.
【解答】解:设(1﹣3x)5的展开式的通项公式为Tr+1,
则Tr+1=•(﹣3x)r,
令r=3,得x3的系数为:
(﹣3)3•=﹣27×10=﹣270.
故选A.
5.(5分)(2012•重庆)=( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
【分析】将原式分子第一项中的度数47°=17°+30°,然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后,合并约分后,再利用特殊角的三角函数值即可求出值.
【解答】解:
=
=
=sin30°=.
故选C
6.(5分)(2012•重庆)设x∈R,向量=(x,1),=(1,﹣2),且⊥,则|+|=( )
A. B. C.2 D.10
【分析】通过向量的垂直,求出向量,推出,然后求出模.
【解答】解:因为x∈R,向量=(x,1),=(1,﹣2),且⊥,
所以x﹣2=0,所以=(2,1),
所以=(3,﹣1),
所以|+|=,
故选B.
7.(5分)(2012•重庆)已知a=log23+log2,b=log29﹣log2,c=log32,则a,b,c的大小关系是( )
A.a=b<c B.a=b>c C.a<b<c D.a>b>c
【分析】利用对数的运算性质可求得a=log23,b=log23>1,而0<c=log32<1,从而可得答案.
【解答】解:∵a=log23+log2=log23,b===>1,
∴a=b>1,又0<c=log32<1,
∴a=b>c.
故选:B.
8.(5分)(2012•重庆)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=﹣2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【分析】利用函数极小值的意义,可知函数f(x)在x=﹣2左侧附近为减函数,在x=﹣2右侧附近为增函数,从而可判断当x<0时,函数y=xf′(x)的函数值的正负,从而做出正确选择.
【解答】解:∵函数f(x)在x=﹣2处取得极小值,
∴f′(﹣2)=0,
且函数f(x)在x=﹣2左侧附近为减函数,在x=﹣2右侧附近为增函数,
即当x<﹣2时,f′(x)<0,当x>﹣2时,f′(x)>0,
从而当x<﹣2时,y=xf′(x)>0,当﹣2<x<0时,y=xf′(x)<0,
对照选项可知只有C符合题意.
故选:C.
9.(5分)(2012•重庆)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是( )
A.(0,) B.(0,) C.(1,) D.(1,)
【分析】先在三角形BCD中求出a的范围,再在三角形AED中求出a的范围,二者相结合即可得到答案.
【解答】解:设四面体的底面是BCD,BC=a,BD=CD=1,顶点为A,AD=
在三角形BCD中,因为两边之和大于第三边可得:0<a<2 (1)
取BC中点E,∵E是中点,直角三角形ACE全等于直角DCE,
所以在三角形AED中,AE=ED=
∵两边之和大于第三边
∴<2 得0<a< (负值0值舍)(2)
由(1)(2)得0<a<.
故选:A.
10.(5分)(2012•重庆)设函数f(x)=x2﹣4x+3,g(x)=3x﹣2,集合M={x∈R|f(g(x))>0},N={x∈R|g(x)<2},则M∩N为( )
A.(1,﹢∞) B.(0,1) C.(﹣1,1) D.(﹣∞,1)
【分析】利用已知求出集合M中g(x)的范围,结合集合N,求出g(x)的范围,然后求解即可.
【解答】解:因为集合M={x∈R|f(g(x))>0},所以(g(x))2﹣4g(x)+3>0,
解得g(x)>3,或g(x)<1.
因为N={x∈R|g(x)<2},M∩N={x|g(x)<1}.
即3x﹣2<1,解得x<1.
所以M∩N={x|x<1}.
故选:D.
二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)
11.(5分)(2012•重庆)首项为1,公比为2的等比数列的前4项和S4= 15 .
【分析】把已知的条件直接代入等比数列的前n项和公式,运算求得结果.
【解答】解:首项为1,公比为2的等比数列的前4项和S4==15,
故答案为 15.
12.(5分)(2012•重庆)若f(x)=(x+a)(x﹣4)为偶函数,则实数a= 4 .
【分析】由题意可得,f(﹣x)=f(x)对于任意的x都成立,代入整理可得(a﹣4)x=0对于任意的x都成立,从而可求a
【解答】解:∵f(x)=(x+a)(x﹣4)为偶函数
∴f(﹣x)=f(x)对于任意的x都成立
即(x+a)(x﹣4)=(﹣x+a)(﹣x﹣4)
∴x2+(a﹣4)x﹣4a=x2+(4﹣a)x﹣4a
∴(a﹣4)x=0
∴a=4
故答案为:4.
13.(5分)(2012•重庆)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cosC=,则sinB= .
【分析】由C为三角形的内角,及cosC的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值,再由a与b的值,利用余弦定理列出关于c的方程,求出方程的解得到c的值,再由sinC,c及b的值,利用正弦定理即可求出sinB的值.
【解答】解:∵C为三角形的内角,cosC=,
∴sinC==,
又a=1,b=2,
∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得:c2=1+4﹣1=4,
解得:c=2,
又sinC=,c=2,b=2,
∴由正弦定理=得:sinB===.
故答案为:
14.(5分)(2012•重庆)设P为直线y=x与双曲线﹣=1(a>0,b>0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e= .
【分析】设F1(﹣c,0),利用F1是左焦点,PF1垂直于x轴,P为直线y=x上的点,可得(﹣c,)在双曲线﹣=1上,由此可求双曲线的离心率.
【解答】解:设F1(﹣c,0),则
∵F1是左焦点,PF1垂直于x轴,P为直线y=x上的点
∴(﹣c,)在双曲线﹣=1上
∴
∴
∴=
故答案为:
15.(5分)(2012•重庆)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 (用数字作答)
【分析】语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步,先把其它三门艺术课排列有种排法,第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中,有种排法,由此可求得在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率.
【解答】解:语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步,先把其它三门艺术课排列有种排法,第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中,有种排法,故所有的排法种数为.
∴在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为.
故答案为:.
三、解答题(共6小题,满分75分)
16.(13分)(2012•重庆)已知{an}为等差数列,且a1+a3=8,a2+a4=12.
(Ⅰ)求{an}的通项公式
(Ⅱ)记{an}的前n项和为Sn,若a1,ak,Sk+2成等比数列,求正整数k的值.
【分析】(Ⅰ)设等差数列{an}的公差等于d,则由题意可得,解得 a1=2,d=2,从而得到{an}的通项公式.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得 {an}的前n项和为Sn ==n(n+1),再由=a1 Sk+2 ,求得正整数k的值.
【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差等于d,则由题意可得,解得 a1=2,d=2.
∴{an}的通项公式 an =2+(n﹣1)2=2n.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得 {an}的前n项和为Sn ==n(n+1).
∵若a1,ak,Sk+2成等比数列,∴=a1 Sk+2 ,
∴4k2 =2(k+2)(k+3),k=6 或k=﹣1(舍去),故 k=6.
17.(13分)(2012•重庆)已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若f(x)有极大值28,求f(x)在[﹣3,3]上的最小值.
【分析】(Ⅰ)由题设f(x)=ax3+bx+c,可得f′(x)=3ax2+b,又函数在点x=2处取得极值c﹣16,可得解此方程组即可得出a,b的值;
(II)结合(I)判断出f(x)有极大值,利用f(x)有极大值28建立方程求出参数c的值,进而可求出函数f(x)在[﹣3,3]上的极小值与两个端点的函数值,比较这此值得出f(x)在[﹣3,3]上的最小值即可.
【解答】解:(Ⅰ)由题f(x)=ax3+bx+c,可得f′(x)=3ax2+b,又函数在点x=2处取得极值c﹣16
∴,即,化简得
解得a=1,b=﹣12
(II)由(I)知f(x)=x3﹣12x+c,f′(x)=3x2﹣12=3(x+2)(x﹣2)
令f′(x)=3x2﹣12=3(x+2)(x﹣2)=0,解得x1=﹣2,x2=2
当x∈(﹣∞,﹣2)时,f′(x)>0,故f(x)在∈(﹣∞,﹣2)上为增函数;当x∈(﹣2,2)时,f′(x)<0,故f(x)在(﹣2,2)上为减函数;
当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上为增函数;
由此可知f(x)在x1=﹣2处取得极大值f(﹣2)=16+c,f(x)在x2=2处取得极小值f(2)=c﹣16,
由题设条件知16+c=28得,c=12
此时f(﹣3)=9+c=21,f(3)=﹣9+c=3,f(2)=﹣16+c=﹣4
因此f(x)在[﹣3,3]上的最小值f(2)=﹣4
18.(13分)(2012•重庆)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球三次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.
(Ⅰ)求乙获胜的概率;
(Ⅱ)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.
【分析】(Ⅰ)分别求出乙第一次投球获胜的概率、乙第二次投球获胜的概率、乙第三次投球获胜的概率,相加即得所求.
(Ⅱ)由于投篮结束时乙只投了2个球,说明第一次投球甲乙都没有投中,第二次投球甲没有投中、乙投中,或第三次投球甲投中了,把这两种情况的概率相加,即得所求.
【解答】解:(Ⅰ)∵乙第一次投球获胜的概率等于 =,乙第二次投球获胜的概率等于••=,乙第三次投球获胜的概率等于=,
故 乙获胜的概率等于 ++=.
(Ⅱ)由于投篮结束时乙只投了2个球,说明第一次投球甲乙都没有投中,第二次投球甲没有投中、乙投中,或第三次投球甲投中了.
故投篮结束时乙只投了2个球的概率等于 +×=.
19.(12分)(2012•重庆)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,﹣π<φ≤π)在x=处取得最大值2,其图象与x轴的相邻两个交点的距离为.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数g(x)=的值域.
【分析】
(Ⅰ)通过函数的周期求出ω,求出A,利用函数经过的特殊点求出φ,推出f(x)的解析式;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)推出函数g(x)=的表达式,通过cos2x∈[0,1],且,求出g(x)的值域.
【解答】解:(Ⅰ)由题意可知f(x)的周期为T=π,即=π,解得ω=2.
因此f(x)在x=处取得最大值2,所以A=2,从而sin()=1,
所以,又﹣π<φ≤π,得φ=,
故f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+);
(Ⅱ)函数g(x)=
=
=
=
=
=
=
因为cos2x∈[0,1],且,
故g(x)的值域为.
20.(12分)(2012•重庆)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点.
(Ⅰ)求异面直线CC1和AB的距离;
(Ⅱ)若AB1⊥A1C,求二面角A1﹣CD﹣B1的平面角的余弦值.
【分析】(Ⅰ)先根据条件得到CD⊥AB以及CC1⊥CD,进而求出C的长即可;
(Ⅱ)解法一;先根据条件得到∠A1DB1为所求的二面角A1﹣CD﹣B1的平面角,再根据三角形相似求出棱柱的高,进而在三角形A1DB1中求出结论即可;
解法二:过D作DD1∥AA1交A1B1于D1,建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量的坐标,最后代入向量的夹角计算公式即可求出结论.
【解答】解:(Ⅰ)解:因为AC=BC,D为AB的中点,故CD⊥AB,
又直三棱柱中,CC1⊥面ABC,故CC1⊥CD,
所以异面直线CC1和AB的距离为:CD==.
(Ⅱ)解法一;由CD⊥AB,CD⊥BB1,故CD⊥平面A1ABB1,
从而CD⊥DA1,CD⊥DB1,故∠A1DB1为所求的二面角A1﹣CD﹣B1的平面角.
因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影,
又已知AB1⊥A1C,由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D,
从而∠A1AB1,∠A1DA都与∠B1AB互余,
因此∠A1AB1=∠∠A1DA,
所以RT△A1AD∽RT△B1A1A,
因此=,得=AD•A1B1=8,
从而A1D==2,B1D=A1D=2.
所以在三角形A1DB1中,cos∠A1DB1==.
解法二:过D作DD1∥AA1交A1B1于D1,在直三棱柱中,
由第一问知:DB,DC,DD1两两垂直,以D为原点,射线DB,DC,DD1分别为X轴,Y轴,Z轴建立空间直角坐标系D﹣XYZ..
设直三棱柱的高为h,则A(﹣2,0,0),A1(﹣2,0,h).B1(2,0,h).C(0,,0)
从而=(4,0,h),=(2,,﹣h).
由AB1⊥A1C得•=0,即8﹣h2=0,因此h=2,
故=(﹣1,0,2),=(2,0,2),=(0,,0).
设平面A1CD的法向量为=(x,y,z),则⊥,⊥,即取z=1,得=(,0,1),
设平面B1CD的法向量为=(a,b,c),则⊥,,即取c=﹣1得=(,0,﹣1),
所以cos<,>===.
所以二面角的平面角的余弦值为.
21.(12分)(2012•重庆)如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.
(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;
(Ⅱ)过B1作直线交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面积.
【分析】(Ⅰ)设椭圆的方程为,F2(c,0),利用△AB1B2
是的直角三角形,|AB1|=AB2|,可得∠B1AB2为直角,从而,利用c2=a2﹣b2,可求,又S=|B1B2||OA|==4,故可求椭圆标准方程;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知B1(﹣2,0),B2(2,0),由题意,直线PQ的倾斜角不为0,故可设直线PQ的方程为x=my﹣2,代入椭圆方程,消元可得(m2+5)y2﹣4my﹣16﹣0,利用韦达定理及PB2⊥QB2,利用可求m的值,进而可求△PB2Q的面积.
【解答】解:(Ⅰ)设椭圆的方程为,F2(c,0)
∵△AB1B2是的直角三角形,|AB1|=AB2|,∴∠B1AB2为直角,从而|OA|=|OB2|,即
∵c2=a2﹣b2,∴a2=5b2,c2=4b2,∴
在△AB1B2中,OA⊥B1B2,∴S=|B1B2||OA|=
∵S=4,∴b2=4,∴a2=5b2=20
∴椭圆标准方程为;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知B1(﹣2,0),B2(2,0),由题意,直线PQ的倾斜角不为0,故可设直线PQ的方程为x=my﹣2
代入椭圆方程,消元可得(m2+5)y2﹣4my﹣16=0①
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
∴,
∵,
∴=
∵PB2⊥QB2,∴
∴,∴m=±2
当m=±2时,①可化为9y2±8y﹣16﹣0,
∴|y1﹣y2|==
∴△PB2Q的面积S=|B1B2||y1﹣y2|=×4×=.
参与本试卷答题和审题的老师有:邢新丽;qiss;sllwyn;wfy814;xize;庞会丽;caoqz;刘长柏;xintrl(排名不分先后)
2017年2月3日
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