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- 2021-06-10 发布
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2006年四川省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 已知集合A={x|x2-5x+6≤0}，B={x||2x-1|>3}，则集合A∩B=( )
A.{x|2≤x≤3} B.{x|2≤x<3} C.{x|20)，f(x)的导函数是f'(x)．对任意两个不相等的正数x1、x2，证明：
（1）当a≤0时，f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)；
（2）当a≤4时，|f'(x1)-f'(x2)|>|x1-x2|．
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参考答案与试题解析
2006年四川省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.C
2.D
3.D
4.B
5.D
6.B
7.A
8.C
9.A
10.C
11.A
12.B
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.arctan2
14.110
15.35
16.①③
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.（1）∵ m→⋅n→=1
∴ (-1,3)⋅(cosA,sinA)=1
即3sinA-cosA=2(sinA⋅32-cosA⋅12)=1，sin(A-π6)=12
∵ 0=|HP→|⋅|HF→|˙=221
故：二面角P-AE-D的大小为arccos22121
（3）设n1→=(x1,y1,z1)为平面DEN的法向量，
则n1→⊥DE→，n1→⊥DN→
又DE→=(a2,2a,0)，DN→=(0,a,a2)，DP→=(a2,0,a)
∴ a2x1+2ay1=02y1+a2z1=0即x1=-4y1z1=-2y1∴ 可取n1→=(4,-1,2)
∴ P点到平面DEN的距离为d=|n1→|˙=|2a+2a|16+1+4=4a21
∵ cos⟨DE→，DN→>=|DE→|⋅|DN→|˙=885，sin⟨DE→，DN→>=2185
∴ S△DEN=12|DE→|⋅|DN→|⋅sin⟨DE→，DN→>=218a2
∴ VP-DEN=13S△DEN⋅d=13×218a2×4a21=a36
20.解：（1）由题意，{an}是首项为1，公差为2的等差数列
前n项和Sn=1+1+2(n-1)2⋅n=n2，
lnSn=lnn2=2lnnUn=2(ln1+ln2+...+lnn)=2ln(n!)
（2）Fn(x)=eUn2n(n!)2⋅x2n=(n!)22n(n!)2⋅x2n=x2n2nFn'(x)=x2n-1Tn(x)=k=1nFk'(x)=k=1nx2k-1=x(1-x2n)1-x2(01)
limn→∞Tn(x)Tn+1(x)=limn→∞1-x2n1-x2n+2=1(01)
21.解：由双曲线的定义可知，
曲线E是以F1(-2,0)，F2(2,0)为焦点的双曲线的左支，
且c=2，a=1，易知b=1
故曲线E的方程为x2-y2=1(x<0)
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，由题意建立方程组y=kx-1x2-y2=1
消去y，得(1-k2)x2+2kx-2=0
又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，
有1-k2≠0△=(2k)2+8(1-k2)>0x1+x2=-2k1-k2<0x1x2=-21-k2>0
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解得-214[(x12+x22)+2x1x2]2=(x1+x22)2①
又(x1+x2)2=(x12+x22)+2x1x2>4x1x2
∴ x1+x2x1x2>4x1+x2②
∵ x1x2<x1+x22
∴ lnx1x2(x1+x22)2+4x1+x2+alnx1x2，
即f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)．
（2）证法一：由f(x)=x2+2x+alnx，得f'(x)=2x-2x2+ax
∴ |f'(x1)-f'(x2)|=|(2x1-2x12+ax1)-(2x2-2x22+ax2)|=|x1-x2|⋅|2+2(x1+x2)x12x22-ax1x2||f'(x1)-f'(x2)|>|x1-x2|⇔|2+2(x1+x2)x12x22-ax1x2|>1
下面证明对任意两个不相等的正数x1，x2，有2+2(x1+x2)x12x22-ax1x2>1恒成立
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即证ax1x2+4x1x2
设t=x1x2，u(x)=t2+4t(t>0)，
则u'(x)=2t-4t2，
令u'(x)=0得t=32，列表如下：
t
(0,32)
32
(32，+∞)
u'(t)
-
0
+
u(t)
□
极小值334
□
u(t)≥334=3108>4≥a
∴ x1x2+2(x1+x2)x1x2>a
∴ 对任意两个不相等的正数x1，x2，恒有|f'(x1)-f'(x2)|>|x1-x2|
证法二：由f(x)=x2+2x+alnx，
得f'(x)=2x-2x2+ax
∴ |f'(x1)-f'(x2)|=|(2x1-2x12+ax1)-(2x2-2x22+ax2)|=|x1-x2|⋅|2+2(x1+x2)x12x22-ax1x2|
∵ x1，x2是两个不相等的正数
∴ 2+2(x1+x2)x12x22-ax1x2>2+4(x1x2)3-ax1x2≥2+4(x1x2)3-4x1x2
设t=1x1x2，u(t)=2+4t3-4t2(t>0)
则u'(t)=4t(3t-2)，列表：
t
(0,23)
23
(23，+∞)
u'(t)
-
0
+
u(t)
□
极小值3827
□
∴ u=3827>1即2+2(x1+x2)x12x22-ax1x2>1
∴ |f'(x1)-f'(x2)|=|x1-x2|⋅|2+2(x1+x2)x12x22-ax1x2|>|x1-x2|
即对任意两个不相等的正数x1，x2，恒有|f'(x1)-f'(x2)|>|x1-x2|
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