2007年福建省高考数学试卷（文科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 7页

‎2007年福建省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 已知全集U={1‎，‎2‎，‎3‎，‎4‎，‎5}‎，且A={2, 3, 4}‎，B={1, 2}‎，则A∩(‎∁‎UB)‎等于‎(‎        ‎‎)‎ A.‎{2}‎ B.‎{5}‎ C.‎{3, 4}‎ D.‎‎{2, 3, 4, 5}‎ ‎2. 在等比数列‎{an}‎中，a‎4‎‎=4‎，则a‎2‎‎⋅‎a‎6‎等于‎(‎        ‎‎)‎ A.‎32‎ B.‎16‎ C.‎8‎ D.‎‎4‎ ‎3. sin‎15‎‎∘‎cos‎75‎‎∘‎+cos‎15‎‎∘‎sin‎105‎‎∘‎等于（ ）‎ A.‎0‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎1‎ ‎4. “‎|x|<2‎”是“x‎2‎‎-x-6<0‎”的（ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5. 函数y=sin(2x+π‎3‎)‎的图象‎(‎         ‎‎)‎ A.关于点‎(π‎3‎, 0)‎对称 B.关于直线x=‎π‎4‎对称 C.关于点‎(π‎4‎, 0)‎对称 D.关于直线x=‎π‎3‎对称 ‎6. 如图，在正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，E，F，G，H分别为AA‎1‎，AB，BB‎1‎，B‎1‎C‎1‎的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于‎(‎        ‎‎)‎ A.‎45‎‎∘‎ B.‎60‎‎∘‎ C.‎90‎‎∘‎ D.‎‎120‎‎∘‎ ‎7. 已知f(x)‎为R上的减函数，则满足f(‎1‎x)>f(1)‎的实数x的取值范围是‎(‎        ‎‎)‎ A.‎(-∞, 1)‎ B.‎(1, +∞)‎ C.‎(-∞, 0)∪(0, 1)‎ D.‎‎(-∞, 0)∪(1, +∞)‎ ‎8. 对于向量a‎→‎、b‎→‎、c‎→‎和实数λ，下列命题中真命题是（ ）‎ A.若a‎→‎‎⋅b‎→‎=0‎，则a‎→‎‎=0‎或b‎→‎‎=0‎ B.若λa‎→‎=‎‎0‎‎→‎，则λ=0‎或a‎→‎‎=‎‎0‎‎→‎ C.若a‎→‎‎2‎‎=‎b‎→‎‎2‎，则a‎→‎‎=‎b‎→‎或a‎→‎‎=-‎b‎→‎ D.若a‎→‎‎⋅b‎→‎=a‎→‎⋅‎c‎→‎，则b‎→‎‎=‎c‎→‎ ‎9. 已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）‎ A.m⊂α，n⊂α，m // β，n // β⇒α // β B.α // β，m⊂α，n⊂α，‎‎⇒m // n C.m⊥α，m⊥n⇒n // α D.n // m，‎n⊥α⇒m⊥α ‎10. 以双曲线x‎2‎‎-y‎2‎=2‎的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ ）‎ A.x‎2‎‎+y‎2‎-4x-3=0‎ B.x‎2‎‎+y‎2‎-4x+3=0‎ C.x‎2‎‎+y‎2‎+4x-5=0‎ D.‎x‎2‎‎+y‎2‎+4x+5=0‎ ‎11. 已知对任意x∈R，恒有f(-x)=-f(x)‎，g(-x)=g(x)‎，且当x>0‎时，f'(x)>0‎，g'(x)>0‎，则当x<0‎时有(        )‎ A.f'(x)>0‎，g'(x)>0‎ B.f'(x)>0‎，‎g'(x)<0‎ C.f'(x)<0‎，g'(x)>0‎ D.f'(x)<0‎，‎g'(x)<0‎ ‎12. 某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“‎×××××××0000‎”到“‎×××××××9999‎”共‎10000‎个号码、公司规定：凡卡号的后四位带有数字“‎4‎”或“‎7‎”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）‎ A.‎2000‎ B.‎4096‎ C.‎5904‎ D.‎‎8320‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13. ‎(x‎2‎+‎‎1‎x‎)‎‎6‎的展开式中常数项是________．（用数字作答）‎ ‎ 7 / 7‎ ‎14. 已知实数x、y满足x+y≥2‎x-y≤2‎‎0≤y≤3‎，则z=2x-y的取值范围是________．‎ ‎15. 已知长方形ABCD，AB=4‎，BC=3‎，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为________．‎ ‎16. 中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等、如果集合A中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：‎ ‎(1)‎自反性：对于任意a∈A，都有a-a；‎ ‎(2)‎对称性：对于a，b∈A，若a-b，则有b-a；‎ ‎(3)‎对称性：对于a，b，c∈A，若a-b，b-c，则有a-c、‎ 则称“-”是集合A的一个等价关系、例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）、请你再列出两个等价关系：________．‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17. 在‎△ABC中，tanA=‎‎1‎‎4‎，tanB=‎‎3‎‎5‎．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若AB边的长为‎17‎，求BC边的长．‎ ‎18. 甲、乙两名跳高运动员一次试跳‎2‎米高度成功的概率分别为‎0‎、‎7‎、‎0‎、‎6‎，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：‎ ‎(I)‎甲试跳三次，第三次才能成功的概率；‎ ‎(II)‎甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；‎ ‎(III)‎甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．‎ ‎19. 如图，正三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的所有棱长都为‎2‎，D为CC‎1‎中点．‎ ‎（1）求证：AB‎1‎⊥‎平面A‎1‎BD；‎ ‎（2）求二面角A-A‎1‎D-B的大小．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎20. 设函数f(x)‎＝tx‎2‎+2t‎2‎x+t-1(x∈R, t>0)‎．‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎求f (x)‎的最小值h(t)‎；‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎若h(t)<-2t+m对t∈(0, 2)‎恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎21. 数列‎{an}‎的前项和为Sn，a‎1‎‎=1‎，an+1‎‎=2Sn(n∈N‎*‎)‎．‎ ‎(1)‎求数列‎{an}‎的通项an；‎ ‎(2)‎求数列‎{nan}‎的前n项和Tn．‎ ‎22. 已知点F(1, 0)‎，直线l:x=-1‎，P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且OP‎→‎‎⋅OF‎→‎=FP‎→‎⋅‎FQ‎→‎ ‎（I）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（II）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M．‎ ‎（1）已知MA‎→‎‎=λ‎1‎AF‎→‎，MB‎→‎=‎λ‎2‎BF‎→‎，求λ‎1‎‎+‎λ‎2‎的值 ‎（2）求‎|MA‎→‎|⋅|MB‎→‎|‎的最小值．‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年福建省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.C ‎2.B ‎3.D ‎4.A ‎5.A ‎6.B ‎7.D ‎8.B ‎9.D ‎10.B ‎11.B ‎12.C 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13.‎‎15‎ ‎14.‎‎[-5, 7]‎ ‎15.‎‎1‎‎2‎ ‎16.答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17.解：（1）∵ C=π-(A+B)‎，‎ ‎∴ tanC=-tan(A+B)=-‎1‎‎4‎‎+‎‎3‎‎5‎‎⋅‎=-1‎，‎ 又∵ ‎0=‎|n‎→‎||AB‎1‎‎→‎|‎‎˙‎=‎-‎3‎-‎‎3‎‎2⋅2‎‎2‎=-‎‎6‎‎4‎．‎ ‎∴ 二面角A-A‎1‎D-B的大小为arccos‎6‎‎4‎．‎ ‎20.（1）∵ f(x)‎＝t(x+t‎)‎‎2‎-t‎3‎+t-1(x∈R, t>0)‎，‎ ‎∴ 当x＝‎-t时，f(x)‎取最小值f(-t)‎＝‎-t‎3‎+t-1‎，‎ 即h(t)‎＝‎-t‎3‎+t-1‎；‎ ‎（2）令g(t)‎＝h(t)-(-2t+m)‎＝‎-t‎3‎+3t-1-m，‎ 由g'(t)‎＝‎-3t‎2‎+3‎＝‎0‎得t＝‎1‎，t＝‎-1‎（不合题意，舍去）‎ 当t变化时g'(t)‎、g(t)‎的变化情况如下表：‎ t ‎(0, 1)‎ ‎1‎ ‎(1, 2)‎ g'(t)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ g(t)‎ 递增 极大值‎1-m 递减 ‎∴ g(t)‎在‎(0, 2)‎内有最大值g(1)‎＝‎‎1-m h(t)<-2t+m在‎(0, 2)‎内恒成立等价于g(t)<0‎在‎(0, 2)‎内恒成立，‎ 即等价于‎1-m<0‎ 所以m的取值范围为m>1‎．‎ ‎21.解：‎(1)‎∵ an+1‎‎=2‎Sn，‎ ‎∴ Sn+1‎‎-Sn=2‎Sn，‎ ‎∴ Sn+1‎Sn‎=3‎．‎ 又∵ S‎1‎‎=a‎1‎=1‎，‎ ‎∴ 数列‎{Sn}‎是首项为‎1‎、公比为‎3‎的等比数列，Sn‎=‎3‎n-1‎(n∈N‎*‎)‎．‎ ‎∴ 当n≥2‎时，an‎-2Sn-1‎=2⋅‎3‎n-2‎(n≥2)‎，‎ ‎∴ ‎an‎=‎‎1‎‎,n=1，‎‎2⋅‎‎3‎n-2‎‎,n≥2.‎ ‎(2)Tn=a‎1‎+2a‎2‎+3a‎3‎+...+nan‎，‎ 当n=1‎时，T‎1‎‎=1‎；‎ 当n≥2‎时，Tn=1+4⋅‎3‎‎0‎+6⋅‎3‎‎1‎+...+2n⋅‎‎3‎n-2‎，①‎ ‎3Tn=3+4⋅‎3‎‎1‎+6⋅‎3‎‎2‎+...+2n⋅‎‎3‎n-1‎‎，②‎ ‎①-②得：‎‎-2Tn=-2+4+2(‎3‎‎1‎+‎3‎‎2‎+...+‎3‎n-2‎)-2n⋅‎‎3‎n-1‎ ‎=2+2⋅‎3(1-‎3‎n-2‎)‎‎1-3‎-2n⋅‎‎3‎n-1‎ ‎=-1+(1-2n)⋅3n-1‎‎，‎ ‎∴ Tn‎=‎1‎‎2‎+(n-‎1‎‎2‎)‎3‎n-1‎(n≥2)‎．‎ 又∵ Tn‎=a‎1‎=1‎也满足上式，‎ ‎∴ ‎Tn‎=‎1‎‎2‎+(n-‎1‎‎2‎)‎3‎n-1‎(n∈N‎*‎)‎ ‎22.解：‎(I)‎设点P(x, y)‎，则Q(-1, y)‎，由OP‎→‎‎⋅QF‎→‎=FP‎→‎⋅‎FQ‎→‎得：‎ ‎(x+1, 0)⋅(2, -y)=(x-1, y)⋅(-2, y)‎‎，化简得C:y‎2‎=4x．‎ ‎(II)(1)‎设直线AB的方程为：‎ x=my+1(m≠0)‎ 设A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎，又M(-1, -‎2‎m)‎ 联立方程组y‎2‎‎=4xx=my+1‎，‎ ‎ 7 / 7‎ 消去x得：y‎2‎‎-4my-4=0‎，‎ ‎△=(-4m‎)‎‎2‎+12>0‎‎，‎y‎1‎‎+y‎2‎=4my‎1‎y‎2‎‎=-4.‎ 由MA‎→‎‎=λ，AF‎→‎，MB‎→‎=‎λ‎2‎BF‎→‎，‎ 得：y‎1‎‎+‎2‎m-λ‎1‎y‎1‎，y‎2‎+‎2‎m=-‎λ‎2‎y‎2‎，‎ 整理得：λ‎1‎‎=-1-‎2‎my‎1‎，λ‎2‎=-1-‎‎2‎my‎2‎，‎ ‎∴ ‎λ‎1‎‎+λ‎2‎=-2-‎2‎m(‎1‎y‎1‎+‎1‎y‎2‎)‎ ‎=-2-‎2‎m⋅‎y‎1‎‎+‎y‎2‎y‎1‎y‎2‎ ‎=-2-‎2‎m⋅‎‎4m‎-4‎ ‎=0‎‎．‎ ‎（2）解：‎‎|MA‎→‎|⋅|MB‎→‎|=(‎1+‎m‎2‎‎)‎‎2‎|y‎1‎-yM||y‎2‎-yM|‎ ‎=(1+m‎2‎)|y‎1‎y‎2‎-yM(y‎1‎+y‎2‎)+yM‎2‎|‎ ‎=(1+m‎2‎)|-4+‎2‎m×4m+‎4‎m‎2‎|‎ ‎=(1+m‎2‎)(4+‎4‎m‎2‎)‎ ‎=4(2+m‎2‎+‎1‎m‎2‎)≥4(2+2m‎2‎‎⋅‎‎1‎m‎2‎)=16‎‎、‎ 当且仅当m‎2‎‎=‎‎1‎m‎2‎，即m=±1‎时等号成立，所以‎|MA‎→‎|⋅|MB‎→‎|‎最小值为‎16‎．‎ ‎ 7 / 7‎