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- 2021-06-10 发布
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距离问题(两点间距离,点到直线的距离)
(答题时间:40分钟)
*1.(中山检测)点A(-2, 3)到直线l:3x+4y+3=0的距离为________。
**2. 已知点,直线:,则点关于直线的对称点的坐标为__________。
*3. (泰州检测)直线l经过点P(-4, 6),与x轴、y轴交于A、B两点,当P为AB的中点时,则直线l的方程为________。
**4. 如图,点A的坐标为(1,0),点B在直线y=-x上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为__________。
*5. 已知A(5, 2a-1),B(a+1,a-4),当AB取最小值时,实数a的值为________。
**6.(福建师大检测)已知点M(a,b)在直线3x+4y=15上,则的最小值为________。
**7. 已知直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:-4x+2y+1=0,且l1与l2的距离是,求a的值。
**8. 已知正方形的中心为直线2x-y+2=0和x+y+1=0的交点,其一边所在直线的方程为x+3y-5=0,求其他三边的方程。
**9. 在x轴上求一点P,使得
(1)P到A(4, 1)和B(0, 4)的距离之差最大,并求出最大值;
(2)P到A(4, 1)和C(3, 4)的距离之和最小,并求出最小值。
3
1. 解析:点A(-2, 3)到直线l:3x+4y+3=0的距离为=。
2. 解析:设,则中点坐标为且满足直线的方程
①
又与垂直,且斜率都存在
,即有 ②
由①②式解得 ,,。
3. 3x-2y+24=0
解析:P(-4, 6)是A、B的中点,由题意可知A(-8,0),B(0,12)
由直线的截距式得+=1,即3x-2y+24=0。
4. (,-) 解析:当线段AB最短时,直线AB与直线y=-x垂直,此时斜率为1,又A(1,0),
∴直线AB的方程为y-0=x-1,即x-y-1=0。
由得B点坐标为(,-)。
5. 解析:AB=,∴当a=时,AB的值最小。
6. 3 解析:表示直线3x+4y=15上的点到原点的距离,因此原点(0,0)到直线3x+4y=15的最小值为=3。
7. 解:直线l2的方程可转化为2x-y-=0,由题意知l1∥l2。
∴l1与l2的距离d==。
∴=,∴|a+|=。
∵a>0,∴a=3。
8. 解:由,解得
即该正方形的中心点坐标为(-1, 0)。
3
所求正方形相邻两边方程为:3x-y+p=0和x+3y+q=0.
∵中心点(-1,0)到四边距离相等,
∴,,
解得p1=-3,p2=9和q1=-5,q2=7,
∴所求方程为3x-y-3=0, 3x-y+9=0,x+3y+7=0.
9. 解:如图,
(1)直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点,
且|PB|-|PA|=|AB|==5.
∵直线BA的斜率kBA==-,
∴直线BA的方程为y=-x+4.令y=0得x=,即P(,0)。故距离之差最大值为5,此时P点的坐标为(,0)。
(2)作A关于x轴的对称点A′,则A′(4,-1),连接CA′,则|CA′|为所求最小值,直线CA′与x轴交点为所求点。
又|CA′|==。
直线CA′的斜率kCA′==-5,则直线CA′的方程为y-4=-5(x-3)。令y=0得x=,即P(,0)。
故距离之和最小值为,此时P点的坐标为(,0)。
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